Calculus of Variations and Geometric Measure Theory
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I. Fragalà

Tangential Calculus and Variational Integrals with Respect to a Measure

created on 08 Mar 2000

[BibTeX]

Ph.D. Thesis

Inserted: 8 mar 2000

Year: 2000

Abstract:

\font\maius=cmcsc10 \font\maius=cmcsc10 \def \ren {{{\rm I} \kern - .15 em {\rm R}}n} %\def \res {\mathop{\hbox{\vrule height 7pt width .5pt depth 0pt %\vrule height .5pt width 5pt depth 0pt}}\nolimits\,} \def\res{
\} \font\ninerm=cmr9 \font\ninei=cmmi9 \font\ninesy=cmsy9

L'ambiente più adatto per trattare la modellizzazione di strutture elastiche complesse, con possibili giunzioni tra parti di dimensioni diverse, è quello del {calcolo delle variazioni rispetto a una misura positiva}. Esso differisce dal calcolo delle variazioni classico nel fatto che la misura che appare nei funzionali integrali non è necessariamente quella di Lebesgue, ma una qualunque misura positiva di Radon $\mu$ su $\ren$. In particolare, $\mu$ può essere per esempio la misura di Hausdorff ${\cal H} ^k$ concentrata su un insieme di dimensione $k<n$, eventualmente pesata con una densità positiva: in tal modo si possono modellizzare strutture come fibre, travi, membrane, piastre, e loro unioni.

\noindent Per poter lavorare in questo ambiente molto debole, che offre il vantaggio di buone proprietà di compattezza utili per studiare problemi variazionali, è necessario sviluppare preliminarmente una teoria di calcolo tangenziale rispetto a una misura fissata. La nozione di base è quella di {\sl spazio tangente a una misura} 1; essa si riduce a quella di spazio tangente a $M$ nel senso classico della Geometria Differenziale se $\mu = {\cal H} ^k \res M$, dove $M$ è una $k$-varietà Lipschitziana in $\ren$. Inoltre, tale definizione sembra avere anche un interesse autonomo del punto di vista della Teoria Geometrica della Misura; in particolare, essa può essere paragonata con le altre definizioni di spazio tangente a una misura precedentemente introdotte in letteratura e può essere utilizzata per provare un criterio di rettificabilità valido per misure di dimensione variabile 2.

\noindent Partendo dalla definizione di spazio tangente a $\mu$, molti concetti classici della Geometria Differenziale possono essere riformulati nel nuovo contesto. Ad esempio, si può dare una definizione di {\sl curvatura media} $H(\mu)$ di una misura $\mu$, utile per considerare strutture sottomesse a una forza flettente, e studiare la semicontinuità di funzionali dipendenti da $H(\mu)$ 3.

\noindent In problemi di ottimizzazione in cui la variabile di controllo è data da una varietà, questa può essere rappresentata da una misura, e condizioni di tipo ``bordo assegnato'' possono essere imposte sulla classe delle misure ammissibili. In particolare, l'equazione di stato {\sl vive\} quindi su una misura, e ciò è reso possibile da una definizione assai naturale di {\sl spazi di Sobolev\}, sia di ``tipo W'', che di ``tipo H'', associati a $\mu$. Tali spazi sono stati introdotti rispettivamente in 4 e in 1, dove si trova anche lo studio del rilassamento di funzionali integrali rispetto a $\mu$, convessi con crescita $p>1$. Per lo stesso problema nel caso $p=1$, si veda 5, dove è stato introdotto lo spazio delle funzioni a variazione limitata rispetto a una misura e sono stati messi a fuoco alcuni aspetti della corrispondente teoria dei perimetri (in particolare una nuova formula di coarea in $L ^1 _\mu$).

\noindent In 6, questo tipo di tecniche vengono applicate all'omogeneizzazione di strutture elastiche sottili. Infatti, tramite gli spazi di Sobolev associati a una misura $\mu$ (questa volta periodica), si può formulare un problema sulla cella unitaria e dimostrare via metodi di convergenza a 2-scale rispetto a $\mu$, che, sotto opportune ipotesi di {\sl connessione} su $\mu$, la soluzione di tale problema rappresenta l'integrando omogeneizzato (definito sul supporto di $\mu$).

\noindent Segnaliamo che lo stesso formalismo ha permesso di ottenere interessanti risultati nel campo dell'ot\-ti\-miz\-za\-zio\-ne di forma 7, e altre ricerche sono in corso in questo settore da parte degli stessi autori.

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{ \ninerm \item{1}{\maius G. Bouchitté, G. Buttazzo, P. Seppecher}: {\sl Energies with respect to a measure and applications to low dimensional structures.} Calc. Var., 5 (1997), 37--54.

\item{2}{\maius I. Fragalà, C. Mantegazza}: {\sl On some notions of tangent space to a measure}, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 129A (1999), 1--12.

\item{3}{\maius G. Bouchitté, G. Buttazzo, I. Fragalà}: {\sl Mean curvature of a measure and related variational problems.} Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) XXV (1997), 179--196.

\item{4}{\maius G. Bouchitté, G. Buttazzo, I. Fragalà}: {\sl Convergence of Sobolev spaces on varying manifolds.} Inviato a J. Geom. Anal.

\item{5}{\maius G. Bellettini, G.Bouchitté, I.Fragalà}: {\sl BV functions with respect to a measure and relaxation of metric integral functionals}. J. Conv. Anal., Vol. 6 No. 2 (1999).

\item{6}{\maius G. Bouchitté, I. Fragalà}: {\sl Homogenization of thin structures by two-scale method with respect to a measure}, in preparazione.

\item{7}{\maius G. Bouchitté, G. Buttazzo, P. Seppecher}: {\sl Shape optimization solutions via Monge-Kantorovich equation.} C. R. Acad. Sci. Paris I 324 (1997), 1185-1191.

} \bye


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