\magnification=\magstep1 \parindent=0pt \def \csi {\xi} \def \l {\lambda} \def \e {\varepsilon} \def \Cup {\bigcup} \def \Cap {\bigcap} \def \Nabla {\nabla} \def \Vs {\cal V} \def \circle {\circ} \def \Beta {\beta} \def \Tau {\tau} \def \hh {{\cal H}} \def \MD {{\cal MD}} \def\cer#1{\mathrel{\smash{\mathop{#1} \limits^{\circ} }}} \def\finedim{\quad \vrule height .9ex width .8ex depth -.1ex} \def\rr{{\ \cal R \ }} \def\bar{\overline} \def\nont{ \rlap {\ /} \Theta } \def\real{{\bf R}} \def\nat{{\bf N}} \def\interi{{\bf Z}} \def\raz{{\bf Q}} % macro \refer % sintassi \refer{autori:}{titolo,}{rivista,}{vol}{(anno), pag.} % \newcount\refno \global\refno=0 \def\refer#1#2#3#4#5{\hangindent=20 pt\hangafter=1 {\global\advance\refno by 1} $\hbox to 20 pt{[\the\refno]\hfill}${\bf {#1}:}{\sl\ {#2},}{\ #3}{\bf\ #4}{\ #5}\medskip} \centerline{ \bf Congetture riguardanti alcuni problemi di evoluzione.} %\footnote{$^{(*)}$}{ Pisa, 4.III.95.}} \bigskip \centerline{ A Paper in Honor of John Nash } \bigskip \centerline{ Ennio De Giorgi } \bigskip {\bf Summary.} I have greatly appreciated the invitation to write a paper in honor of John Nash, a scientist who has been a major source of new ideas for mathematicians. His work has been a clear example of how the most original mathematical ideas are often close to the fundamental problems of other disciplines. I believe that this example is very important for any student who is still motivated by the drive that the ancients called {\sl philosophy}, that is love for Wisdom. \medskip The character of my paper is exploratory. Some conjectures concerning ``evolution problems'' are presented. They are related to the ``steepest descent'', to the approximations of Newton's gravitation law, to hyperbolic non linear equations and to ``descent movements" of manifolds. The article identifies several questions, of which I do not know the solution, and points out a number of analogies between problems that are apparently far from each other. I believe that the study of these conjectures might provide an opportunity for scientists that are expert in different fields within pure and applied mathematics to get together and ponder on the connections that exist among various mathematical concepts, such as linear vs. non-linear behavior, stability vs. instability, or convergence of different approximation methods, and certain ideas well developed in physics, such as deterministic vs. non-deterministic behavior, predictability vs. non-predictability, order and chaos, etc. \bigskip \beginsection Introduzione In questo lavoro esporr\`o alcune congetture relative a ``problemi di evoluzione'' legate all'idea di ``discesa secondo la massima pendenza'', alla legge di gravitazione universale di Newton, alle equazioni iperboliche e ai movimenti di variet\`a immerse in uno spazio euclideo. \`E mia opinione che lo studio di queste congetture possa servire a una migliore comprensione dei fenomeni che si possono presentare quando si approssimano problemi ``pi\'u difficili e pi\'u instabili'' mediante problemi ``meno difficili e pi\'u stabili''. In particolare si dovrebbe vedere quando un processo di approssimazione non converge in corrispondenza a tutti i ``dati ammissibili'' ma si ha convergenza e una certa stabilit\`a del limite solo in corrispondenza a un ``insieme denso'' di dati oppure a ``quasi tutti'' i dati. Naturalmente le nozioni di ``stabilit\`a'', di ``insieme denso'' e di ``quasi tutti'' sono legate all'introduzione di ragionevoli topologie, metriche o di qualche misura significativa nella famiglia dei dati ammissibili. Dato il carattere eterogeneo di queste congetture, che forse sono state in parte trattate in lavori a me ignoti, posso dare solo indicazioni bibliografiche molto frammentarie e incomplete che mi sono state segnalate da vari colleghi e amici