In questo seminario descriverò alcuni risultati sulla proprietà di Lusin
generalizzata per mappe di Sobolev ottenuto in collaborazione con M.
Csörnyei, E. D’Aniello e B. Kirchheim, accennandone alcune applicazioni.
Secondo la definizione base, una mappa $f$ da $R^n$ in sé soddisfa la
proprietà (N) di Lusin se porta insiemi di misura (di Lebesgue) nulla in
insiemi di misura nulla. La formula dell’area mostra chiaramente che
questa proprietà è soddisfatta dalle mappe regolari, e anzi dalle mappe
Lipschitziane (ma non vale per le mappe $\alpha$-Hölderiane con
esponente $\alpha<1$), ed un primo risultato significativo in
quest’ambito (dovuto a Kaufman) estende la proprietà di Lusin alle mappe
nelle classi di Sobolev $W^{1,p}$ con $p>n$ (o meglio, dalle
rappresentanti continue di tali mappe).
La proprietà di Lusin può essere generalizzata come segue: una mappa $f$
da $R^n$ in $R^m$ soddisfa la proprietà di Lusin di indici
$(\alpha,\beta)$ se porta insiemi nulli rispetto alla misura di
Hausdorff $\alpha$-dimensionale in insiemi nulli rispetto alla misura di
Hausdorff di dimensione $\beta$.
Nel nostro lavoro caratterizziamo completamente gli indici
$k,p,\alpha,\beta$ tali che le mappe nelle classi di Sobolev $W^{k,p}$
soddisfano la proprietà di Lusin di indici $(\alpha,\beta)$.
Questa versione della proprietà di Lusin è essenziale nella formulazione
(e dimostrazione) della versione ottimale del teorema di Sard per mappe
di Sobolev. Depending on the audience the seminar could be held in english.
http://cvgmt.sns.it/seminar/475/
