\documentclass[leqno]{article}
% equation numbering section.number
\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\def\theequation{\thesection.\arabic{equation}}

% new instructions
\setlength{\voffset}{0 cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\textwidth}{15.0cm}
\setlength{\textheight}{20.5cm}

\makeatother
\makeatletter
\def\bbbr{{\rm I\!R}}
\def\bbbq{{\mathchoice {\setbox0=\hbox{$\displaystyle\rm
Q$}\hbox{\raise
0.15\ht0\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.8\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\textstyle\rm Q$}\hbox{\raise
0.15\ht0\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.8\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\scriptstyle\rm Q$}\hbox{\raise
0.15\ht0\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.7\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\scriptscriptstyle\rm Q$}\hbox{\raise
0.15\ht0\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.7\ht0\hss}\box0}}}}
\def\rn{\bbbr^N}
\def\bbbn{{\rm I\!N}}
\def\level{\{u>t\}}
\newcommand{\diver}{{\rm div}}
\newcommand{\bull}{\vrule height .9ex width .8ex
depth -.1ex}
\newcommand{\medint}{-\kern  -,375cm\int}
\newcommand{\medintinrigo}{-\kern  -,315cm\int}
\newcommand{\no}{\noindent}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\hh}{{\cal H}^{N-1}}
\newcommand{\ro}{\varrho}
\newcommand{\BR}{B_R}
\newcommand{\Bro}{B_{\ro}}
\newcommand{\Br}{B_r}
\newcommand{\BRxz}{B_R(x_0)}
\newcommand{\Brox}{B_{\ro}(x)}
\newcommand{\dis}[2]{{\rm dist}^2({#2},{#1})}
\newcommand{\E}[2]{\int_{#2}|\nabla {#1}|^2\,dx}
\newcommand{\LLN}{{\cal L}^N}
\newcommand{\LLU}{{\cal L}^1}
\newcommand{\dev}[2]{{\rm Dev}(#1,#2)}
\newcommand{\res}
{\mathop{\hbox{\vrule height 7pt width .5pt depth 0pt
\vrule height .5pt width 6pt depth 0pt}}\nolimits}
\newcommand{\qed}{\thinspace\null\nobreak\hfill
\hbox{\vbox{\kern-.2pt\hrule height.2pt
depth.2pt\kern-.2pt\kern-.2pt \hbox to1.8mm
{\kern-.2pt\vrule width.4pt
\kern-.2pt\raise1.8mm\vbox to.2pt{}
\lower0pt\vtop to.2pt{}\hfil\kern-.2pt
\vrule width.4pt\kern-.2pt}\kern-.2pt\kern-.2pt
\hrule height.2pt depth.2pt
\kern-.2pt}}\par\medbreak}

\newtheorem{definition}{Definition}[section]

\newtheorem{lemma}[definition]{Lemma}

\newtheorem{theorem}[definition]{Theorem}

\newtheorem{proposition}[definition]{Proposition}

\newtheorem{corollary}[definition]{Corollary}

\newtheorem{remark}[definition]{Remark}

\newcommand{\cl}{$ \clubsuit$ }
\newcommand{\spade}{$ \spadesuit$ }




\begin{document}


\title{A chain rule formula in $BV$
and application to lower semicontinuity}

\author{Virginia De Cicco\\Dipartimento di Metodi e Modelli
\\Matematici per le Scienze Applicate\\Universit\`{a} di Roma ``La Sapienza''
\\Via Scarpa 16\\Rome, Italy, I-00161
\and Nicola Fusco, Anna Verde\\Dipartimento di Matematica e Applicazioni
``R. Caccioppoli''\\Universit\`{a} degli Studi di Napoli ``Federico II''\\via
Cinzia-Complesso Universitario Monte S. Angelo \\Napoli, Italy}
\date{}
\maketitle











\section{Introduction}

It is well known that if $u$ is a $BV$ function from a bounded open set $\Omega\subset\rn$ and $B:\bbbr\to\bbbr$ is Lipschitz, the composition $v=B\!\circ\!u$ is also in $BV(\Omega)$ and the following chain rule formula holds
$$
Dv=B^\prime({\widetilde u})\nabla u\LLN+B^\prime({\widetilde u})D^cu+(B(u^+)-B(u^-))\nu_u\hh\res J_u\,,
$$
where $\nabla u$ is the absolutely continuous part of $Du$, $D^cu$ is the Cantor part of $Du$ and $J_u$  is the jump set of $u$ (for the definition of these and other relevant quantities, see Sect.2). A delicate issue about this formula concerns the meaning  of the first two terms on the right hand side. In fact, in order to understand why they are well defined, one has to take into account that $B^\prime(t)$ exists for $\LLU$-a.e. $t$ and that,  if $E$ is an $\LLU$-null set in $\bbbr$, not only $\nabla u$ vanishes $\LLN$-a.e. on ${\widetilde u}^{-1}(E)$, but also $|D^cu|({\widetilde u}^{-1}(E))=0$ (see \cite[Theorem 3.92]{afp}). The difficulty of giving a correct meaning to the various parts in which the derivative of a $BV$ function can be split is even greater  when $u$ is a vector field, a case where a chain rule formula has been proved by Ambrosio and Dal Maso in \cite{adm}. In particular, their result applies to the composition of a scalar  $BV$ function with a Lipschitz function $B$ depending also on $x$, namely to the function $B(x,u(x))$, where $B:\Omega\times\bbbr\to\bbbr$ is Lipschitz. 
\par
In many applications, however,  $B$ has the special form
\begin{equation}\label{specialB}
B(x,t)=\int_0^tb(x,s)\,ds\,,
\end{equation}
but, on the other hand, one would like to assume only a weak differentiability of $B$  with respect to $x$ (or even less). In this spirit,  De Cicco and Leoni (\cite{dcl}) have obtained a chain rule formula in the case $B(x,t)$ is a vector field such that $\diver_{x}B(\cdot,t)$ belongs to $L^1(\Omega)$, uniformly with respect to $t$, and $u$ is in $W^{1,1}(\Omega)$. In the same paper they prove an  $L^1$-lower semicontinuity result in $W^{1,1}$ by applying their formula to a vector field $B$ of the type (\ref{specialB}).
\par
In this paper we extend these results to the case where $u$ is a $BV$ function and replace the assumption that $\diver_{x}B$ is in $L^1$ with a  $BV$ dependence with respect to $x$. Namely, we prove the following
\begin{theorem}\label{chainb2}Let $\Omega\subset\rn$ be an
open bounded set
and let $b:\Omega\times\bbbr\rightarrow\bbbr$ be a locally
bounded Borel function. Assume that
\begin{enumerate}
\item[(i)]  for $\LLU$-a.e. $t\in
\bbbr$ the function $b(\cdot,t)  \in BV(\Omega)$;
\item[(ii)] for any compact set $H\subset\bbbr$,
$$
\int_H|D_xb(\cdot,t)|(\Omega)\ dt<+\infty\,.
$$
\end{enumerate}
Then, for every $u\in BV(\Omega)\cap L_{loc}^{\infty}(\Omega)$,
the function $v:\Omega\rightarrow\bbbr$,
defined by
\[
v(x):=\int_{0}^{u(x)}\!b(x,t)\,dt\,,
\]
belongs to $BV_{loc}(\Omega)$ and for any
$\phi\in C_0^1(\Omega)$ we have
\begin{eqnarray}\label{chainrule}
\qquad
\int_{\Omega}\!\nabla\phi(x)  v(x)\,dx=
\!\!&-&\!\!\!\!\!\!
\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!dt\!\!\int_{\Omega}{\rm sgn}(t)\
\chi^*_{\Omega_{u,t}}(x)\phi(x)
\,dD_xb(x,t)-\!\int_{\Omega}\!\phi(x)b^*(x,\widetilde
u(x))\nabla u(x)\,dx \\
\!\!&-&\!\!\!\!\!\!
\int_{\Omega}\phi(x)b^*(x,\widetilde
u(x))\,dD^cu(x)-\!\int_{J_u}\!\!\phi(x)\nu_u(x)\,dH^{N-1}(x)\!\!
\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!b^*(x,t)\,dt, \nonumber
\end{eqnarray}
where $\Omega_{u,t}=\{x\in\Omega:\,t$ belongs to the segment of
endpoints $0$ and $u(x)\}$ and $\chi^*_{\Omega_{u,t}}$ and
$b^*(\cdot,t)$ are, respectively, the precise representatives of
$\chi_{\Omega_{u,t}}$ and $b(\cdot,t)$.
\end{theorem}


\noindent
Notice that all the integrals on the right hand side of (\ref{chainrule}) are well defined. In fact $b^*(x,t)$ is a locally bounded  Borel function, $\widetilde u$ is  Borel, hence $b^*(x,\widetilde u(x))$ is a Borel function too. Similarly, the function $(x,t)\in\Omega\times\bbbr\to\chi^*_{\Omega_{u,t}}(x)$ is a Borel function, hence it makes sense to integrate it first with respect to the vector measure $D_xb(\cdot,t)$ and then with respect to $t$.
\par
To prove  (\ref{chainrule}) we start by regularizing $b$  with respect to $x$, so to get a Lipschitz approximation to which the Ambrosio and Dal Maso chain rule formula applies. Then, the rest of the proof consists in analyzing carefully the convergence of all the terms in (\ref{chainrule}), those involving the various parts of the derivative of $u$ and the one containing the derivative of $b$ with respect to $x$. Each of these terms requires a different argument. We notice also that, when dealing with a function $u$ in $W^{1,1}$, the assumptions of Theorem \ref{chainb2} can be weakened by considering a vector field $b:\Omega\times\bbbr\to\rn$   such that $\diver _{x}b(\cdot,t)$ is a Radon measure for $\LLU$-a.e. $t$. At this regard our Theorem \ref{chainb3} can be viewed as a generalization of the fore mentioned result proved in \cite{dcl}.
\par
Let us now turn to the application of (\ref{chainrule}) to lower semicontinuity. Recent papers by Fonseca and Leoni, Gori, Maggi and Marcellini, and by the authors of this paper (see \cite{flbis},  \cite{goma}, \cite{gmm}, \cite{dcl}, \cite{fgv}, \cite{dcfv}) have shown that the classical conditions due to Serrin (\cite{ser}), ensuring the $L^1$-lower semicontinuity in $W^{1,1}$ of a functional of the type
\begin{equation}\label{functF}
\qquad\qquad F(u)=\int_{\Omega} f(x,u(x),\nabla u(x))\ dx, \qquad u\in W^{1,1}(\Omega), 
\end{equation}
can be considerably weakened. In particular, Gori, Maggi and Marcellini in \cite{gmm} show that beside the usual convexity assumption with respect to the gradient and the continuity with respect to $u$, in order to prove that $F$ is lower semicontinuous it is enough to assume that $f$ is (uniformly) weakly differentiable in $x$, namely that
for any compact set $H\subset\bbbr\times\rn$
$$
\qquad\qquad \int_\Omega|\nabla_x f(x,t,\xi)|\,dx\leq L\qquad \hbox{for every}\,\,\, (t,\xi)\in H\,,
$$
for some constant $L\equiv L(H)$. As a consequence of Theorem \ref{chainb2}, we are able to improve their result by replacing the weak differentiabilty of $f$ with respect to $x$ with a $BV$ dependence on $x$. 
\begin{theorem}\label{sem18}
Let us assume that $f:\Omega\times\bbbr\times\rn\to[0,+\infty)$
is a locally bounded Borel function such that
\begin{equation}\label{hypo1}
\qquad
f(x,t,\cdot)\,\,\,\hbox{\it is convex in $\rn$ for every}
\,\,\,(x,t)\in\Omega\times\bbbr\,,
\end{equation}
\begin{equation}\label{hypo2}
\qquad
f(x,\cdot,\xi)\,\,\,\hbox{\it is continuous in $\bbbr$ for every}
\,\,\,(x,\xi)\in\Omega\times\bbbr^{N}\,,
\end{equation}
\begin{equation}\label{hypo3}
\qquad
f(\cdot,t,\xi)\in BV(\Omega)\,\,\,\hbox{\it for every $(t,\xi)\in
\bbbr\times\rn$}\,,
\end{equation}
and such that, for any compact $K\subset\bbbr\times\rn$, there exists
$L\equiv L(K)$ such that
\begin{equation}\label{hypo4}
\qquad \int_K|D_{x}f(\cdot,t,\xi)|(\Omega)\,dtd\xi<L\,.
\end{equation}
Then the
functional $F$ is lower semicontinuous in $W^{1,1}(\Omega)$ with
respect to the $L^1(\Omega)$ convergence.
\end{theorem}