e che io stesso non ho ancora avuto il tempo di approfondire. Esse devono essere considerate solo come una prima traccia utile per iniziare la sistematica ricerca bibliografica necessaria per fare realmente il ``punto della situazione" al momento attuale. Spero che una tale ricerca bibliografica e la stessa riflessione sulle congetture esposte possa essere occasione per ritrovare e collegare fra loro vari lavori finora ritenuti molto lontani e forse mettere in evidenza eventuali collegamenti che si possono stabilire tra idee matematiche riguardanti linearit\'a e non linearit\'a, stabilit\'a e instabilit\'a, convergenza di differenti metodi di approssimazione e concetti della fisica come determinismo e indeterminismo, prevedibilit\'a e imprevedibilit\'a, ordine e caos. \bigskip \beginsection Problema 1. (Problemi di discesa.) Cominciamo col considerare alcuni problemi collegati al ``metodo della discesa''. Consideriamo funzionali del tipo $$F(w,A)=\int_A g(w,\nabla w,\,\ldots\, ,\nabla^k w) \leqno(1)$$ ove $A$ \`e un aperto limitato di $\real^n$, $w$ \`e una funzione di classe $C^\infty(\real^n)$, $g$ \`e una funzione di classe $C^\infty$ nello spazio dei polinomi di $n$ variabili reali e grado minore o uguale a $k$. In queste ipotesi diremo che una funzione $\psi\in C^\infty(\real^n)$ \`e la funzione di Eulero associata a $F$ e a $w$ e scriveremo $$\psi={ \cal E }(F,w)$$ se per ogni aperto limitato $A\subset\real^n$ e per ogni funzione test $\tau\in C_0^\infty(A)$ vale la condizione $$\lim_{\lambda\to0} {1\over\lambda}\left(F(w+\lambda\tau,A)-F(w,A)\right)=\int_A\tau\,\psi. \leqno(2)$$ In alcuni casi in cui la funzione $g$ non \`e convessa (o non soddisfa altre condizioni vicine alla convessit\'a, vedi [4]) lo studio dell'equazione differenziale $${\partial u\over\partial t}=-{ \cal E }(F,u(\cdot,t))\leqno(3)$$ con le condizioni iniziali $$u(x,0)=\varphi(x)\leqno(4)$$ nell'insieme $\real^n\times[0,+\infty)$ pu\`o presentare notevoli difficolt\`a e sembra opportuno seguire metodi tipo viscosit\'a artificiale (cfr. per es. [5]) e associare al funzionale $F$ funzionali $F_\e$ definiti, per $\e\not=0$, dalla formula $$ F_\e(w,A)=F(w,A)+\e^2\int_A{\vert\nabla^{k+1}w\vert}^2 $$ ove al solito $$ |\nabla^s w|^2=\sum_{j_1=1}^n \dots \sum_{j_s=1}^n \Bigl({{\partial^s u}\over{\partial x_{j_1}\dots \partial x_{j_s}}}\Bigr)^2 $$ e quindi tentare di approssimare l'equazione differenziale $(3)$ con l'equazione $${\partial u\over\partial t}=-{ \cal E }(F_\e,u(\cdot,t)) . \leqno(5)$$ Un esempio semplice ma non banale di questa situazione si ha considerando il caso $k=1$, $n=1$ (cfr. [9,10]), $$g\left(w,{\partial w\over\partial x}\right)={1\over 2}\log\left(1+\left\vert{\partial w\over\partial x}\right\vert^2\right).$$ In tal caso l'equazione $(3)$ diventa $${\partial u\over\partial t}={\partial\ \over\partial x}\left({\partial u \over\partial x}\left(1+\left({\partial u\over\partial x}\right)^2\right)^{-1}\right)={{\partial^2 u}\over{\partial x^2}} \left(1 -\Bigl|{{\partial u}\over{\partial x}}\Bigr|^2\right) \left(1 +\Bigl|{{\partial u}\over{\partial x}}\Bigr|^2\right)^{-2} .$$ Lo studio di questa equazione pu\`o presentare notevoli difficolt\`a quando il dato iniziale verifica in una parte di $\real$ la condizione $\left\vert{\partial\varphi\over\partial x}\right\vert>1$; si pu\`o allora considerare il funzionale $F_\e$ che conduce all'equazione ``stabilizzata'' $${\partial u\over\partial t}=-{\partial\ \over\partial x}\left({\partial u \over\partial x}\left(1+\left({\partial u\over\partial x}\right)^2\right)^{-1}\right)-\e^2{\partial^4u\over\partial x^4} \leqno (6) $$ ed enunciare una prima congettura. \bigskip {\bf Congettura 1.