Calculus of Variations and Geometric Measure Theory
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L. Granieri

Sul Problema della gittata ottimale

created by granieri on 25 Jul 2008
modified on 20 Nov 2009

[BibTeX]

Published Paper

Inserted: 25 jul 2008
Last Updated: 20 nov 2009

Journal: Archimede
Volume: 3
Year: 2008

Abstract:

Riuscire nello sport richiede capacit\`{a}, impegno e soprattutto la ricerca del continuo miglioramento delle proprie prestazioni. Talvolta, la differenza tra un buon atleta ed un campione dipende dalla capacit\`{a} di risolvere i problemi che si presentano nell'esercizio delle proprie attivit\`{a}, nonché la formazione scientifica dell'atleta e del suo staff.

Supponiamo ad esempio di volerci allenare per il salto in lungo. Si tratta di saltare pi\`{u} lontano possibile. Ora, la distanza percorsa orizzontalmente dipende naturalmente dalla velocit\`{a} con cui riusciamo a lasciare il suolo (altrimenti perché correre tanto?) e dall'angolo formato dalla direzione di salto ed il suolo. A parit\`{a} di velocit\`{a}, con quale angolo ci conviene saltare?

Cos\`{i} come \`{e} posta, la questione non \`{e} semplice. In effetti, il nostro corpo ha una geometria complicata, poi potremmo voler cambiare posizione durante il salto, e cos\`{i} via. Come \`{e} buona norma, conviene allora semplificare il problema per catturarne qualche aspetto importante. A forza di semplificazioni successive il problema mostra molti punti in comune con quello di un cannone che spara un proiettile.

In questo caso si assume comunemente che il colpo venga sparato esattamente dall'altezza del suolo, ed \`{e} ben noto che la gittata ottimale si ottiene con una inclinazione di $45^{\circ}$ della direzione di sparo. Una dimostrazione di questo fatto, di cui presenteremo una versione elementare, \`{e} oggi presente su molti testi scolastici di fisica o matematica per le scuole superiori, anche se spesso non viene svolta. Il primo a ricavare tale risultato sembra sia stato il matematico italiano Tartaglia nei suoi studi sulla balistica. \`{E} da notare che gi\`{a} allora egli si ponesse lo scrupolo se divulgare o no tale scoperta a causa delle evidenti applicazioni belliche. Lasciando ad altri l'eventualit\`{a} di tali applicazioni, ci limiteremo ad ambiti pi\`{u} ricreativi come lo sport.

Il risultato di Tartaglia si adatta molto bene ad un giocatore di golf od un calciatore che vogliano tirare il pi\`{u} lontano possibile. Al contrario, gli atleti che si cimentano nel lancio del giavellotto, del martello o del peso hanno un problema in pi\`{u} dovuto all'altezza dalla quale l'oggetto \`{e} lanciato. Discorso simile vale per il salto in lungo, in quanto il baricentro del saltatore parte da una certa altezza per poi cadere a terra.

Vedremo che anche quest'altra questione si pu\`{o} trattare con metodi elementari.


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