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<pre>SEMINARIO DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Dipartimento di Matematica
Universita' degli Studi di Roma "Tor Vergata"
Martedi' 18 dicembre 2018, ore 14:30 Aula Dal Passo
Maurizio Grasselli (Politecnico di Milano)
Titolo: Equazioni di Cahn-Hilliard e proprieta' di separazione delle soluzioni
Abstract: Si consideri una lega binaria costituita da due metalli (p.es. Cu-Ni,
Al-Zn, Fe-Cr) di concentrazioni c_1 and c_2, rispettivamente, dove
c_1+c_2=1. Se tale sistema e' raffreddato al di sotto di una data
temperatura critica (che dipende dai materiali e dalla loro
proporzione) allora ha luogo un fenomeno noto come separazione di
fase. Questo fenomeno di "pattern formation" e' un esempio di
segregazione di fase che si ritrova in svariati contesti (p.es.,
formazione della struttura interna delle cellule, evoluzione dei
tumori, dinamica delle popolazioni, ricostruzione di immagini,
copolimeri diblock) e puo' essere descritto in maniera soddisfacente
da un'equazione di evoluzione non-lineare detta equazione di
Cahn-Hilliard. Essa puo' essere vista come un flusso gradiente
conservato generato da un funzionale energia libera non-convesso che
descrive l'evoluzione di una delle due concentrazioni (p.es. c=c_1).
La separazione di fase ha luogo quando la concentrazione iniziale non
e' una fase pura anche se puo' esserlo su insiemi di misura positiva.
Una questione interessante e' la seguente: la concentrazione diventa
una fase (uniformemente) mista in tempo finito? Piu' precisamente,
esiste una costante r in (0,1), dipendente soltanto dalla massa
totale, tale che c assume valori soltanto in [r,1-r] da un certo tempo
in poi? Questa e' la cosiddetta proprieta' di separazione stretta
(dalle fasi pure) che mostra gli effetti della presenza di
un'interfaccia diffusa. Se vale tale proprieta' allora il termine
entropico nel funzionale energia libera diventa globalmente regolare.
Cio' consente di provare una maggior regolarita' delle soluzioni e di
stabilire un quadro abbastanza dettagliato del loro comportamento per
tempi grandi. Intendo presentare lo stato dell'arte dei risultati su
tale argomento.
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