} Se $\varphi\in C_0^\infty(\real)$, se, per ogni $\e\not=0$, $u_\e$ \`e una soluzione dell'equazione $(6)$ con la condizione iniziale $(4)$ ed \`e limitata in $\real\times [0,+\infty[$, allora per quasi ogni $(x,t )\in \real\times [0,+\infty)$ esiste il limite di $u_\e(x,t)$ per $\e$ che tende a zero. \bigskip {\bf Osservazione 1.} Se la Congettura 1 risultasse vera si potrebbe rafforzarla imponendo la convergenza {\it per ogni} $(x,t)$ ed eventualmente anche convergenze pi\'u forti che comportano una maggiore regolarit\`a del limite. Si potrebbe anche richiedere una certa uniformit\`a di convergenza al variare del dato iniziale $\varphi$ e quindi una dipendenza continua del limite dal dato stesso. Se invece si trovasse qualche controesempio alla Congettura 1 essa potrebbe essere indebolita in vario modo, accontentandosi per esempio della convergenza soltanto per i dati appartenenti ad insiemi densi di qualche spazio metrico o topologico significativo. Per esempio, si potrebbero considerare spazi di funzioni analitiche, polinomi trigonometrici, funzioni legate alla curva degli errori di Gauss, e si potrebbe anche prendere in considerazione qualche misura ragionevole $\mu$ che pu\`o essere introdotta in tali spazi e sia tale che per $\mu$ quasi tutti i dati vi sia convergenza di $u_\e$. \bigskip {\bf Osservazione 2.} Altri indebolimenti della Congettura 1 si potrebbero avere non richieden\-do la convergenza in quasi tutti i punti di $\real\times[0,+\infty)$ ma richiedendo l'esistenza di un numero positivo $T$ tale che $u_\e$ converga in quasi tutto $\real\times[0,T)$. Un primo passo verso la conferma della Congettura 1 o la ricerca di eventuali controesempi potrebbe essere lo studio di successioni di numeri positivi $(\e_i)$ tali che $\lim_{i\to+\infty}\e_i=0$ e si abbia una convergenza pi\'u o meno forte della successione $(u_{\e_i})$. \bigskip {\bf Osservazione 3.} Si possono immaginare molte varianti della Congettura 1, per esempio si pu\`o passare dalle funzioni definite in $\real$ al caso di funzioni definite in un intervallo di $\real$ introducendo ragionevoli condizioni al contorno. Si possono pure considerare, invece che dati iniziali a supporto compatto e soluzioni limitate, dati e soluzioni periodiche nella variabile spaziale $x$, oppure imporre, in luogo della limitatezza, altre condizioni all'infinito. Pi\'u in generale si pu\`o passare allo spazio $\real^n$ e porre $$F(w,A)={1\over2}\int_A\log(1+\vert\nabla w\vert^2)\ ,$$ oppure nel caso $n=1$ porre $$F(w,A)=\int_A\left(1-\left\vert{\partial w\over\partial x}\right\vert^2\right)^2 \ , $$ e considerare successivamente il funzionale analogo in $\real^n$, $$F(w,A)=\int_A\left(1-\left\vert\nabla w\right\vert^2\right)^2 .$$ Risultati interessanti si potrebbero avere considerando altri casi, per esempio ponendo $$F_\e(w,A)=\int_A \e^2w^2+\left(1-\left\vert{\nabla w}\right\vert^2\right)^2+\e^2 {|\nabla^2|^2 } . $$ % funzionali di questo tipo sono considerati per esempio in [***S.Muller]. %(chiedere a Bellettini) Infine si possono considerare casi in cui la funzione $g$ che compare nella (1) dipende, oltre che da $w$ e dalle sue derivate, dalle variabili spaziali $(x_1,\ldots,x_n)$ ed eventualmente da un parametro $t$ che ritroveremmo come variabile temporale nelle (3), (5). \bigskip \beginsection Problema 2. (Problema gravitazionale approssimato.) Passiamo ora alla formulazione di un problema legato a una ragionevole approssimazione della legge di gravitazione universale di Newton (cfr [3,6]); tale problema sar\`a chiamato ``Problema gravitazionale approssimato'' e pu\`o essere formulato nel modo seguente: \bigskip {\bf Problema 2.1.} Sia $\mu$ una misura positiva definita sugli insiemi di Borel di $\real^6$ e sia $\mu(\real^6)<+\infty$. Chiameremo soluzione del Problema gravitazionale approssimato associato a $\mu$ una terna di funzioni $(s,v,u)$ che soddisfa le condizioni qualitative (A) e le condizioni integro-differenziali (B) che ora enunciamo. {\bf (A)} $$s=s(\e,\csi,\eta,t)\in \bigl[C^1( (\real\setminus\{0\})\times \real^7)\bigr]^3,$$ $$v=v(\e,\csi,\eta,t)\in \bigl[C^1((\real\setminus\{0\})\times \real^7)\bigr]^3,$$ $$u=u(\e,x,t) \in C^0((\real \setminus \{0\}) \times \real^4 ).