We remark that this result is optimal in the sense that, as shown by various examples (see  \cite{dm} or \cite{gmm}), if no coercivity nor strict convexity of $f$ is assumed the lower semicontinuity may fail when $f$ is not $BV$ in $x$. However, it would be nice to extend this theorem to the case where $u$ is in $BV$, i.e. to find the lower semicontinuous envelope of the functional $F$ in (\ref{functF}), a problem which is still open under the quite general assumptions on $f$ made above. 
\par\noindent
As an example, consider the functional 
$$
\int_\Omega a(x)|\nabla u(x)|\,dx\,,
$$ 
where $a$ is a locally bounded nonnegative $BV$ function. By Theorem \ref{sem18}, this  functional is $L^1$-lower semicontinuos on $W^{1,1}$, but even in this case it is not clear which is its lower semicontinuous extension to $BV$. One could think that a good candidate is the functional
\begin{equation}\label{esempio}
 \qquad\qquad\ \int_\Omega a^*(x)\,d|Du|(x) \qquad u\in BV(\Omega)\,,
\end{equation}
but it is not so. In fact if $\Omega=(0,1)^2$, $a=\chi_E$, where $E=(0,1)\times(1/2,1)$, the integral in (\ref{esempio}) is not lower semicontinuous along the sequence $u_n=\chi_{E_n}$, where $E_n=(0,1)\times((n-1)/(2n),1)$, which converges in $L^1(\Omega)$ to $\chi_E$.


\section{Definitions and preliminaries}
In this section we recall some preliminary results and
basic  definitions. For all the material contained in this section
the reader may refer to
\cite{afp} and
\cite{fed}.
\par\noindent
Let $E$ be a measurable subset of $\rn$.  The {\it density}
$D(E;x)$ of $E$ at a point $x\in\rn$ is defined by $$
D(E;x)=\lim_{\ro\to0}\frac{\LLN(E\cap B_{\rho}(x))}{\omega_N\rho^N},$$
where $\omega_N$ is the measure of the unit ball,
whenever this limit exists. Hereafter, $B_{\rho}(x)$ denotes the ball
centered at $x$ with radius $\rho$.
The {\it essential boundary} $\partial^ME$ of $E$ is the Borel set defined as
\begin{equation}\label{duezero}
\qquad\quad\partial^ME=\rn\setminus\{x\in\rn:\, D(E;x)=0
\,\,\,\hbox{\rm or}\,\,\,D(E;x)=1\}\;.
\end{equation}
We say that the set $E$ is of {\it finite perimeter} in an open set
$\Omega$ if
$\hh(\partial^ME\cap\Omega)<\infty$. Notice that, by \cite[Theorem
4.5.11]{fed}, this definition is equivalent to the one originally
given in  \cite{deg1} and usually adopted in the literature.
Notice also that if $\Omega\subset\rn$ is an open set, the
quantity $\hh(\partial^ME\cap\Omega)$ agrees with the classical
{\it perimeter of} $E$ {\it in} $\Omega$ (see \cite[Theorem
3.61]{afp}).
\par
Let $\Omega\subset\rn$ be an open set and let
$u:\Omega\to\bbbr$ be a measurable function. The {\it upper and
lower approximate limit} of $u$ at a point $x\in\Omega$ are
defined as
\begin{equation}\label{aplimsupeinf}
\quad u^+(x)\!=\!\inf\{t\in\bbbr:D(\{u\!>\!t\};x)\!=0\},\quad
u^-(x)\!=\!\sup\{t\in\bbbr:D(\{u\!<\!t\};x)\!=0\}\, ,
\end{equation}
respectively. The quantities $u^+(x),\,u^-(x)$ are well defined
(possibly equal to $\pm\infty$) at every $x\in \Omega$, and
$u^-(x)\leq u^+(x)$. The functions $u^+,\,u^- : \Omega \to
[-\infty, \infty]$ are Borel measurable.
\par\noindent
We say that $u$ is {\it approximately continuous} at a point $x\in
\Omega$ if $u^+(x)=u^-(x)\in\bbbr$. In this case, we set ${\widetilde
u}(x)=u^+(x)=u^-(x)$ and call ${\widetilde u}(x)$ the {\it approximate
limit} of $u$ at $x$. Notice that definition (\ref{aplimsupeinf})
implies that $u$ is approximately continuous at $x$ with
approximate limit ${\widetilde u}(x)$ if and only if
\begin{equation}\label{aplimite}
\qquad\qquad\qquad\qquad D(\{y\in\Omega:\,|u(y)-{\widetilde u}(x)|>\eps\};x) = 0 \qquad\qquad {\rm for
\, every} \; \eps >0\,.
\end{equation}
The set of all points in $\Omega$ where $u$ is approximately
continuous is a Borel set which will be denoted by $C_u$ and called the set of {\it approximate continuity} of $u$.
The set $S_u=\Omega\setminus C_u$ will be referred to as the set
of {\it approximate discontinuity} of $u$.
\par\noindent
As a simple consequence of the above definitions we have,
\begin{equation}\label{duequattrobis}
\qquad\qquad\qquad\qquad \partial^M{\{u>t\}} \subset \{u^-\leq t\leq u^+ \} \qquad\qquad {\rm for \, every}\;
t\in\bbbr\;.
\end{equation}
In particular,
\begin{equation}\label{dueuno}
\qquad\qquad\qquad\qquad C_u\cap\partial^M\{u>t\} \subset \{{\widetilde u}=t\} \qquad\qquad {\rm for \,
every}\; t\in\bbbr\,.
\end{equation}
Finally, by $u^*$ we denote the {\it precise representative} of $u$ which is
defined by
$$
u^*(x)=\frac{u^+(x)+u^-(x)}{2}\,
$$
if $u^+(x),u^-(x)\in\bbbr$, $u^*(x)=0$ otherwise.
\par
  A locally integrable function
$u$ is said to be {\it approximately differentiable} at a point $x\in C_u$ if
there exists
$\nabla u(x)\in\rn$ such that
\begin{equation}\label{duetre}
\lim_{\rho\to 0}\frac{1}{\rho^{N+1}}\int_{B_{\rho}(x)} |u(y)-{\widetilde
u}(x)-\langle\nabla u(x),y-x\rangle|\,dy=0\;.
\end{equation}
Here, $\langle\cdot,\cdot\rangle$ stands for scalar product in
$\rn$. The vector  $\nabla u(x)$ is called the {\it approximate
differential} of $u$ at $x$. The set of all points in $C_u$ where
$u$ is approximately differentiable is denoted by ${\cal D}_{u}$ and is
called the set of {\it approximate differentiability} of $u$. It
can be easily verified that ${\cal D}_{u}$ is a Borel set
and that $\nabla u:{\cal D}_{u}\to\rn$ is a Borel function.
\par
A function $u\in L^1(\Omega)$ is said to be of  {\it bounded variation}
if its distributional gradient $Du$ is an $\rn$-valued Radon
measure in $\Omega$ and the total variation $|Du|$ of $Du$ is
finite in $\Omega$. The space of all functions of bounded
variation in $\Omega$ is denoted by $BV(\Omega)$, while the
notation $BV_{loc}(\Omega)$ will be reserved for the space of
those functions $u\in L^1_{loc}(\Omega)$ such that $u\in
BV(\Omega^\prime)$ for every open set
$\Omega^\prime\subset\!\subset\Omega$.
\par
Let $u\in BV(\Omega)$. Then it can be proved that
$$
\qquad\qquad\qquad\qquad \lim_{\rho\to 0}\medint_{B_{\rho}(x)}|u(y)-{\widetilde
u}(x)|\,dy=0 \qquad\qquad {\rm for}\; \hh{\rm -a.e.} \; x\in C_u
$$
and that $u$ is approximately differentiable for $\LLN$-a.e. $x$.
Moreover, the functions $u^-$ and $u^+$ are finite $\hh$-a.e. and for
$\hh$-a.e.
$x\in S_u$  there exists a unit vector $\nu_u(x)$ such that
\begin{equation}\label{duedue}
\qquad
 \lim_{\rho\to 0}\medint_{B^+_\rho(x;\nu_u(x))}\!\!|u(y)-u^+(x)|\,dy=0,
\qquad
\lim_{\rho\to 0}\medint_{B^-_\rho(x;\nu_u(x))}\!\!|u(y)-u^-(x)|\,dy=0
\;,
\end{equation}
where $B^+_\rho(x;\nu_u(x))=\{y\in B_{\rho}(x):\,\langle
y-x,\nu_u(x)\rangle>0\}$, and $B^-_\ro(x;\nu_u(x))$ is defined
analogously. The set of all points in $S_u$ where the
equalities in (\ref{duedue}) are satisfied is called the {\it jump set}
of
$u$ and is denoted by $J_u$.
\par\noindent
If $u$ is a $BV$ function, we denote by $D^au$ the absolutely continuous
part of $Du$ with respect to Lebesgue measure. The singular part,
denoted by $D^su$, is split into two more parts, the {\it jump
part} $D^ju$ and the {\it Cantor part} $D^cu$, defined by
$$
\qquad
 D^ju=D^su\res J_u,\qquad\qquad D^cu=D^su-D^ju\;.
$$
Finally, we denote by ${\widetilde D}u$ the {\it diffuse part} of
$Du$, defined by
$$
{\widetilde D}u=D^au+D^cu\,.
$$
If $u\in BV(\Omega)$, then for a.e. $t\in\bbbr$ the set
$\{x\in\Omega:\,u(x)>t\}$ is of finite perimeter in $\Omega$. Moreover,
the following version of the {\it coarea formula} holds (see
\cite[Theorem 3.40 and (3.63)]{afp}).
% and for any Borel set $B\subset\Omega$ we have (see
%\cite[Theorem 3.40 and (3.63)]{afp}) $$
%|Du|(B)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hh(B\cap\partial^{*}\{u>t\})\,dt\;. $$ This
%equality is equivalent to the following {\it coarea formula}.
\begin{theorem}[Coarea formula]\label{coarea}
Let $\Omega$ be an open subset of $\rn$ and let $u\in
BV(\Omega)$. Assume that $g:\Omega\to[0,+\infty]$ is a Borel
function. Then
\begin{equation}\label{coareauno}
\int_\Omega
g\,d|Du|=\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!dt\!\int_{\partial^M\{u>t\}
\cap\Omega}\!g\,d\hh\;.
\end{equation}
\end{theorem}
An alternative version of formula (\ref{coareauno}) states that
\begin{equation}\label{coareater}
\int_\Omega g\,d|Du|=\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!dt\!
\int_{\{u^-\leq t\leq u^+ \}}\!g\,d\hh
\end{equation}
(see \cite[Theorem 4.5.9]{fed}). Making use of (\ref{coareauno})
and (\ref{coareater}) with $g\equiv 1$ and of
(\ref{duequattrobis}) yields
\begin{equation}\label{duequattroter}
\qquad\qquad\qquad\qquad \hh\Bigl(\{u^-\leq t\leq u^+ \}\setminus
\bigl(\partial^M\{u>t\}\cap\Omega\bigr)\Bigr)=0
\qquad\qquad \hbox{\rm for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr\,.$}
\end{equation}
The following lemma contains some useful properties of the
characteristic
functions of the level sets of a $BV$ function $u$.
\begin{lemma}\label{funzcaracter}
Let $\Omega$ be an open subset of $\rn$ and let $u:\Omega\to\bbbr$ a
measurable function. Then, for all $t\in\bbbr$ and $x\in\Omega$
\begin{equation}\label{funzcaracter0}
\qquad
u^-(x)>t\,\,\Longrightarrow\,\,\chi_{\level}^*(x)=1,
\qquad
u^+(x)<t\,\,\Longrightarrow\,\,\chi_{\level}^*(x)=0\,,
\end{equation}
Moreover, if $u\in BV(\Omega)$, for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$ there
exists a Borel set $N_t\subset\Omega$, with $\hh(N_t)=0$, such that for
any $x\in\Omega\setminus N_t$ the following relations hold
\begin{equation}\label{funzcaracter1}
\qquad
u^-(x)>t\,\,\Longleftrightarrow\,\,\chi_{\level}^*(x)=1,
\qquad
u^+(x)<t\,\,\Longleftrightarrow\,\,\chi_{\level}^*(x)=0\,,
\end{equation}
\begin{equation}\label{funzcaracter2}
\qquad
u^-(x)\leq t\leq u^+(x)\,\,\Longleftrightarrow\,\,
\chi_{\level}^*(x)=\frac{1}{2}\,.
\end{equation}
\end{lemma}
\smallskip\noindent
{\bf Proof. } Let us fix $x\in\Omega$ and  assume
that $u^-(x)>t$. Then, by the definition (\ref{aplimsupeinf}), it
follows that $D\bigl(\{u<s\};x\bigr)=0$ for all $t<s<u^-(x)$. In
particular, we have that
$D\bigl(\level;x\bigr)=1$, i.e. $D\bigl(\{\chi_{\level}=1\};x\bigr)=1$
which, in turn, is equivalent to $\chi_{\level}^-(x)=1$. From this
equality we immediately get that $\chi_{\level}^*(x)=1$, since
$\chi_{\level}^-(x)\leq\chi_{\level}^+(x)\leq1$ for all
$x\in\Omega$. The other implication in (\ref{funzcaracter0}) is proved
in the same way.
\par\noindent
To prove (\ref{funzcaracter1}) and (\ref{funzcaracter2}), notice
that there exists an $\LLU$-null set  $T\subset\bbbr$  such that if
$t\not\in T$ the level set
$\level$ is  of finite perimeter in $\Omega$ and
(\ref{duequattroter}) holds.  Let us fix  $t\in\bbbr\setminus T$. Since
$\level$ is a set of finite perimeter, denoting by
$\{u>t\}^{1/2}$ the set of points $x\in\rn$ such that
$D\bigl(\level;x\bigr)=1/2$, we have    (see
\cite[Th. 3.61]{afp})
$\hh\bigl(\partial^M\{u>t\}\cap\Omega\setminus\{u>t\}^{1/2}\bigr)=0$.
Therefore, from this equation and from (\ref{duequattroter}), setting
$$
N_t=\{u^-\leq t\leq u^+\}\setminus\level^{1/2}\,
$$
we have that $\hh(N_t)=0$.
\par\noindent
Let $x$ be a point in $\Omega\setminus N_t$,
such that $\chi_{\level}^*(x)=1$. From this equality we have that
$\chi_{\level}^-(x)=1$, which is equivalent to the equality
$D\bigl(\level;x\bigr)=1$, hence $D\bigl(\{u<t\};x\bigr)=0$ and, by
(\ref{aplimsupeinf}), this last equality yields $u^-(x)\geq t$.
However, if $u^-(x)$ were equal to $t$, then $x$ would trivially
satisfy the inequality $u^-(x)\leq t\leq u^+(x)$ and this is
impossible since  $D\bigl(\level;x\bigr)=1$, hence
$x\not\in\level^{1/2}$, and by assumption $x\not\in N_t$. Therefore
$u^-(x)>t$ and by (\ref{funzcaracter0}) we obtain the first
equivalence in (\ref{funzcaracter1}).
The second equivalence  is proved similarly.
\par\noindent
If $u^-(x)\leq t\leq u^+(x)$ and $u\not\in N_t$, then necessarily
$x\in\level^{1/2}$, hence we easily get that $\chi_{\level}^*(x)=1/2$.
The opposite implication follows trivially from (\ref{funzcaracter1}).
\qed
\vskip 0.2cm
\noindent
  Next result is contained in
\cite[Lemma~2.35]{afp}.
\par\noindent
\begin{lemma}\label{partiz}
Let $\mu$ be a positive Radon measure in an open set
$\Omega\subset\rn$ and let $\psi_j:\Omega\to[0,\infty]$,
$j\in\bbbn$, be Borel functions.
Then
$$
\int_\Omega\sup_j\psi_j\,d\mu=
\sup\biggl\{\sum_{j\in J}\int_{A_j}\psi_j\,d\mu\biggr\}\;,
$$
where the supremum ranges among all finite sets $J\subset\bbbn$
and all families $\{A_j\}_{j\in\bbbn}$ of pairwise disjoint open
sets with compact closure in $\Omega$.
\end{lemma}
\par\noindent
The following lemma is a classical approximation result due to De
Giorgi (see \cite{deg}).
\begin{lemma}\label{degiorgi}
Let $f$ be a Borel function from
$\Omega\times\bbbr\times\rn$ into $[0,+\infty)$, satisfying
(\ref{hypo1}). Then, there
exists a sequence $\left\{  \alpha_{k}\right\}  \subset C_{0}^{\infty
}(\bbbr^{N})$, with $\alpha_{k}\geq 0$ and $\int_{\bbbr^{N}}
\alpha_{k}(\xi)\,d\xi=1$ such that,
if we set for $(x,t)\in\Omega\times\bbbr$, $i=0,1,\dots,N$,
\begin{eqnarray*}
a_{0,k}(x,t)
\!\!\!&=&\!\!\!\int_{\bbbr^{N}}f(x,t,\xi)\left(  (N+1)\alpha_{k}
(\xi)+\langle\nabla\alpha_{k}(\xi),\xi\rangle\right)\,d\xi\,, \\
a_{i,k}(x,t)\!\!\!&=&\!\!\!-\int_{\bbbr^{N}}f(x,t,\xi)
{\partial\over\partial
x_i}\alpha_{k}(\xi)\,d\xi\,,
\end{eqnarray*}
and, for $(x,t,\xi)\in\Omega\times\bbbr\times\rn$,
$$
g_k(x,t,\xi)=a_{0,k}(x,t)+\sum_{i=1}^Na_{i,k}(x,t)\xi_i\;,
$$
then, for all $(x,t,\xi)\in\Omega\times\bbbr\times\rn$, we have
$$
f(x,t,\xi)=\sup_k\,\max\{g_k(x,t,\xi),0\}\;.
$$
\end{lemma}
\par\noindent

