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Velichkov: Un approccio variazionale alla regolarità delle frontiere libere singolari

Velichkov:
In questo seminario affronteremo il problema della regolarità delle frontiere libere dei minimi del funzionale di Bernoulli $u\mapsto\int \vert\nabla u\vert^2+|\{u>0\}|$. Negli anni ottanta, Alt e Caffarelli dimostrarono che le frontiere libere di Bernoulli si possono decomporre in due insiemi disgiunti: l'insieme dei punti regolari (Reg), localmente dato dal grafico di una funzione liscia, e l'insieme dei punti singolari (Sing), di dimensione di Hausdorff al massimo $d-5$. Recentemente, De Silva e Jerison, ispirandosi del risultato di Bombieri - De Giorgi - Giusti per le superfici minime, hanno costruito esplicitamente un cono minimo in $\mathbb{R}^7$ con singolarità isolata nell'origine, dimostrando che l'insieme Sing non è vuoto.
L'obiettivo principale di questo seminario è di mostrare che le frontiere libere di Bernoulli con una singolarità isolata sono grafici $C^1$ sui corrispondenti coni minimi. Lo strumento principale è una disuguaglianza variazionale, la disuguaglianza epiperimetrica logaritmica, introdotta in una serie di lavori in collaborazione con Maria Colombo e Luca Spolaor. Infine, mostreremo il risultato analogo per le superfici minime che estende il teorema di Leon Simon. I due risultati sopracitati sono stati ottenuti in collaborazione con Luca Spolaor (Princeton) e Max Engelstein (MIT).
http://cvgmt.sns.it/seminar/617/
When
Wed Feb 7, 2018 4pm – 5pm Coordinated Universal Time
Where
Sala Seminari Dipartimento di Matematica di Pisa (map)