$$ La funzione scalare $u$ \`e derivabile rispetto alle variabili $x_1,x_2,x_3$ e il suo gradiente, relativo a tali variabili, $\nabla_x u$ appartiene a $C^0(\real\setminus\{0\}\times\real^4)^3$. \bigskip {\bf (B)} Le funzioni vettoriali $s,v$ verificano le equazioni differenziali $${\partial s \over \partial t } = v, \quad {\partial v \over \partial t }= \alpha(\e,s,t ), \quad \alpha(\e,x,t )=\nabla_x u(\e,x,t)\qquad \leqno (1) $$ con le condizioni iniziali $$s(\e,\csi,\eta,0)=\csi, \qquad v(\e,\csi,\eta,0)=\eta \leqno (2)$$ mentre $u$ soddisfa la condizione integrale $$ u(\e,x,t) = \int_{\real^6} (|x-s(\e,\csi,\eta,t)|^2 +\e ^2 )^{-1/2} d\mu (\csi,\eta).\leqno (3) $$ {\bf Osservazione 1.} Intuitivamente $s(\e,\csi,\eta,t)$ rappresenta la posizione al tempo $t$ di una particella che all'istante $t=0$ si trovava nel punto $\csi$ ed aveva velocit\`a $\eta$; $v(\e,\csi,\eta,t)$ rappresenta la velocit\`a al tempo $t$ della stessa particella, $\alpha( \e,x,t)$ rappresenta l'accelerazione di una particella che nell'istante $t$ si trovi nel punto $x$, infine $u$ dovrebbe fornire, per $\e$ molto piccolo, una ragionevole approssimazione del potenziale newtoniano. La misura $\mu$ rappresenta una distribuzione di masse (eventualmente animate da una certa velocit\`a) all'istante $t=0$. Per comprendere meglio il significato delle formule (1), (2), (3), conviene considerare il caso in cui $\mu$ \`e somma di $n$ misure concentrate in punti, cio\`e per ogni insieme di Borel $B\subset \real^6$ risulta $\mu(B)= \sum_{h=1}^n m_h \delta(\csi_h,\eta_h)(B)$ ove $\delta$ indica la usuale delta di Dirac, cio\`e $$\cases { \delta(\csi_h,\eta_h)(B) = 1 & per $(\csi_h,\eta_h)\in B$ \cr\cr \delta(\csi_h,\eta_h)(B) = 0 & per $(\csi_h,\eta_h) \notin B .$ \cr }$$ In tal caso il potenziale $u$ che compare nella la formula $(3)$ diventa $$u(\e,x,t)= \sum_{h=1}^n m_h (|x-s(\e ,\csi_h,\eta_h,t)|^2+ \e^2 ) ^{-1/2} $$ e quindi il sistema costituito da $(1),(2),(3)$ appare una ragionevole approssimazione per il classico problema degli $n$ corpi. \bigskip {\bf Osservazione 2.} Il caso in cui $\mu$ non \`e concentrata in un numero finito di punti \`e suggerito dall'osservazione dell'universo in cui interagiscono stelle, pianeti, satelliti, nubi di gas, polveri interstellari e altre forme di ``massa diffusa''. In questo caso la (3) pu\`o essere anche scritta nella forma $$ u(\e,x,t) = \int_{\real^6} (|x-\csi|^2 +\e ^2 )^{-1/2} d\mu^*_t (\csi,\eta),\leqno (3^*) $$ ove, per ogni $t\in\real$, la misura $\mu^*_t$ \`e data dalla formula $$ \mu^*_t(B)=\mu\left(\bigl\{(\xi,\eta)\in\real^6:\ \bigl(\sigma(\e,\xi,\eta,t), v(\e,\xi,\eta,t)\bigr)\in B \bigr\}\right) ; $$ intuitivamente, per ogni $t\in\real$, $\mu^*_t$ descrive la distribuzione e le velocit\`a all'istante $t$ della massa presente nell'universo; l'evoluzione di $\mu_t^*$ al variare di $t$ sostanzialmente descrive quella che sarebbe l'evoluzione dell'universo se esso fosse governato da una ``forza gravitazionale approssimata'' calcolabile a partire da un ``potenziale elementare'' del tipo $$ (|x-\xi|^2+\e^2)^{-1/2} \ , \leqno(4)$$ che per $\e$ piccolo sembra una ragionevole approssimazione del potenziale newtoniano classico proporzionale a $$ |x-\xi|^{-1}. $$ Non mi risulta che vi sia nella letteratura una risposta esauriente alle domande circa l'esistenza di ben determinati limiti per $\e\to 0$ delle funzioni considerate nel Problema gravitazionale approssimato e in particolare vi sia la verifica o la confutazione della seguente \bigskip {\bf Congettura 1.