\begin{remark}\label{veb}
{\rm
We remark that for if  for all $(x,\xi)\in \Omega\times\rn$
the function $f(x,\cdot,\xi)$ is continuous,
then for every $x\in\Omega$
the coefficients $a_{i,k}(x,\cdot)$
are continuous functions.
If $f(\cdot,t,\xi)$ is a $BV$ function for every $(t,\xi)\in\bbbr\times\rn$ and (\ref{hypo4}) holds, then for every $k\in\bbbn$, $i=0,\dots,N$, and $t\in \bbbr$
the coefficients $a_{i,k}(\cdot,t)$ given by the previous lemma
are $BV$ functions. Moreover, it can be easily checked that for every compact
$H\subset\bbbr$, there exists
$L\equiv L(H)$ such that
\begin{equation}\label{hypo4a}
\int_H|D_{x}a_{k}(\cdot,t)|(\Omega)\,dt\leq L\,,
\end{equation}
where $a_k=(a_{1,k},\dots,a_{N,k})$.
}
\end{remark}





\section{Proofs}
We start this section with a simple technical lemma.

\begin{lemma}\label{boreliano}
Let $b(x,t):\Omega\times\bbbr\to\bbbr$ be a locally bounded Borel
function. Then, the function $b^*(x,t)$ is also a locally bounded
Borel function in $\Omega\times\bbbr$.
\end{lemma}
{\bf Proof.}
Let us prove that the function defined by
$$
 \qquad\qquad \quad\quad b^+(x,t):=\inf\{s\in \bbbr: \ D(\{y:b(y,t)>s\};x)=0\}  \qquad\quad \hbox{\rm for all $(x,t)\in\Omega\times\bbbr$}
$$
is a Borel function. Then the result will follow at once, since $b^*(x,t)=(b^+(x,t)+b^-(x,t))/2$, where $b^-$, defined similarly to $b^+$, is also a Borel function.
\par\noindent 
First, notice that for all $a\in \bbbr$ 
$$
\{(x,t): \ b^+(x,t)<a\}=\bigcup_{s_i<a, s_i\in\bbbq}\{(x,t):\
D(\{y:b(y,t)>s_i\};x)=0\}.
$$
Thus, it is enough to show that for every $s\in\bbbr$ the set $\{(x,t): \ D(\{y:b(y,t)>s\};x)=0\}$ is a Borel set
or, equivalently, that the set
$$
\{(x,t): \ \limsup_{\rho\rightarrow 0}{1\over\rho^N}\LLN(\{y:b(y,t)>s\}\cap B_{\rho}(x))=0\}
$$
is a Borel set.
To this aim, it is enough to prove that the function
$$
(x,t)\in\Omega\times\bbbr\rightarrow\inf_{i\in\bbbn}\sup_{\rho\in\bbbq,0<\rho<{1\over i}}{1\over\rho^N}\LLN(\{y:b(y,t)>s\}\cap B_{\rho}(x))$$
is a Borel function, and this follows at once from the fact that for any Borel set
$A\subset \bbbr^N\times \bbbr$ the function
$$
(x,t)\in\bbbr^N\times\bbbr\rightarrow  \LLN(A_t\cap B_{\rho}(x))\,,
$$
where $A_t=\{y:(y,t)\in A\}$,
is a Borel function. In order to prove this last property, let us consider the family of subsets of $\bbbr^N\times \bbbr$ defined by
$$
{\cal F}=\{A\,\,\hbox{\rm is a Borel subset of}\,\,\bbbr^N\times \bbbr: \,\, (x,t)\rightarrow\LLN(A_t\cap B_{\rho}(x))\,\,\hbox{\rm is a Borel
function} \}\,.
$$
The following properties of $\cal F$ are easily cheched: (i) if $A_i$ is an increasing sequence of sets in $\cal F$, then $\cup_iA_i$ belongs to $\cal F$; (ii) if $A_1$, $A_2$ and $A_1\cup A_2$ belong to $\cal F$, then $A_1\cap A_2\in{\cal F}$; (iii) if $A\in{\cal F}$, then $\bbbr^N\setminus A\in{\cal F}$. From all these properties and from the fact that  ${\cal F}$ contains any  product of a Borel subset of $\bbbr^N$ and of a Borel subset of $\bbbr$, using \cite[Remark 1.9]{afp}, we get that $\cal F$ coincides with the family of Borel sets in $\bbbr^N\times\bbbr$. Hence, the result follows.
\qed
\begin{remark}\label{remborel}
{\rm
We claim that, if $u$ is a measurable, locally bounded function from $\Omega$ to $\bbbr$, then the function $(x,t):\Omega\times\bbbr\to\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)$ is Borel. In fact notice that since $u^*$ is a Borel function, the function $(x,t):\Omega\times\bbbr\to\chi_{\Omega_{u^*,t}}(x)$ is Borel too. Hence, Lemma \ref{boreliano} yields that $(x,t)\to\chi_{\Omega_{u^*,t}}^*(x)$ is Borel. Therefore, since $\chi_{\Omega_{u^*,t}}(x)=\chi_{\Omega_{u,t}}(x)$ for $\LLN$-a.e. $x$ and for all $t$, the claim follows from the fact that, for all $x\in\Omega$ and all $t\in\bbbr$, $\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)=\chi_{\Omega_{u^*,t}}^*(x)$.
}
\end{remark}
\vskip 0.2cm
\noindent
{\bf Proof of Theorem \ref{chainb2}.} \ {\sc Step 1.} \
Let us fix a test function $\phi\in C^1_0(\Omega)$ and let
$\Omega^\prime\subset\!\subset\Omega$ be an open set such that
supp$\phi\subset\Omega^\prime$. Denote by
$\ro_{\varepsilon}(x)=\eps^{-N}\ro(x/\eps)$,
where $\eps<$dist$(\Omega^{\prime},\partial\Omega)$,  a standard
radially symmetric mollifier and define
$$
b_{\varepsilon}(x,t):=\int_{\Omega}\ro_{\varepsilon}(x-y)
\,b(y,t)\,dy
$$
for all $x\in\Omega^{\prime}$ and $t\in\bbbr$.
\par\noindent
Given a function ${u}\in BV(\Omega)\cap L^{\infty}_{loc}(\Omega)$ we define
$$
v_{\varepsilon}(x)  :=\int_0^{{u}(x)}b_{\varepsilon}(x,t)\ dt
$$
and since the function $(x,t)\to{\displaystyle\int_0^t\!b_\eps(x,s)ds}$ is locally Lipschitz in
$\Omega\times\bbbr$, using a
general chain rule formula due to Ambrosio and Dal Maso (see
\cite{adm} and  \cite[Th. 3.101]{afp}), we have that
${v}_{\varepsilon}\in BV(\Omega^{\prime})$ and
\begin{eqnarray}\label{dim1}
\qquad
\int_{\Omega}\nabla\phi(x)v_{\varepsilon}(x)dx
\!\!\!&=&\!\!\!
-\!\int_{\Omega}\phi(x)\,dx\!\int_0^{u(x)}\!
\nabla_{x}b_{\varepsilon}(x,t)
dt-\!\int_{\Omega}\phi(x)b_{\varepsilon}(x,{\widetilde u}(x))\nabla{u}(x)dx
\\
\!\!\!&&\!\!\!
-\!\int_{\Omega}\phi(x)b_{\varepsilon}(x,{\widetilde u}(x))dD^{c}u
-\!\int_{J_{u}}\!\phi(x)\Big[
\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!b_{\varepsilon}(x,t)dt\Big]
\nu_u(x)dH^{N-1}(x)\,. \nonumber
\end{eqnarray}
Let us now prove that
\begin{equation}\label{dim4}
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{\Omega}\nabla\phi(x)\,dx\!
\int_0^{{u} (x)}\!b_{\varepsilon}(x,t)\,dt=
\int_{\Omega}\nabla\phi(x)\,dx\!
\int_0^{{u} (x)}\!b(x,t)\,dt\,.
\end{equation}
To this aim, it is enough to observe that
$$
\biggl|\int_{\Omega}\!\nabla\phi dx\!
\int_0^{u(x)}\!\!b_{\varepsilon}(x,t)dt-
\int_{\Omega}\!\nabla\phi dx\!
\int_0^{u(x)}\!\!b(x,t)dt\biggr|\leq
\|\nabla\phi\|_\infty\!\int_{-M}^M\!\!dt\!\int_{\Omega^\prime}
\!\chi_{\Omega_{u,t}}(x)|b_{\varepsilon}(x,t)-b(x,t)|dx\,,
$$
where $\Omega_{u,t}=\{x\in\Omega:\,t$ belongs to the segment
of endpoints $0$ and $u(x)\}$ and  $M$ is a positive number such that
$\|u\|_\infty<M$. Then, recalling that for $\LLU$-a.e.
$t\in\bbbr$ the functions $b_\eps(\cdot,t)$ converge in
$L^1(\Omega^\prime)$ to $b(\cdot,t)$, (\ref{dim4}) follows from Lebesgue's
dominated convergence theorem.
\par\noindent
{\sc Step 2.} \ We shall prove separately the convergence of the
diffuse and jump parts, i.e.
\begin{equation}\label{dim5}
\lim_{\varepsilon\rightarrow0^{+}}\int_{\Omega}\phi(x)
b_{\varepsilon}(x,{\widetilde u}(x))\,d{\widetilde D}u(x)=
\int_{\Omega}\phi(x)b^*(x,{\widetilde u}(x))\,d{\widetilde D}u(x)
\end{equation}
and
\begin{equation}\label{dim6}
\qquad
\lim_{\varepsilon\rightarrow0^{+}}\int_{J_{u}}\!\!\phi(x)\Big[
\int_{u_-(x)}^{u_+(x)}\!\!b_{\varepsilon}(x,t)dt\Big]\nu_u(x)dH^{N-1}
=\int_{J_{u}}\!\!\phi(x)\Big[
\int_{u_-(x)}^{u_+(x)}\!\!b^*(x,t)dt\Big]\nu_u(x)dH^{N-1}\,.
\end{equation}
Using the coarea formula (\ref{coareater}), we get
\begin{eqnarray}\label{perpar7}
\qquad
\int_\Omega\phi(x)b_\eps(x,{\widetilde u}(x))\,d{\widetilde D}u
\!\!\!&=&\!\!\!
\int_{C_u}\!\phi(x)b_\eps(x,{\widetilde u}(x))
\frac{{\widetilde D}u}{|Du|}(x)\,d|Du| \\
\!\!\!&=&\!\!\!
\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!\int_{\{u^-\leq t\leq u^+\}}\!\phi(x)
b_\eps(x,{\widetilde u}(x))\chi_{C_u}(x)
\frac{{\widetilde D}u}{|Du|}(x)\,d\hh \nonumber \\
\!\!\!&=&\!\!\!
\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{\{{\widetilde u}=t\}\cap C_u}\!
\phi(x)b_\eps(x,t)\frac{{\widetilde D}u}{|Du|}(x)\,d\hh\,. \nonumber
\end{eqnarray}
Now, recall that for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$ the function
$b(\cdot,t)\in BV(\Omega)$, hence (see Propositions{\,} 3.64(b) and
3.69(b) in \cite{afp})
\begin{equation}\label{dim7}
\qquad\qquad\qquad\qquad
b_\eps(x,t)\to b^*(x,t)\qquad\qquad\hbox{\rm for $\hh$-a.e. $x\in\Omega$}
\end{equation}
as $\eps\to0$. Therefore,
for ${\cal L}^1$-a.e. $t\in\bbbr$, we have
$$
\lim_{\eps\to0}\int_{\{{\widetilde u}=t\}\cap C_u}\!
\phi(x)b_\eps(x,t)\frac{{\widetilde D}u}{|Du|}(x)\,d\hh=
\int_{\{{\widetilde u}=t\}\cap C_u}\!
\phi(x){b^{*}}(x,t)\frac{{\widetilde D}u}{|Du|}(x)\,d\hh\,.
$$
 From this equation, using the local boundedness of $b$ and the fact
that, by the coarea formula (\ref{coareater}),
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}
\hh\left(\{{\widetilde u}=t\}\cap C_u\right)dt=
|Du|(C_u)<\infty\,,
$$
we can pass to the limit in (\ref{perpar7}) and by the Lebesgue's
dominated convergence theorem we get
$$
\lim_{\eps\to0}\int_\Omega\phi(x)b_\eps(x,{\widetilde u}(x))
\,d{\widetilde D}u =
\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{\{{\widetilde u}=t\}\cap C_u}\!
\phi(x)b^*(x,t)\frac{{\widetilde D}u}{|Du|}(x)\,d\hh\,.
$$
 From this equation, using the coarea formula (\ref{coareater}) again, we
immediately get (\ref{dim5}).
\par\noindent
Finally, using Fubini's theorem, we estimate
\begin{eqnarray}\label{ultimo}
&&
\Bigl|\int_{J_u}\!\!\phi(x)\nu_u(x)\,d\hh\!\!\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!
b_\eps(x,t)\,dt-\int_{J_u}\!\!\phi(x)\nu_u(x)\,d\hh\!\!
\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!
{b^{*}(x,t)}\,dt\Bigr| \\
&&\qquad\qquad
\leq\|\phi\|_\infty\!\int_{J_u\cap\Omega^\prime}\!\!d\hh\!\!\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!
|b_\eps(x,t)\!-\!{ b^{*}(x,t)}|\,dt \nonumber \\
&&\qquad\qquad
\leq\|\phi\|_\infty\!
\int_{J_u\cap\{x\in\Omega^\prime:u^+(x)-u^-(x)<1/h\}}\!\!d\hh\!\!\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!
|b_\eps(x,t)\!-\!{ b^{*}(x,t)}|\,dt \nonumber \\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad
+\|\phi\|_\infty\!
\int_{J_u\cap\{x\in\Omega^\prime:u^+(x)-u^-(x)\geq1/h\}}\!\!d\hh\!\!\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!
|b_\eps(x,t)\!-\!{ b^{*}(x,t)}|\,dt. \nonumber
\end{eqnarray}
Notice that
for all $\eps>0$ and $h\in\bbbn$
\begin{eqnarray}\label{ultimo1}
&&
\int_{J_u\cap\{x\in\Omega^\prime:u^+(x)-u^-(x)<1/h\}}\!\!d\hh\!\!\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!
|b_\eps(x,t)\!-\!{ b^{*}(x,t)}|\,dt \\
&&\qquad\qquad\qquad
\leq2\|b\|_{L^\infty(\Omega^\prime\times(-M,M))}
\int_{J_u\cap\{x\in\Omega^\prime:u^+(x)-u^-(x)<1/h\}}\!\!
|u^+(x)-u^-(x)|\,d\hh\,. \nonumber
\end{eqnarray}
On the other hand,
\begin{eqnarray*}
&&
\int_{J_u\cap\{x\in\Omega^\prime:u^+(x)-u^-(x)\geq1/h\}}\!\!d\hh\!\!\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!\!
|b_\eps(x,t)\!-\!{ b^{*}(x,t)}|\,dt \\
&& \qquad\qquad
=\int_{-M}^M\!dt\!
\int_{J_u\cap\{x\in\Omega^\prime:u^+(x)-u^-(x)\geq1/h\}}\!\!
\chi_{[u^-(x),u^+(x)]}(t)|b_\eps(x,t)\!-\!{ b^{*}(x,t)}|\,d\hh
\end{eqnarray*}
and this last integral is infinitesimal as $\eps\to0$, since for
$\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$ we have that $b_\eps(x,t)\to b(x,t)$ for
$\hh$-a.e. $x\in\Omega$,
$b$ and
$b_\eps$ are bounded and, for any $h$,
$J_u\cap\{x\in\Omega:u^+(x)-u^-(x)\geq1/h\}$ is a set of finite $\hh$
measure. Therefore, from (\ref{ultimo1}) and (\ref{ultimo}), letting
first $\eps$ tend to zero and then $h$ tend to $\infty$, we
immediately obtain (\ref{dim6}).
\par\noindent
{\sc Step 3.} \
Notice that since $b(\cdot,t)\in BV(\Omega)$ for $\LLU$-a.e.
$t$ we have that for every $x\in\Omega^\prime$
$$
\nabla_xb_\eps(x,t)=\int_\Omega\ro_\eps(x-y)\,dD_yb(y,t)\,.
$$
Thus, we have by Fubini's theorem,
\begin{eqnarray}\label{dim8}
\qquad
\int_{\Omega}\phi(x)\,dx\!\int_{0}^{u(x)}\!
\nabla_{x}b_{\varepsilon}(x,t)\,dt
\!\!\!&=&\!\!\!
\int_{-M}^M\!dt\!\int_{\Omega_{u,t}}\!{\rm sgn}(t)\phi(x)
\nabla_{x}b_{\varepsilon}(x,t)\,dx
\\
\!\!\!&=&\!\!\!
\int_{-M}^M\!dt\!\int_{\Omega_{u,t}}\!{\rm sgn}(t)\phi(x)
\,dx\!\int_{\Omega}\ro_{\varepsilon}(x-y)\,dD_{y}b(y,t) \nonumber\\
\!\!\!&=&\!\!\!
\int_{-M}^M\!{\rm sgn}(t)\,dt\!\int_\Omega\,dD_{y}b(y,t)
\!\int_\Omega\ro_{\varepsilon}(x-y)\phi(x)\chi_{\Omega_{u,t}}(x)\,dx
\nonumber\\
\!\!\!&=&\!\!\!
\int_{-M}^M\!{\rm sgn}(t)\,dt\!\int_\Omega
\ro_\eps*(\phi\chi_{\Omega_{u,t}})(y)\,dD_{y}b(y,t).\nonumber
\end{eqnarray}
For $\LLU$-a.e. $t$ the function $\chi_{\Omega_{u,t}}$, being the
characteristic function of a set of finite perimeter, is in
$BV(\Omega)$. Therefore for $\hh$-a.e. $x\in\Omega$ (hence, for
$|D_xb(\cdot,t)|$-a.e. $x\in\Omega$) we have that
$$
\lim_{\eps\to0^+}\ro_\eps*(\phi\chi_{\Omega_{u,t}})(x)=
\phi(x)\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)
$$
and thus
$$
\lim_{\eps\to0^+}
\int_\Omega\ro_\eps*(\phi\chi_{\Omega_{u,t}})(x)\,dD_xb(x,t)=
\int_\Omega\phi(x)\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)\,dD_xb(x,t)\,.
$$
 From this equation, using the
assumption (ii) and the Lebesgue's dominated convergence theorem, we
can pass to the limit in (\ref{dim8}), thus getting that
$$
\lim_{\eps\to0^+}\int_{\Omega}\phi(x)\,dx\!\int_{0}^{u(x)}\!
\nabla_{x}b_{\varepsilon}(x,t)\,dt=
\int_{-M}^M\!dt\!\int_\Omega{\rm sgn}(t)
\phi(x)\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)\,dD_xb(x,t)\,.
$$
Then, the assertion follows at once from the last equality,
(\ref{dim4}), (\ref{dim5}), (\ref{dim6}) and from
equation (\ref{dim1}).
\qed

