[CvGmt News] proposition de these (fwd)

Mon Mar 10 16:23:51 CET 2003

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\centerline{\bf Proposition de sujet de th\`ese}

\medskip \noindent {\bf Lieu :} Laboratoire A.N.A.M. (consulter le site http://www.univ-tln.fr/\~{}anla),

\noindent Universit\'e de Toulon et du Var.

\medskip \noindent {\bf Sujet propos\'e par :}  Pierre Seppecher (consulter le site http://www.univ-tln.fr/\~{}seppecher)
et Guy Bouchitt\'e ( http://www.univ-tln.fr/~bouchi/Bouchitte.english.html)

\medskip \noindent {\bf Financement :} une allocation de recherche est susceptible d'\^etre disponible pour ce sujet. Les r\`egles de l'\'ecole doctorale de Toulon exigent que le candidat soit class\'e dans le premier tiers des \'etudiants de son DEA.

\medskip \noindent {\bf Sujet de th\`eseÝ:}  Optimisation topologique de formes et m\'ecanismes.

\medskip \noindent {\bf Historique du sujetÝ:} Il s'agit d'une th\'ematique en pleine effervescence auquel participent plusieurs membres du laboratoire J.J Alibert, G. Bouchitt\'e, F. Golay,  T. Champion.  Le laboratoire organise en 2003 un second colloque sur le sujet dans le cadre du  GDR 2431 ``Optimisation de formes''.  Dans [P1], un lien nouveau a \'et\'e  \'etabli dans le cas scalaire entre le probl\`eme de l'optimisation de la compliance d'un mat\'eriau de masse donn\'ee et le probl\`eme de transport de masse (Monge-Kantorovich). Ce r\'esultat a fait \'ecole depuis et a \'et\'e d\'evelopp\'e dans plusieurs directions (th\'eoriques [P2][P3], num\'eriques [P4])  et aussi a donn\'e lieu \`a une th\`ese en cotutelle  Franco-italienne. Parall\`element des r\'esultats nouveaux ont \'et\'e obtenus dans [P5] [P6] [P7] concernant la caract\'erisation des mat\'eriaux atteignables par m\'ethode d'homog\'en\'eisation (composites). Ces composites sont pr\'econis\'es en optimum desi
 gn (cf. le livre r\'ecent de G. Allaire [P8]).

\medskip \noindent {\bf Description du sujet :} Le but  de l'optimisation de formes (ou ´Ýoptimal designÝª) est de d'obtenir des objets les plus aptes \`a remplir le r\^ole auquel ils sont destin\'es. Souvent l'un des crit\`eres essentiels est d'obtenir un objet le plus r\'esistant possible \`a un syst\`eme d'efforts et cependant le plus l\'eger possible. Une fois \'epuis\'ee la recherche des mat\'eriaux les plus efficaces, reste \`a rechercher la forme la plus efficace. Les m\'ethodes classiques consistaient jusqu'\`a r\'ecemment \`a optimiser la forme de l'objet en d\'eformant progressivement sa surface. Ces m\'ethodes avaient pour inconv\'enient d'\^etre incapables de modifier, si n\'ecessaire, la topologie de l'objet. Par exemple, elles pouvaient optimiser une pile de pont mais \'etaient incapables d'y ajouter une arche. Ces derni\`eres ann\'ees, l'optimisation topologique de formes a r\'evolutionn\'e cette approche. Gr\^ace \`a une \'ecriture relax\'ee du probl\`eme d'op
 timisation, on ne recherche plus directement une forme mais une ´Ýdensit\'e de mati\`ereÝª qui varie continuement entre 0 et 1. La forme proprement dite correspond aux zones o\`u cette densit\'e est \'egale \`a 1. Les densit\'es interm\'ediaires correspondent \`a des zones o\`u l'on a int\'er\^et \`a utiliser une accumulation de structures tr\`es fines (et en cr\'eant ainsi un mat\'eriau composite). Bien entendu, l'optimisation de la r\'esistance d'un objet n'est qu'un des buts possibles du design. Citons, par exemple, l'optimisation de la forme de v\'ehicules pour minimiser leur r\'esistance a\'erodynamique.
Le sujet propos\'e reste plus proche de l'optimisation de la r\'esistance qui a d\'ej\`a fait l'objet d'\'etudes dans le laboratoire. On cherche \`a optimiser la r\'esistance d'un m\'ecanisme. Un m\'ecanisme est un syst\`eme m\'ecanique pr\'esentant un ou plusieurs degr\'es de mobilit\'e (une pince est un exemple typique). Un m\'ecanisme est optimal si il poss\`ede les degr\'es de mobilit\'e recherch\'es et si il est  le plus r\'esistant possible aux d\'eplacements incompatibles avec ces degr\'es de mobilit\'e (on attend de la pince une mobilit\'e parfaite lorsqu'on la fait jouer \`a vide et une r\'esistance maximale lorsqu'on pince un objet).