} Se $(s,v,u)$ \`e soluzione del Problema gravitazionale approssimato associato alla misura $\mu$ allora, per quasi ogni punto $(x,t)\in{\real}^4$, esiste determinato e finito il limite $$\lim_{\e\to0} u(\e,x,t),$$ inoltre, per quasi ogni $(\csi,\eta,t)\in{\real}^7$, esistono i due limiti $$\lim_{\e\to0} s(\e,\csi,\eta,t),$$ $$\lim_{\e\to0} v(\e,\csi,\eta,t).$$ \bigskip {\bf Osservazione 3.} \`E probabile che la Congettura 1, pur valendo per classi assai larghe di misure $\mu$, non valga per ogni scelta della misura $\mu$ soddisfacente le condizioni del Problema 1. Finora non ho trovato nella letteratura alcun controesempio; penso che la sua eventuale costruzione dovrebbe risultare pi\'u facile nel caso di misure $\mu$ verificanti le condizioni $$\mu=\sum\limits_{h=1}^{+\infty}m_h\delta(\csi_h,\eta_h),\qquad \sum\limits_{h=1}^{+\infty} m_h<+\infty,\qquad \sum\limits_{h=1}^{+\infty} \vert\eta_h\vert=+\infty.$$ Pi\'u difficile ma pi\'u interessante dovrebbe essere il caso $$\mu=\sum\limits_{h=1}^{+\infty}m_h\delta(\csi_h,\eta_h),\qquad \sum\limits_{h=1}^{+\infty} m_h<+\infty,\qquad \sup_h\,\left(\vert\csi_h\vert+\vert\eta_h\vert\right)\,<+\infty$$ intuitivamente ci\'o corrisponde al caso in cui nell'istante iniziale tutte le particelle sono racchiuse in una zona limitata dello spazio ed \'e limitato l'insieme delle loro velocit\'a iniziali. \bigskip Possiamo considerare anche una congettura pi\'u debole. \bigskip {\bf Congettura 2.} Detto ${\cal M}(\real^6)$ lo spazio delle misure di Borel $\mu$ che sono positive in $\real^6$ e verificano la condizione $\mu(\real^6)<+\infty$, dotato della distanza $\delta$ definita dalla relazione $$\delta(\mu,\nu)=\sup_B\left(\mu(B)-\nu(B)\right)+\sup_B\left(\nu(B)- \mu(B)\right),$$ \`e denso in ${\cal M}({\real}^6)$ l'insieme delle misure $\mu$ per cui vale la tesi della Congettura 1. \bigskip Sarebbe pure desiderabile valutare il grado di stabilit\`a al variare di $\mu$ dei limiti di soluzioni dei problemi gravitazionali che soddisfano la tesi della Congettura 1. Probabilmente tale grado di stabilit\`a non \`e sempre molto elevato e quindi sembra opportuno introdurre una nozione abbastanza debole di stabilit\`a, detta $\alpha\,$--$\,$stabilit\`a, mediante la seguente definizione. \bigskip {\bf Definizione 1.} Data una misura $\mu$, una terna di funzioni $(s,v,u)$ soluzioni del Problema gravitazionale approssimato associato a $\mu$ ed un numero reale $\alpha\geq0$, diremo che la $(s,v,u)$ \`e soluzione $\alpha\,$--$\,$stabile del Problema gravitazionale associato a $\mu$ se esistono per quasi ogni $(x,t)\in\real^4$ e quasi ogni $(\csi,\eta,t)\in\real^7$ i limiti $$\lim_{\e\to0}u(\e,x,t),$$ $$\lim_{\e\to0}s(\e,\csi,\eta,t),$$ $$\lim_{\e\to0}v(\e,\csi,\eta,t),$$ ed inoltre, scelta comunque una successione di numeri positivi $(\e_i)$, verificante la condizione $\lim_{i\to+\infty}\e_i =0$, e una successione di misure positive $(\mu_i)$ verificanti la condizione $$\lim_{i\to+\infty}{\e_i}^{-\alpha}\delta(\mu_i,\mu)=0,$$ e detta $(s_i,v_i,u_i)$ la soluzione del Problema gravitazionale approssimato associata a $\mu_i$, risulta per quasi tutti gli $(x,t)\in\real^4$ $$\lim_{i\to+\infty} u_i(\e_i,x,t)=\lim_{\e\to0}u(\e,x,t),$$ mentre per quasi ogni $(\csi,\eta,t)\in\real^7$ risulta $$\lim_{i \to + \infty } s_i(\e_i,\csi,\eta,t)=\lim_{\e\to0} s(\e,\csi,\eta,t),$$ $$\lim_{i \to + \infty } v_i(\e_i,\csi,\eta,t)=\lim_{\e\to0} v(\e,\csi,\eta,t).$$ Possiamo ora dare un rafforzamento significativo della Congettura 2 enunciando la se\-guen\-te \bigskip {\bf Congettura 3.} Esistono numeri positivi $\alpha$ per i quali \`e denso nello spazio ${\cal M}(\real^6)$ l'insieme delle $\mu$ tali che le soluzioni del Problema gravitazionale approssimato associato a $\mu$ sono soluzioni $\alpha\,$--$\,$stabili. \bigskip {\bf Osservazione 4.