\begin{remark}\label{casiparticolari}
{\rm
Let $f:\bbbr\to\bbbr$ be a Lipschitz function, such that
$f(0)=0$. Setting $b(t)=f^\prime(t)$ and $v(x)=f(u(x))$, from
(\ref{chainrule}) we get that
$$
Dv=f^\prime(\widetilde u({x}))\nabla u\LLN+f^\prime(\widetilde u({x}))
D^cu+\bigl(f(u^+(x))-f(u^-(x))\bigr)\nu_u\hh\res J_u\,,
$$
which agrees with the `classical' chain rule formula for $BV$
functions (see \cite[Th. 3.96]{afp}).
Assume now that $b(x,t)\equiv b(x)$ is a bounded $BV(\Omega)$ function
and that $u\in BV(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ and use
(\ref{chainrule}) to deduce a formula for the derivative of $bu$. To
this aim, notice that Lemma \ref{funzcaracter} yields that, for $\LLU$-a.e.
$t>0$, $\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)=1$ if $u^-(x)>t$,
$\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)=1/2$ if $u^-(x)\leq t\leq u^+(x)$ and
$\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)=0$ if $t>u^+(x)$, and similar formulas hold
if $t<0$, therefore
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\!\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)\,dt=
\frac{u^+(x)+u^-(x)}{2}\qquad {\rm and} \qquad
\int_{u^-(x)}^{u^+(x)}\!b^*(x)\,dt=b^*(x)(u^+(x)-u^-(x))\,.
$$
 From these equalities and from (\ref{chainrule}), we then get easily
that the diffuse part ${\widetilde D}(bu)$ of the distributional
derivative of $bu$ is given by
$$
{\widetilde D}(bu)={\widetilde u}(x){\widetilde D}b+
{\widetilde b}(x){\widetilde D}u\,,
$$
while the representation formula for the jump part of $D(bu)$ splits
in three parts:
$$
D^j(bu)={\widetilde u}(x)D^jb\res(J_b\setminus J_u)+
{\widetilde b}(x)D^ju\res(J_u\setminus J_b)+D^j(bu)\res(J_b\cap J_u)\,,
$$
where
$$
D^j(bu)\res(J_b\cap J_u)=\cases
{
\bigl(b^+(x)u^+(x)-b^-(x)u^-(x)\bigr)\nu_b(x)\hh  \quad & if
$\quad\nu_b(x)=\nu_u(x)$\,, \cr
& \cr
\bigl(b^+(x)u^-(x)-b^-(x)u^+(x)\bigr)\nu_b(x)\hh  \quad & if
$\quad\nu_b(x)=-\nu_u(x)$\,,
}
$$
(see \cite[Example 3.97]{afp}). Therefore, we may conclude that
$$
D(bu)=u^*Db+b^*Du\,.
$$
  }
\end{remark}

\noindent
By a slight modification of the proof of Theorem \ref{chainb2} we can deduce the following chain rule for Sobolev functions. To this aim, let us introduce the space
$$
M^1(\diver;\Omega)=\{v\in L^1(\Omega;\rn):\,\diver v\,\,\,\hbox{\rm is a Radon measure in $\Omega$}\}\,.
$$