\noindent Dans le cadre simple dit des mat\'eriaux fictifs (dans lequel on suppose que la rigidit\'e \'elastique d'une zone est proportionnelle \`a la densit\'e de mat\'eriau qu'elle contient) et dans le cadre de l'\'elasticit\'e lin\'eaire le probl\`eme s'\'ecrit math\'ematiquement de la fa\c con suivante: Soit $\Omega$ un domaine de r\'er\'erence dans lequel on cherche la forme optimale. Soit ${\cal A}$ un ensemble fini de points $A_i$ contenus dans $\Omega$ sur lequels des d\'eplacements $u$ sont impos\'es. Soit $h$ une densite de materiau sur $\Omega$ (en fait une mesure positive born\'ee sur $\Omega$). On note $E(h,u)$ l'energie \'elastique accumul\'ee par le syst\`eme \`a l'\'equilibre : c'est \`a dire l'infimum en $w$ 
$$
E(h,u):=\inf_w \{ \int \|e(w)\|^2  dh,\  w=u\ {\rm sur}\ {\cal A} \} \quad {\rm  ou }\ e(w)= {\nabla w+ \nabla^t w \over  2} 
$$
L'\'energie $E(h,u)$ est alors une forme quadratique positive vis \`a vis des champs $u$ (d\'efinis sur ${\cal A}$.). Ces champs appartiennent \`a un espace de dimension finie ${\cal D}$. 
Soit $u_r$ et $u_m$ deux \'el\'ements fix\'es de ${\cal D}$, on recherche la mesure $h$, de masse totale fix\'ee, qui maximise $E(h,u_r)$ tout en respectant la contrainte $E(h,u_m)=0$.

\noindent Le d\'eplacement $u_m$ apparaÓt alors comme le degr\'e de mobilit\'e du m\'ecanisme et $u_r$ le d\'eplacement vis \`a vis duquel on recherche la rigidit\'e maximale.
L'introduction d'un multiplicateur de Lagrange $\Lambda$ permet de r\'e\'ecrire le probl\`eme sous la forme
$$ 
\inf_h \{ E(h,u_r) - \Lambda E(h,u_m) \} 
$$
que l'on peut comparer au probl\`eme classique d'optimisation de formes
$$ \inf_h  \{ E(h,u_r)  \} $$ 
ou au probleme d'optimisation de forme multichargement
$$ \inf_h \{ E(h,u_{r1})  + E(h,u_{r2} \} $$
La difficult\'e fondamentale est la non convexit\'e de la fonctionnelle \`a minimiser. L'existence de solutions n'a rien d'\'evident. L'unicit\'e n'est clairement pas v\'erifi\'ee. Les algorithmes de r\'esolution \'eventuels risquent d'\^etre fortement instables.
Le laboratoire a cependant developp\'e des comp\'etences dans le domaine de l'optimisation de probl\`emes non convexes qui devraient permettre l'obtention de r\'esultats int\'eressants. Des interactions sont possibles avec les \'etudes en cours sur les probl\`emes d'optimisation de transport \`a co\^ut concave.

\medskip \noindent {\bf 3. Objectifs et moyens pr\'evus :} Les objectifs sont essentiellement th\'eoriques (existence, relaxation, approximation ). Des exemples num\'eriques seront cependant trait\'es pour \'evaluer la pertinence des mod\`eles d'approximation et pour illustrer l'int\'er\^et de cette approche de l'optimisation des formes des m\'ecanismes.
Pour la partie th\'eorique, le laboratoire mettra \`a disposition du candidat  ses collaborations internationales dans le domaine :  GDR,  BQR international (collaborations avec l'Italie, les USA , le Chili). Pour la partie num\'erique le candidat disposera d'une station de travail ainsi que de la possibilit\'e d'utiliser la plateforme de simulation num\'erique (P.S.I) g\'er\'ee par le laboratoire.

\medskip \noindent {\bf 1.4. R\'ef\'erences bibliographiques : }

\medskip\noindent P1- G.BOUCHITTE , G.BUTTAZZO, P.SEPPECHER, Shape Optimization Solutions via Monge-Kan\-to\-ro\-vich, C.R.Acad.Sci. Paris, t.324, S\'erie I,(1997), p. 1185-1191.

\noindent P2- G. BOUCHITTE, G. BUTTAZZO, Characterization of optimal shapes and masses through Monge-Kan-torovich equation., J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 3 (2001), no. 2, 139--168.

\noindent P3- G.BOUCHITTE, G.BUTTAZZO, G. De PASCALE, A p-Laplacian approximation for some mass opti-mization problem, Journal of Optimization Theory and Application,  in Press.

\noindent  P4- F. GOLAY, P. SEPPECHER,  Locking materials and the topology of optimal shapes,  Eur. J. Mech. A/Solids 20, 631-644, 2001.

\noindent P5- J.J ALIBERT, F. DELL'ISOLA, P.SEPPECHER, Truss modular beams with deformation energy depending on higher order diplacement gradients,  Mathematics and Mechanics of Solids., 8, p. 51-73, 2003.

\noindent P6-P7 M. CAMAR-EDDINE, P. SEPPECHER, Closure of the set of diffusion functionals with respect to the Mosco convergence.  Math. Models and Meth. in Appl. Sci. , 12 (8), (2002), 1153--1176.

\noindent P8- G. ALLAIRE, Shape optimization by the homogenization method. Applied Mathematical Sciences, 146., Sprin-ger -V erlag, New York, 2002.

\end

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