27 oct 2009

Abstract.

Alcuni aspetti dinamici e PDE della teoria di Aubry-Mather-Mané

Martedi' 27 Ottobre, ore 16, Dipartimento di Matematica L. Tonelli, Aula dei Seminari

Gli insiemi di Aubry-Mather (o cantori), la cui esistenza è stata provata indipendentemente da Aubry e Mather negli anni '80, sono insiemi invarianti per mappe twist del cilindro in sè. Essi sono caratterizzati da una peculiare topologia e non sono rilevabili da tecniche numeriche standard. Successivamente, Moser fornisce una dimostrazione dell'esistenza di tali insiemi tramite tecniche di regolarizzazione viscosa di un opportuno funzionale. Negli anni '90, Mather e Mané sviluppano una simile teoria per sistemi Lagrangiani in più dimensioni. Mané, in particolare, introduce il livello critico, la cui nozione ha importanti ricadute sia nella teoria dei sistemi dinamici che in quella PDE. Dopo una breve introduzione sugli insiemi di Aubry-Mather per una classe di mappe quasi-integrabili in 2 dimensioni, discuterò la loro localizzazione tramite tecniche di regolarizzazione ispirate alle teorie di viscosita'. Tratterò poi alcune conseguenze analitiche della teoria di Aubry-Mather-Mané. In particolare, per varietà compatte, connesse e senza bordo M, spiegherò alcuni risultati sull'esistenza di soluzioni di viscosità per l'equazione di Hamilton-Jacobi stazionaria, coincidenti con una data funzione continua su un sottoinsieme di M.