\begin{theorem}\label{chainb3}Let $\Omega\subset\rn$ be a
 bounded open set
and let $b:\Omega\times\bbbr\rightarrow\bbbr^N$ be a locally
bounded Borel function. Assume that
\begin{enumerate}
\item[(i)]  for ${\cal L}^N$-a.e. $x\in
\Omega$ the function $b(x,\cdot)$ is continuous in $\bbbr$;
\item[(ii)] for $\LLU$-a.e. $t\in
\bbbr$ the function $b(\cdot,t)  \in M^{1}({\rm div;}\Omega)$;
\item[(iii)] for any compact set $H\subset\bbbr$,
$$
\int_H|{\rm div}_xb(\cdot,t)|(\Omega)\,dt<+\infty\,.
$$
\end{enumerate}
Then, for every $u\in W^{1,1}(\Omega)\cap L^{\infty}(\Omega)$,
the function $v:\Omega\rightarrow\bbbr^N$,
defined by
\[
v(x):=\int_{0}^{u(x)}\!b(x,t)\,dt\,,
\]
belongs to $M^{1}(\diver;\Omega)$ and for any
$\phi\in C_0^1(\Omega)$ we have
$$
\int_\Omega\!<\!\nabla\phi(x),v(x)\!>\!dx=-\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!dt\!\!\int_\Omega{\rm sgn}(t)\chi^*_{\Omega_{u,t}}\phi(x)d\,\diver_{x}b(x,t)-\int_\Omega\phi(x)\!<\!b(x,u(x)),\nabla u(x)\!>\!dx.
$$
\end{theorem}
{\bf Proof.} \   Let us fix a function ${u}\in W^{1,1}(\Omega)\cap L^{\infty}(\Omega)$  and a test function $\phi\in C^1_0(\Omega)$ and define $b_{\varepsilon}$ and  $v_{\varepsilon}$ as in the proof of Theorem \ref{chainb2}. Since $b_{\varepsilon}$ is locally Lipschitz in
$\Omega\times\bbbr$, we have that
$v_{\varepsilon}\in W^{1,1}(\Omega;\bbbr^N)$ and
\begin{equation}\label{dim1r}
\qquad
\int_{\Omega}\!<\!\nabla\phi(x),v_{\varepsilon}(x)\!>\!dx=
-\int_{\Omega}\phi(x)dx\!\!\int_0^{u(x)}\!\!\diver_{x}b_{\varepsilon}(x,t)dt-\int_{\Omega}\phi(x)\!<\!b_{\varepsilon}(x,u(x)),\nabla{u}(x)\!>\!dx.
\end{equation}
The convergence of the integral on the left hand side and of the last integral on the right hand side is proved exactly as in the proof of Theorem \ref{chainb2}. Moreover, since
$$
\diver_xb_\eps(x,t)=\int_\Omega\ro_\eps(x-y)\,d\,\diver_yb(y,t)\,,
$$
arguing as in (\ref{dim8}), we get that
\begin{equation}\label{dim8u}
\qquad
\int_{\Omega}\phi(x)\,dx\!\int_{0}^{u(x)}\!\diver_{x}\ b_{\varepsilon}(x,t)\,dt=
\int_{-M}^M\!{\rm sgn}(t)\,dt\!\int_\Omega
\ro_\eps*(\phi\chi_{\Omega_{u,t}})(y)\,d\,\diver_{y}b(y,t)\,,
\end{equation}
where $M$ is a positive number such that $\|u\|_{\infty}<M$. Since, for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$, $\diver_{x}b(\cdot,t)$ is a Radon measure, from Proposition 3.1 of \cite{cf} we get that, for every Borel subset $A$ of  $\Omega$ with $\hh(A)=0$,
the total variation $|{\rm div}_xb(\cdot,t)|(A)$ is zero.
On the other hand, for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$, the function 
$\chi_{\Omega_{u,t}}$ is the
characteristic function of a set of finite perimeter and thus is in
$BV(\Omega)$. Therefore, for $\hh$-a.e.  $x\in\Omega$, (hence, for
$|\diver_{x}b(\cdot,t)|$-a.e. $x\in\Omega$) we have that
$$
\lim_{\eps\to0^+}\ro_\eps*(\phi\chi_{\Omega_{u,t}})(x)=
\phi(x)\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)
$$
and thus
$$
\lim_{\eps\to0^+}
\int_\Omega\ro_\eps*(\phi\chi_{\Omega_{u,t}})(x)\,d\ {\rm div}_xb(x,t)=
\int_\Omega\phi(x)\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)\,d\ {\rm div}_xb(x,t)\,.
$$
Therefore using the
assumption (iii) and the Lebesgue's dominated convergence theorem, we
can pass to the limit in (\ref{dim8u}), and we obtain 
$$
\lim_{\eps\to0^+}\int_{\Omega}\phi(x)\,dx\!\int_{0}^{u(x)}\!
{\rm div}_{x}b_{\varepsilon}(x,t)\,dt=
\int_{-M}^M\!dt\!\int_\Omega{\rm sgn}(t)
\phi(x)\chi_{\Omega_{u,t}}^*(x)\,d\ {\rm div}_xb(x,t)\,.
$$
Then, the assertion follows from this equality and from (\ref{dim1r}).
\qed
\vskip 0.2cm
\noindent
{\bf Proof of Theorem \ref{sem18}.} \ {\sc Step 1} \ Let $(u_n)$
be a sequence in $W^{1,1}(\Omega)$ converging in $L^1(\Omega)$ to
$u\in W^{1,1}(\Omega)$. We may assume, without loss of generality, that
$u_n(x)\to u(x)$ for $\LLN$-a.e. $x\in\Omega$.
\par \noindent
Let us introduce the Borel set
$G=\{x\in\Omega:
\widetilde u_{n}(x)\rightarrow\widetilde u(x)\}$ and fix an open
set $\Omega^\prime\subset\subset\Omega$ and a function $\eta\in
C^1_0(\bbbr)$, with
$0\leq\eta(t)\leq1$.
\par\noindent
Denoting by $g_k$ the sequence of functions provided by
Lemma~\ref{degiorgi}, we fix $k$. Notice that, from the assumptions
(\ref{hypo1}) and (\ref{hypo2}) on $f$, from Remark \ref{veb} and from
the Scorza-Dragoni lemma, it follows that for any $\eps>0$ there exists
a compact set
$K_\eps$ such that $\LLN(\Omega^\prime\setminus K_\eps)<\eps$ and
$a_{k\bigl|K_\eps\times\bbbr}$ is continuous, where
$a_k(x,t)=(a_{1,k}(x,t),\dots,a_{N,k}(x,t))$.
Let us now introduce
the set $D_\eps=\{x\in K_\eps:\,D(K_\eps;x)=1\}$ and observe
that for all $t\in\bbbr$ every point $x\in D_\eps$ is a point of
approximate continuity for $a_k(\cdot,t)$. In fact if $x\in D_\eps$ we
have
$$
\medint_{B_\ro(x)}\!\!|a_k(y,t)-a_k(x,t)|dy\leq
\frac{1}{\omega_N\ro^N}\!\int_{B_\ro(x)\cap K_\eps}\!\!
|a_k(y,t)-a_k(x,t)|dy+2\sup_{y\in\Omega^\prime}|a_k(y,t)|
\frac{\LLN\bigl(B_\ro(x)\setminus K_\eps\bigr)}{\omega_N\ro^N}
$$
and the right hand side is infinitesimal as
$\eps\to0$, since $a_k(\cdot,t)$ is continuous on $K_\eps$ and $K_\eps$ has density
$1$ at $x$. Therefore, we may conclude that
\begin{equation}\label{dim9}
\qquad
J_{a_k(\cdot,t)}\cap D_\eps=\emptyset\qquad
\hbox{\rm for all $t\in\bbbr$\,.}
\end{equation}
Recalling assumption (\ref{hypo4}), we get immediately that the set
function, defined for any Borel subset $E$ of $\Omega^\prime$ by
setting
$$
\mu(E)=\int_{{\rm supp}\eta}|D_xa_k(x,t)|(E)\,dt\,,
$$
is a finite Radon measure in $\Omega^\prime$. Therefore, for any
$m\in\bbbn$, we can construct a function
$\psi_m\in C^1(\Omega^\prime)$, such that $0\leq\psi_m(x)\leq1$ for
all $x\in\Omega^\prime$ and such that, denoting by $H_m$ the compact
set $H_m=\{x\in\Omega^\prime:\psi_m(x)=1\}$, the following relations
hold
\begin{equation}\label{dim10}
\qquad
H_m\subset G\cap D_\eps\subset\{\psi_m>0\}\,,\qquad
\LLN\bigl(\{\psi_m>0\}\setminus H_m\bigr)+
\mu\bigl(\{\psi_m>0\}\setminus H_m\bigr)<\frac{1}{m}\,.
\end{equation}
Finally, let us fix a
finite family $\{A_j\}_{j\in J}$ of pairwise disjoint open sets with
their closures contained in $\Omega^\prime$, denote, for any $j\in J$,
by
$(\varphi_{j,r})_{r\in\bbbn}$    a sequence in
$C^1_0(A_j)$, with
$0\leq\varphi_{j,r}\leq 1$, and set
$\eta_{j,r}(x,t)=\varphi_{j,r}(x)\eta(t)$.
Since
$f(x,t,\xi)\geq
\sum_{j\in J}g_k(x,t,\xi)\eta_{j,r}(x,t)\psi_{m}(x)$,
we have
\begin{eqnarray}\label{main1}
\qquad
\liminf_{n\to\infty}F(u_n,\Omega)
\!\!\!&\geq&\!\!\!
\sum_{j\in J}\liminf_{n\to\infty}
\int_{\Omega^\prime}\!a_{0,k}(x,u_n(x))\eta_{j,r}(x,u_n(x))
\psi_{m}(x)\,dx
\\ &&
\qquad+
\sum_{j\in J}\liminf_{n\to\infty}
\int_{\Omega^\prime}\!\langle a_k(x,u_n(x))\eta_{j,r}(x,u_n(x)),\nabla
u_n\rangle\psi_{m}(x)\,dx\,. \nonumber
\end{eqnarray}
Since by Remark \ref{veb} the functions $a_{0,k}(x,t)$
are continuous with
respect to $t$,
we have, for all $j\in J$, $r,m\in\bbbn$,
\begin{equation}\label{main2}
\sum_{j\in J}\lim_{n\to\infty}
\int_{\Omega^\prime}\!a_{0,k}(x,u_n)\eta_{j,r}(x,u_n)\psi_{m}(x)\,dx
=\sum_{j\in J}
\int_{\Omega^\prime}\!a_{0,k}(x,u)\eta_{j,r}(x,u)\psi_{m}(x)\,dx
\,.
\end{equation}
Notice also that
$a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t)$ satisfy the
assumptions of Theorem~\ref{chainb2}, for all
$j,r$ and thus
\begin{eqnarray}\label{main3}
&&
\,\,\lim_{n\to\infty}
\int_{\Omega^\prime}\!\langle a_k(x,u_n)\eta_{j,r}(x,u_n),\nabla
u_n\rangle\psi_{m}\,dx
=
\lim_{n\to\infty}-\Biggl\{\int_{\Omega^\prime}\!dx\!\int_0^{u_n(x)}
\!\langle a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t),
\nabla\psi_{m}\rangle dt \\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
+\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr)
\nonumber\\ &&
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
+\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{\Omega^\prime\setminus H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr)