} Se fosse verificata la Congettura 3 sarebbe interessante trovare l'estremo inferiore dei numeri $\alpha$ ivi considerati; \`e assai probabile che tale estremo sia strettamente maggiore di zero; tenendo conto del fatto che l'$\alpha\,$--$\,$stabilit\`a \`e tanto pi\'u debole quanto pi\'u $\alpha$ \`e grande, questo estremo inferiore ci darebbe un'indicazione sul grado globale di stabilit\`a del Problema gravitazionale approssimato. \bigskip \beginsection 3. Varianti del Problema gravitazionale approssimato. Si possono immaginare molte varianti del problema gravitazionale esposto nel \S 2. Si potrebbe pensare che la forza che agisce tra 2 particelle sia somma di una forza attrattiva e una forza repulsiva e porre per esempio in luogo della (3) del \S 1 $$u(\e,x,t) =\int_{\real^6} (|x-s|^2 + \e ^2 )^{-1/2} - c^2 ( |x-s|^2 +\e^2)^{-1} d\mu(\csi,\eta)$$ con $c$ costante positiva. Si potrebbero anche considerare, dopo i limiti per $\e \to 0$, i limiti di tali limiti per $c\to 0$; ci\`o corrisponderebbe all'idea che le forze repulsive agiscono solo a distanze piccolissime. Infine si potrebbero immaginare espressioni pi\'u complesse corrispondenti a forze che dipendono non solo dalla posizione ma anche dalla velocit\`a delle particelle, per esempio prendendo in considerazione integrali del tipo: $$ \alpha(\e,x,y,t)=\int_{\real^6} \phi(\e,x,y,s(\e,\csi,\eta,t) ,v(\e,\csi,\eta,t) ) d\mu(\csi,\eta)$$ e quindi equazioni differenziali del tipo $${\partial v \over \partial t} = \alpha(\e,s,v,t) .$$ Naturalmente ulteriori complicazioni potrebbero essere introdotte ispirandosi a teorie fisi\-che pi\'u complesse che non interessano per il momento dato che lo scopo di questa nota \`e solo di richiamare l'attenzione su alcuni ``tipi'' di problemi matematici di cui successivamente si potrebbero immaginare molte varianti ricche di significato fisico. \bigskip Ritornando al Problema gravitazionale approssimato e in particolare all'Osservazione 2 del \S 2, potremmo considerare il caso in cui la massa $\mu^*$ \`e distribuita con regolarit\`a, cio\`e esista una funzione $\varphi=\varphi(\e,x,y,t) \in C^\infty\bigl(\real\setminus\{0\} \times\real^7\bigr)$ tale che $$ \mu^*_t(B)=\int_B \varphi(\e,x,y,t) dxdy; \leqno(1)$$ in tal caso la funzione $u(\e,x,t)$ sar\`a data dalla formula $$u(\e,x,t)=\int_{\real^6} \left(\vert x-\csi\vert^2+\e^2\right)^{-1/2}\,\varphi(\e,\csi,\eta, t)\,d\csi\,d\eta,$$ e inoltre $\varphi$ soddisfer\`a l'equazione differenziale lineare del primo ordine $${\partial \varphi\over\partial t}=-\sum_{h=1}^3\left({\partial \varphi\over \partial x_h}y_h+{\partial\varphi\over\partial y_h}{\partial u\over\partial x_h} \right)$$ di cui le equazioni (1), (2) del Problema 2.1 individuano le linee caratteristiche. Si pu\`o porre allora il problema dell'esistenza del limite per $\e\to 0$ della funzione $\varphi(\e, x, y,t)$ e studiare i possibili collegamenti con i limiti considerati nelle Congetture 1, 2, 3 del \S 2. Probabilmente in tale studio potrebbero emergere fenomeni interessanti riguardanti le soluzioni pi\'u o meno generalizzate delle equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine. \bigskip \beginsection 4. Limiti di problemi variazionali collegabili ad equazioni iperboliche. Nella ricerca di eventuali approssimazioni di problemi difficili ed instabili con problemi pi\'u facili e pi\'u stabili si pu\`o far rientrare l'idea di ottenere soluzioni di problemi di evoluzione come limite delle soluzioni di problemi di minimo. Un esempio interessante in cui quest'idea \`e stata applicata con successo si trova nel lavoro [7]. Una possibile variante del risultato di Ilmanen \`e data dalla seguente congettura. \bigskip {\bf Congettura 1.