\Biggr\}\,.
\nonumber
\end{eqnarray}
By the $\LLN$-a.e.
convergence of $u_n(x)\to u(x)$ we have that
\begin{equation}\label{main4}
\qquad
\lim_{n\to\infty}\!\int_{\Omega^\prime}\!dx\!\int_0^{u_n(x)}\!\!
\!\langle a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t),
\nabla\psi_{m}(x)\rangle dt=
\int_{\Omega^\prime}\!\!dx\!\int_0^{u(x)}\!
\!\!\langle a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t),
\nabla\psi_{m}(x)\rangle dt\,.
\end{equation}
{\sc Step 2} \ The last two integrals in (\ref{main3}), where the
measures $D_ia_{i,k}(\cdot,t)$ appear, require a more careful analysis.
To estimate the third integral on the right hand side of (\ref{main3}),
we observe that
\begin{eqnarray*}
&& \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\biggl|\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{\Omega^\prime\setminus H_m}\!sgn(t)
  \Bigl[\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)-\chi^{*}_{\Omega_{u_,t}}(x)\Bigr]
\psi_m(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr)\biggr| \\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\leq\!\!c(N)\!\!\int_{{\rm supp}\eta}\!\!\!
|D_xa_k(\cdot,t)|(\{\psi_m\!>\!0\}\!\!\setminus\!H_m)dt\!
+\!c(N)
\|a_k\!\nabla\eta_{j,r}\|_{\!L^\infty(\Omega^\prime\!\times\!
{\rm supp}\eta)}
\LLU\!({\rm supp}\eta)\LLN\!(\{\psi_m\!>\!0\}\!\!\setminus\!H_m),
\end{eqnarray*}
where $c(N)$ is a constant depending only on the dimension. Therefore,
from this inequality and from (\ref{dim10}) we get that
\begin{eqnarray}\label{main5}
\qquad\liminf_{n\to\infty}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!
\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{\Omega^\prime\setminus H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr) \\
&&\!\!\!\!\!\!
\geq\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{\Omega^\prime\setminus H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr)-
c(N,a_k,\eta_{j,r})\frac{1}{m}\,, \nonumber
\end{eqnarray}
for some positive constant $c(N,a_k,\eta_{j,r})$, depending only on
$N,a_k$ and $\eta_{j,r}$.
\par\no
Let us now show that for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$
\begin{eqnarray}\label{main6}
\qquad &&
\lim_{n\to\infty}\int_{H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr) \\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
=\int_{H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr)\,.
\nonumber
\end{eqnarray}
To this aim, recalling that for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$ the level set
$\level$ is a set of finite perimeter, we are going to prove that
for $\LLU$-a.e. $t\in\bbbr$, there exists a set $G_t\subset G\cap
D_\eps$ such that
\begin{equation}\label{main7}
\qquad
\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)\to\chi^{*}_{\Omega_{u,t}}(x)\,\,\,
\hbox{\rm for all}\,\,\,x\in G_t, \quad
\LLN(G\cap D_\eps\setminus G_t)+
|D_xa_k(\cdot,t)|(G\cap D_\eps\setminus G_t)=0\,
\end{equation}
To prove (\ref{main7}) let us fix $t\in\bbbr$ such that
$\level$ is a set of finite perimeter, (\ref{duequattroter}) holds and
(\ref{funzcaracter1}), (\ref{funzcaracter2}) hold for all
$t\in\Omega\setminus N_t$, where $\hh(N_t)=0$. Let us set
$$
G_t=G\cap D_\eps\setminus\Bigl(N_t\cup\{u^-\leq t\leq u^+\}\Bigr)\,.
$$
Let us fix $x\in G_t$. Since $x\in G$, we have in particular
that
$x$ is a point of approximate continuity for $u$ and for all
functions $u_h$. Moreover, since $x\not\in\{u^-\leq t\leq u^+\}$ and
$x\not\in N_t$,  by (\ref{funzcaracter1}) and (\ref{funzcaracter2}), we
have that either ${\widetilde u}(x)>t$ or ${\widetilde u}(x)<t$. In the
first case, since $x\in G$, we have that ${\widetilde u}_n(x)>t$, for
$n$ large enough, hence by (\ref{funzcaracter0})
$\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)=1$ and thus
$\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)\to\chi^{*}_{\Omega_{u,t}}(x)$. The same
conclusion holds also when ${\widetilde u}(x)<t$. This proves the
pointwise convergence of $\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}$ to
$\chi^{*}_{\Omega_{u,t}}$ in the set $G_t$.
\par\noindent
To prove the equality on the right hand side of (\ref{main7}), notice
that, by definition
$$
G\cap D_\eps\setminus G_t=G\cap D_\eps\cap\Bigl(N_t\cup\{{\widetilde
u}=t\}\Bigr)
\,.
$$
 From (\ref{duequattroter}),
$\hh\bigl(\{u^-\leq t\leq u^+\}\setminus\partial^M\level\bigr)=0$ and
since $\hh(\partial^M\level)<\infty$, we get that
$G\cap D_\eps\setminus G_t$ is a set of finite $\hh$ measure.
Therefore, we obtain immediately that it has zero $\LLN$ measure.
Moreover, from (\ref{dim9}) we have also that
$|D^ja_k(\cdot,t)|\bigl(G\cap D_\eps\setminus G_t\bigr)=0$. On the
other hand, since the Cantor part of the derivative of a $BV$ function
is zero on a set of $\hh$ finite measure, we have also that
$|D^ca_k(\cdot,t)|\bigl(G\cap D_\eps\setminus G_t\bigr)=0$, hence
$|Da_k(\cdot,t)|\bigl(G\cap D_\eps\setminus G_t\bigr)=0$\,.
\par\noindent
Since $H_m\subset G\cap D_\eps$, (\ref{main6}) follows at once from
(\ref{main7}) and since $\LLN(H_m)+\mu(H_m)$ is finite, from
(\ref{main6}) we may conclude that
\begin{eqnarray}\label{main8}
\qquad\lim_{n\to\infty}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!
\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u_n,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr) \\
&&\qquad\qquad\qquad
=\int_{-\infty}^{+\infty}\!dt\!
\int_{H_m}\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u,t}}(x)
\psi_{m}(x)\,d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr)
\,. \nonumber
\end{eqnarray}
{\sc Step 3} \ Putting together (\ref{main1}), (\ref{main2}),
(\ref{main3}), (\ref{main4}), (\ref{main5}) and (\ref{main8}), and
using Theorem \ref{chainb2} again, we obtain that for all
$k,r,m\in\bbbn$
\begin{eqnarray*}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\liminf_{n\to\infty}F(u_n,\Omega)\geq
\sum_{j\in J}\Biggl\{
\int_{\Omega^\prime}\!\!a_{0,k}(x,u(x))\eta_{j,r}(x,u(x))\psi_{m}dx-
\int_{\Omega^\prime}\!\!dx\!\!\int_0^{u(x)}
\!\!\langle a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t),\nabla\psi_{m}\rangle dt
\\
&&\qquad\qquad\qquad+
\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\!dt\!\!
\int_{\Omega^\prime}\!\!sgn(t)\chi^{*}_{\Omega_{u,t}}(x)
\psi_{m}(x)d\bigl({\rm div}_x(a_k(x,t)\eta_{j,r}(x,t))\bigr)-
c(N,a_k,\eta_{j,r})\frac{1}{m}\Biggr\} \\
&&\!\!=
\sum_{j\in J}\Biggl\{
\int_{\Omega^\prime}\!a_{0,k}(x,u)\eta_{j,r}(x,u)
\psi_{m}dx+
\int_{\Omega^\prime}\!\langle a_k(x,u)\eta_{j,r}(x,u),\nabla
u\rangle\psi_{m}dx-c(N,a_k,\eta_{j,r})\frac{1}{m}\Biggr\}\,.
\end{eqnarray*}
Thus, letting $m$ tend to $\infty$, and recalling that
$\LLN(\Omega\setminus G)=0$ and $\LLN(K_\eps\setminus D_\eps)=0$ we
have
$$
\liminf_{n\to\infty}F(u_n,\Omega)\geq\sum_{j\in J}
\int_{K_\eps}\!\Bigl[a_{0,k}(x,u)\eta_{j,r}(x,u)+
\langle a_k(x,u)\eta_{j,r}(x,u),\nabla u\rangle\bigr]\,dx\,,
$$
hence, letting also $\eps$ go to zero, we finally get
$$
\liminf_{n\to\infty}F(u_n,\Omega)\geq\sum_{j\in J}
\int_{\Omega^\prime}\!\Bigl[a_{0,k}(x,u)\eta_{j,r}(x,u)+
\langle a_k(x,u)\eta_{j,r}(x,u),\nabla u\rangle\bigr]\,dx\,.
$$
Recall that in  {\sc Step 1} we defined
$\eta_{j,r}(x,t)=\varphi_{j,r}(x)\eta(t)$. For all $j\in J$, let us
now choose a sequence $\varphi_{j,r}(x)$ pointwise converging to the
characteristic function of the set $A_j^+$, where
$$
A_j^+:=\{x\in A_j:\,a_{0,k}(x,u(x))+\langle
a_k(x,u(x)),\nabla u(x)\rangle=g_k(x,u(x),\nabla u(x))\geq0\}\,.
$$
Thus,
$$
\liminf_{n\to\infty}F(u_n,\Omega)\geq\sum_{j\in J}
\int_{A_j}\!\eta(u(x))\max\{g_k(x,u(x),\nabla u(x)),0\}\,dx
$$
and, by applying Lemma~\ref{partiz},
we obtain
$$
\liminf_{n\to\infty}F(u_n,\Omega)\geq\int_{\Omega^\prime}
f(x,u,\nabla u)\eta(u)\,dx.
$$
Hence, the result follows letting first $\eta(t)\uparrow1$ for any
$t\in\bbbr$ and then letting $\Omega^\prime\uparrow\Omega$.
\qed
\vskip 0.5cm




















\begin{thebibliography}{99}


%\bibitem{adc}
%{Amar M. and V. De Cicco}, {\em A relaxation result in $BV$ for
%integral functionals
%with discontinuous integrands,} To appear.

%\bibitem{amb}
%{Ambrosio L.}, {\em New lower semicontinuity results for integral
%functionals,} Rend. Accad. Naz. Sci. XL, {\bf 1}, (1987), 1--42.

\bibitem{adm}
{Ambrosio L. and G. Dal Maso}, {\em A general chain rule for distributional derivatives,} Proc. Amer. Math. Soc., {\bf 108},
(1990), 691--702.

\bibitem{afp}
{Ambrosio L., Fusco N. and D. Pallara}, {\em Functions of
bounded variation and free discontinuity problems,} Oxford
University Press, (2000).

%\bibitem{bdm}{Bouchitt\'{e} G. and G. Dal Maso}, {\em Integral
%representation and relaxation of convex local functionals on
%$BV(\Omega)$},
%Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci., IV. Ser. 20, {\bf 4}, (1993),
%483--533.

%\bibitem {bdc}{Braides A. and V. De Cicco},
%{\em New lower semicontinuity and relaxation results for
%functionals defined on BV($\Omega$)},
%Advances in Math. Sciences and Appl.,  {\bf 6} (1996), 1--30.

\bibitem{cf}{Chen G.-Q. and H. Frid},
{\em Divergence-measure fields and hyperbolic conservation laws,}
Arch. Rational Mech. Anal., {\bf 147}, (1999), 89--118.

\bibitem {dm}{Dal Maso G.}, {\em Integral representation on
$BV(\Omega)$ of $\Gamma$--limits of variational integrals},
Man. Math.,
{\bf 30} (1980), 387--416.

%\bibitem {dc}{De Cicco V.}, { \em A lower semicontinuity result for
%functionals defined on $BV(\Omega)$}, Ricerche di Mat., {\bf 39} (1990),
%293--325.

\bibitem {dc1}{De Cicco V.}, {\em Lower semicontinuity for certain
integral functionals on $BV(\Omega)$}, Boll. U.M.I., {\bf 5-B} (1991),
291--313.

\bibitem{dcl}{De Cicco V. and G. Leoni}, {\em A chain rule in
$L^1(div;\Omega)$ and its  applications to lower semicontinuity,}
Calc. Var. Partial Differential Equations, {\bf 19}, n. 1, (2004), 23--51.

\bibitem{dcfv}{De Cicco V.,  Fusco N.  and A. Verde}, {\em On
$L^{1}$-lower semicontinuity in BV,} J. of Convex Anal., to appear.

\bibitem{deg1}{De Giorgi E.},
{\em Su una teoria generale della misura $(r-1)$-dimensionale in uno spazio
a $r$ dimensioni,} Ann.  Mat.  Pura Appl., (4) {\bf 36} (1954),
191--213.

\bibitem{deg}{De Giorgi E.}, {\em Teoremi di semicontinuit\`a nel calcolo delle
variazioni,} Istituto Nazionale di Alta Matematica,  (1968-1969).

%\bibitem{dgbdm}
%{De Giorgi E., G. Buttazzo and G. Dal Maso}, {\em On the lower
%semicontinuity of certain integral functions,}
%Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sc. Fis. Mat. Natur. Rend., {\bf 74},
%(1983), 274--282.

\bibitem{fed} {H. Federer},
{\em Geometric measure theory,} Springer, Berlin, (1969).

%\bibitem{fl}
%{Fonseca I. and G. Leoni}, {\em Some remarks on lower semicontinuity,}
%Indiana Univ. Math. J., {\bf 49}, (2000), 617--635.

\bibitem{flbis}
{Fonseca I. and G. Leoni}, {\em On lower semicontinuity and
relaxation,}
Proc. R. Soc. Edim., Sect. A, Math. {\bf 131}, (2001), 519--565.

%\bibitem {fus}{Fusco N.}, { \em Dualit\`{a} e semicontinuit\`{a} per
%integrali del tipo dell'area}, Rend. Accad. Sci. Fis. Mat., IV. Ser., {\bf 46}
%(1979), 81--90.


\bibitem {fgv}{Fusco N., Giannetti F. and A. Verde}, {\em A remark on
the }$L^{1}-${\em lower semicontinuity for integral functionals in }
$BV${\em ,} Manuscripta Math. {\bf112} (2003), 313--323.