} Siano $\varphi,\psi\in C_0^\infty(\real^n)$, $k> 1$ intero; per ogni numero reale positivo $\lambda$, $w_\l=w_\l(x_1,\ldots,x_n,t)$ fornisca il minimo del funzionale $$ F_\l(u)=\int_{\real^n\times [0,+\infty[} e^{-\l t}\left[ \Bigl| {{\partial^2 u}\over{\partial t^2}}\Bigr|^2 + \l^2 |\nabla_x u|^2 +\l^2 u^{2k} \right] dx\,dt \leqno(1)$$ nella classe delle $u$ soddisfacenti le condizioni iniziali $$ u(x,0)=\varphi(x),\qquad\qquad {{\partial u}\over{\partial t}}(x,0)=\psi(x). $$ Allora esiste il $\displaystyle\lim_{\l\to +\infty} w_\l (x,t)= w_0(x,t)$, soddisfacente l'equazione $$ {{\partial^2 w_0}\over{\partial t^2}}=\Delta_xw_0-kw_0^{2k-1}. \leqno(2)$$ \bigskip {\bf Osservazione 1.} Se questa congettura risultasse falsa si potrebbe pensare a opportune varianti, per esempio richiedere che essa sia vera per un insieme denso di dati iniziali, sostituire a $C^\infty$ dati analitici a decrescenza rapida, prendere in considerazione funzioni periodiche e in particolare polinomi trigonometrici, o addirittura pensare a un funzionale $F_\l$ di forma diversa da quella indicata nella (1) le cui minimizzanti convergono verso soluzioni della (2). Se viceversa la congettura fosse verificata, si potrebbe pensare a un gran numero di generalizzazioni, partendo da un funzionale $F$ del calcolo delle variazioni e associando ad esso il funzionale $$ F_\l(u)=\int_{\real^n\times [0,+\infty[} e^{-\l t} \Bigl| {{\partial^2 u}\over{\partial t^2}}\Bigr|^2\, dxdt + \l^2 \int_0^{+\infty} e^{-\l t} F\bigl(u(\cdot,t)\bigr)\,dt. $$ \bigskip \beginsection 5. Movimenti di variet\`a secondo funzioni euleriane. Per introdurre movimenti di variet\`a immerse in uno spazio euclideo $\real^n$ di ogni dimensione e codimensione cominciamo con lo stabilire alcune notazioni. Per ogni aperto $A\subset\real^n$ continueremo a indicare con $C^\infty (A)$ lo spazio delle funzioni reali continue in $A$ insieme con tutte le loro derivate di ogni ordine, mentre nel caso in cui l'insieme $E$ non \`e un aperto, scriveremo $f\in C^\infty(E)$ se e soltanto se esistono un aperto $A\supset E$ ed una funzione $f^*\in C^\infty(A)$ tali che, per ogni $x\in E$, $f(x)=f^*(x)$. Dati due aperti $A,\Omega$, scriveremo $A\subset\subset\Omega$ se e solo se la chiusura di $A$ \`e un compatto contenuto in $\Omega$. Infine, per ogni $E\subset\real^n$ possiamo definire la funzione $\eta_E$ nel modo seguente: $$ \eta_E(x)={1\over 2} [{\rm dist}(x,E)]^2= \inf\left\{{{|x-\xi|^2}\over{2}};\ \xi\in E\right\} . \leqno(1)$$ Possiamo ora dare la seguente definizione di variet\`a $h$-dimensionale di classe $C^\infty$ in un aperto $\Omega$. \bigskip {\bf Definizione 1.} Sia $\Omega$ un aperto di $\real^n$, sia $h$ intero, $0\le h\le n$. Diremo che un insieme $E$ \`e una variet\`a $h$-dimensionale di classe $C^\infty$ in $\Omega$ e scriveremo $E\in V_hC^\infty(\Omega)$, se sono soddisfatte le tre condizioni seguenti: $$\Omega\cap E=\left\{ x\in\Omega :\eta_E(x)=0\right\} \leqno(a)$$ $${\rm esiste\ un\ aperto}\ A\supset\Omega\cap E\ {\rm tale\ che\ } \eta_E\in C^\infty(A) \leqno(b)$$ $$ {\rm per\ ogni\ }x\in E\cap\Omega\ {\rm la\ matrice\ hessiana\ } \nabla^2\eta_E(x)\ {\rm ha\ caratteristica\ }n-h. \leqno(c)$$ \bigskip Se $g$ \`e una funzione di classe $C^\infty$ definita nell'insieme dei polinomi reali di grado minore o uguale di $k$ in $n$ variabili reali ed $E\in V_hC^\infty(\Omega)$, allora per ogni aperto $A\subset\subset\Omega$ possiamo considerare il funzionale $$ F(E,A)=\int_{A\cap E}g\bigl(\eta_E(x),\nabla\eta_E(x),\ldots, \nabla^k\eta_E(x)\bigr)\,d\hh^h(x), \leqno(2)$$ ove $\hh^h$ \`e la misura $h$-dimensionale di Hausdorff; poich\'e nei punti di $E$ si annullano $\eta_E$ e $\nabla\eta_E$, questo funzionale dipende in modo non banale da $g$ per $k\ge 2$. Diamo ora la definizione di funzione euleriana associata ad $E$ ed $F$. \bigskip {\bf Definizione 2.} Sia $E$ un sottoinsieme di $\real^n$, $\Omega$ un aperto di $\real^n$, sia $E=E\cap\Omega\in V_hC^\infty (\Omega)$. Sia $\psi\in (C^\infty(E))^n$ e sia $F$ definito dalla (2). Diremo allora che la funzione vettoriale $\psi$ \`e la $\underline{\rm \ funzione\ euleriana\ }$ di $F$ su $E$, e scriveremo $$ \psi\in {\cal E}(F,E) $$ se per ogni aperto $A\subset\subset\Omega$ e per ogni $\tau\in [C^\infty_0(A)]^n$ risulta $$ \lim_{\l\to 0}{1\over\l}\bigl(F(E_\l,A-F(E,A)\bigr)= \int_{E\cap A}\sum_{j=1}^n\tau_j(x)\psi_j(x)\,d\hh^h(x), $$ ove $E_\l=\left\{x+\l\tau(x);\ x\in A\cap E\right\}$. \bigskip Possiamo dare ora una nozione di movimento di discesa secondo la funzione euleriana. \bigskip {\bf Definizione 3.} Sia $E\subset\real^n$, $F$ definito dalla (2), $00$, $$ F_\e (E,A)=F(E,A)+\e^2\int_{E\cap A}|\nabla^{k+1}\eta_E|^2\,d\hh^h \leqno(3)$$ e formulare la seguente \bigskip {\bf Congettura 1.} Se $E$ \`e un compatto appartenente a $V_hC^\infty(\real^n)$, ed $F$ \`e definito dalla (2), allora, per ogni $\e\not=0$ esistono $T_\e>0$ ed $u_\e\in [C^\infty(E\times [0,T_\e[)]^n$ tali che $u_\e\in \MD(F_\e,E,T_\e)$. \bigskip Nel caso in cui $g$ si riduca a una costante positiva, si pu\`o ipotizzare l'indipendenza di $T$ da $\e$ come nella seguente \bigskip {\bf Congettura 2.} Se alle ipotesi della Congettura 1 aggiungiamo l'ipotesi $k>h$ e l'ipotesi che $g$ abbia un valore costante positivo allora si pu\`o assumere $T_\e\equiv +\infty$ e quindi $u_\e\in \bigl[ C^\infty(E\times [0,+\infty[)\bigr]^n$. \bigskip {\bf Osservazione 2.} In sostanza, la Congettura 2 ci fornirebbe un metodo canonico per approssimare i movimenti secondo la curvatura media. Per quanto riguarda i limiti per $\e\to 0$ di questi movimenti approssimati si porranno dei problemi pi\'u o meno simili a quelli indicati nei paragrafi precedenti. Per cominciare si potrebbe discutere la seguente congettura che in sostanza equivale ad una specie di risultato di unicit\'a per il movimento secondo la curvatura media definito con un ``metodo di viscosit\'a". \bigskip {\bf Congettura 3.} Nelle ipotesi della Congettura 2, esiste per ${\cal H}^{h+1}$ quasi tutti i punti di $E\times [0,+\infty)$ il limite $$\lim_{\varepsilon \to 0} u_\varepsilon (x,t)$$ \bigskip {\bf Osservazione 3. } Se la Congettura 3 risultasse falsa si potrebbe indebolirla in vario modo, chiedendo per esempio che essa valga nel caso in cui $E$ oltre ad appartenere a $V_hC^\infty (\real^n)$ appartenga a $V_h^\omega (\real^n)$, cio\'e che la funzione $\eta_E$ che compare nella Definizione 1 sia analitica nell'aperto $A$. Si potrebbe anche chiedere che la tesi della Congettura 3 sia verificata al variare di $E$ in un sottoinsieme denso dello spazio formato dai compatti che appartengono a $V_hC^\omega(\real^n) $ dotato di qualche opportuna topologia. Se invece la Congettura 3 fosse verificata, si potrebbero esaminare alcuni casi in cui la funzione $g$ che compare nella (2) non si riduca ad una costante. Da un punto di vista fisico, potrebbero anche avere un certo interesse per opportune scelte del funzionale $F$ equazioni del tipo $${\partial^2 u \over \partial t^2} = {\cal E}\bigl(F,L(x,t)\bigr)(u(x,t)) .$$ \bigskip {\bf Ringraziamenti.} Questa nota \'e il risultato di molte conversazioni avute con vari colleghi e amici, in particolare desidero ringraziare Luigi Ambrosio, Giovanni Bellettini, Giuseppe Bertin, Ivar Ekeland, Antonio Leaci, Carlo Mantegazza, Antonio Marino, Stefano Mortola, Diego Pallara, Sergio Spagnolo e Piero Villaggio. \bigskip \bigskip \centerline{\bf Bibliografia} \bigskip \refer {L.Ambrosio-H.M.Soner}{Level set approach to mean curvature flow in arbitrary codimension}{}{}{preprint SNS Pisa n.34 (1994).} \refer {H. Brezis}{Op\'erateurs Maximaux Monotones et S\'emi-groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert} {North Holland}{}{(1973)} \refer {J.M. Dawson}{Particle Simulation of Plasmas} {Review of Modern Phisics}{55, 403}{(1983)} \refer {M. Degiovanni, A. 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