\bibitem {fgv1}{Fusco N., Gori M. and F. Maggi}, {\em
A remark on Serrin's Theorem,} NoDEA, to appear.

%\bibitem{gms}
%{Giaquinta M. , Modica G. \& J. Sou\v{c}ek}, { Cartesian
%currents in the calculus of variations, Part I:  Cartesian
%currents, Part II:  Variational integrals,} Springer, (1998).


\bibitem{goma}
{Gori M. and P. Marcellini}, {\em An extension of the Serrin's lower
semicontinuity theorem,}  J. of Convex Anal. {\bf 9} (2002), 475--202.

\bibitem{gmm}
{Gori M., F. Maggi and P. Marcellini}, {\em Some sharp conditions for
lower semicontinuity in $L^{1}$,} Diff. Int. Eq. {\bf 16} (2003), 51--76.
\bibitem{ser}
{Serrin J.}, {\em On the definition and properties of certain
variational integrals}, Trans. Amer. Math. Soc., {\bf 161} (1961),
139--167.

%\bibitem{vol}
%{Vol'pert A.I.}, {\em Spaces $BV$ and quasi-linear equations},
%Math.  USSR Sb., {\bf 17} (1967), 225--267.
\end{thebibliography}
\end{document}



..Z����$�T�������`-0
 ����������<��P]`@`�
�������"��,�(�9*�]1�6�H�A<�=�C�I�J
��eP�1_�q`�um�D�VXX�Monaco�����pJ,pJ h���@���#0��0@(QB�Y��LaTeXxHH�(�����FG(�HH�(d'`*��;� TeX output 2004.04.27:1025I���� H�����`H����,*;�D���tG�G�cmr17�A7tcqhainruleformulain����g�G�cmmi12�B�<V��andapplicationtolower���semiconqtinuity����X�Qcmr12�Virginia�¨DeCicco�fDipartimen�rto�¨diMetoSdieModelli����Matematici�¨pSerleScienzeApplicate���}Univ�rersit� a�¨diRoma\LaSapienza"������Via�¨Scarpa16����R�Rome,�¨Italy�V,I-00161Y�����Nicola�¨F�Vusco,AnnaVerde�E���Dipartimen�rto�¨diMatematicaeApplicazioni\R.CaccioppSoli"���nXDUniv�rersit� a�¨degliStudidiNapSoli\F�VedericoII"���\�via�¨Cinzia-ComplessoUniv�rersitarioMonteS.Angelo������NapSoli,�¨Italy`D���9������N�ffcmbx12�1&�In�tros3duction�9���K�`y

cmr10�Itt�isw���ellknownthatif�
�b>

cmmi10�u�isa�BqV��functionfromabGoundedopenset
���
!",

cmsy10��I�UXRJ���� 0ercmmi7�NT�²andt�µB|K�:I�UXRE�¸!�I�UXR�is9�Lipsc���hitz,UUthecompGosition�v"�²=��B�¸8�u�isalsoin�BqV8�²(
)andthefollowingchainruleformulaholds�T�i�DGv"�²=��Bq����O!�cmsy7�0N�²(\����±u

cmex10�e�u�~�)�r�u�L����N Α�+8�µBq����0�(\�«e�u�)�DG����cY�µu8�²+(�Bq�(�u����ٓ�Rcmr7�+���)��B�(�u������))��´u:b�H������N�,��1�+�J�´u�
�;���9�²where�ݸr�u�istheabsolutelycon���tinuous���partof�DGu�,~�D�^�´cY�µu�ݲistheCan���torpartof�DGu�and�J�´u        &?�isthe�9�jumpE�setof�u�(forthedenitionoftheseandotherrelev�q�an���tquantities,
seeSect.2).CAE�delicate���9�issue�abGoutthisform���ulaconcernsthemeaningofthersttwotermsontherighthandside."In���9�fact,A0inordertounderstandwh���ytheyarewelldened,A0onehastotakeintoaccountthat�Bq�^�·0N�²(�t�)���9�exists�for�L�^�±1|s�-a.e.Y�t�andthat,[if�E�j�isan�L�^�±1�-n���ullsetinI�UXR[,[notonly�r�u�v�q�anishes�L�^�´N�²-a.e.Yoni�e�u�^�·�1�²(�E�),���9�butb�also�j�DG�^�´cY�µu�j�(\�«e�u�^�·�1u�²(�E�))���=0b�(see[2,feTheorem3.92]).�Thedicult���yofgivingacorrectmeaningto���9�thev�q�ariouspartsinwhic���hthederivativ���eofa�BqV�o�functioncanbGesplitisevengreaterwhen�u�is���9�a�vv���ectoreld,�>acasewhereachainruleformulahasbGeenprovedbyAmbrosioandDalMasoin���9�[1].p�InR3particular,R�theirresultappliestothecompGositionofascalar�BqV�functionwithaLipsc���hitz���9�function3�µB�K�depGendingalsoon�x�,k{namelytothefunction�Bq�(�x;�¨u�(�x�)),where�B�e�:9�
�8��I�UXRUh�!�I�UXR�
is���9�Lipsc���hitz.���9�InUUman���yapplications,however,�B�ƲhasthespGecialformc�~�Bq�(�x;�¨t�)�=�c�Z���i��t@UR�0��b�(�x;s�)�ds;9�²(1.1)@9�but,�Hon�~theotherhand,onew���ouldliketoassumeonlyaweakdierentiabilityof�B0�²withrespGect���9�to�µx�(orev���enless).Inthisspirit,�DeCiccoandLeoni([6])haveobtainedachainruleformulain���9�theZcase�Bq�(�x;�¨t�)isav���ectoreldsuchthatdiv�´x"�µBq�(��;�¨t�)bGelongsto�L�^�±1|s�(
),[2uniformlywithrespectto�=1ec��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3���������������������33������������333������������3333333���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������67����������������9:����<������������=>?����ABC����DE����GHIJ����LM������������������������������������������������������������������������������������������������P���������ST����V���������Y����������������Z���������������������]^_`abcd����fghi����k����m������������nopqrs����uv����wx����z{|���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%������������������������&���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3����������������������������5����;����=����A������������������������A������������������������B���������������������C����������������������������������������J������������K����������������������������������������X����������������Z����[������������������������������������]������������������������^���������������������_����`����a���������������������b����c���������������������������������������������������������������������������������������������������������e������������������������f���������g���������h���������i����j������������������������l������������������������mn����q������������������������s������������������������v������������������������������������v���������������������v����v������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������|������������������������~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������
���������



����



����








����

����


 
!
"����
$
%
&����
(
)
*
+
,����
.
/
0
1
2����������������
3
4������������
5����
7
8
9
:����
;
<
=
>
?
@
A����������������
C
D
E����
G
H
I
J
K
L
M
N����������������
P����������������
R
S
T
U
V
W
X
Y����������������������������
[
\
]
^
_����������������
a
b������������
c
d
e����
g
h
i
j����
l
m
n
o������������
p
q
r����
t
u
v
w
x
y
z
{����
}
~
����






����

����


����



����
����
����
����




����
�
������
�
�
������
�
�
�
������
������
�
�
�
������
�
�
�
�
������������������
�
������������������������������
�
�
�
�
������������������
�
������������������
�
�
�
�
������
�
������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������
�
�������������
������
�
�
�
������
�
�
������
������
�
�
������
�
�
�
�
�
�
������������������
�
�
������
�
�
������
�
������
�����������������

������������������������������������������������������������������������������������� ����!����������������������������$%&'()����������������+,-���������3������������������������3������������������������56789���������������������<���������?@A����CDEFG����������������JK���������N���������������������QR����TU���������[������������������������[������������]^������������_`a����cde����gh���������o����������������o���������������������q����������������stu����wxyz�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������� !"#$%&����()*+,-.����01����������������������������345����������������7����������������89:;<=����?@ABC����EF����HIJK������������L����NOP����RSTUV����WXYZ������������[����]^����`���������c����������������d���������������������ghijklmn����pqr����t������������u����wxyz{����}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������ !"#$%&����()����+,-����/012������������3456789����;<����>����@ABCDE���������I����������������J���������������������MNOPQRST����VWXY����[����]^_`a������������bcde����������������������������ghijklmn���������������������q���������������������tuv������������wxyz{|����~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������@���������������������A����BC����������������D����E����������������F����������������������������J������������������������������������������������N���������������������������������������������L����������������������������O����P����QR����S����T���������WX����[������������������������������������jjjjj����������������������������������������������������lmno����������������qr����������������tuv����xyz{|����~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������     ��������������������������������������������� !"#$����&����(����)*+,����./01����3456����789����;<����������������������������>?@����������������BCDE���������H���������������������I����JK����������������L����M����PQ����S����U������������VWXYZ����]^_`����bcd����e����ghij���������rrr���������������������������������������������r������������������������w���������������������x����}����~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������i�������������¢b*�H�����`H��·��9�µt�,�ºand��u�isin�Wc�^�±1�;�1<u�(
).���InthesamepapGertheypro���ve�an�L�^�±1|s�-lo���wer�semicontinuityresultin�Wc�^�±1�;�1�9�²b���yUUapplyingtheirformulatoavectoreld�B�ƲofthetypGe(1.1).���9�InPthispapGerw���eextendtheseresultstothecasewhere�u�isa�BqVX4�functionandreplacethe���9�assumption3thatdivY5�´xb�B�²isin�L�^�±1�²witha�BqV��depGendencewithrespectto�x�.=`Namely�*�,�*w���eprovethe���9�follo���wing�9����"V

cmbx10�Theorem�T1.1R����':

cmti10�L�}'et�]�
H��I�UXRȟ����N���be�]anopenboundedsetandlet�bH�:
l�¸�I�UXRp�!H�I�UXRr%�be�]alocal�lybounded���9�Bor�}'el�function.Assumethat����e(i)'9�for�¸L�^�±1|s�-a.e.�t��2�I�UXR�;�thefunction�b�(��;�¨t�)�2�BqV8�²(
)�;����U(ii)'9�for�anyc�}'ompact�set�H���I�UXRT�,y�[�c�Z���     y�H�*0�j�D�´x�µb�(��;�¨t�)�j�(
)�µdt�<�+�1�:y9���Then,�forevery�u��2�BqV8�²(
)8�¸\�L�^���1v�l
`oc
&�(
)�,�thefunction�v"�²:�
�!�I�UXRT�,�dene�}'dby8�Ӳ�v[�²(�x�)�:=�c�Z���i��u�(�x�)@UR0�a�b�(�x;�¨t�)�dt;@R9���b�}'elongs�to�BqV�´l
`oc
&�(
)�andforany���2�C�^�����1l03�(
)���wehave��%ծ��c�Z+c�       y�
1?�r��(�x�)�v[�²(�x�)���dx��=}�9��g�c�Z���i�h�+�1@9�15�dt�UX�c�Z㒟 y�
Ñ�sgnC(�t�)�µ����፱
�O
�\cmmi5�u;t{�(�x�)��(�x�)���dD�´x�µb�(�x;t�)8�¸8�c�Zry�
Q�µ�(�x�)�b�����²(�x;g�e�ud&�(�x�))�r�u�(�x�)�dx9�²(1.2)oK}�9��g�c�Z9��        y�
�µ�(�x�)�b�����²(�x;g�e���ud&�(�x�))���dDG����cY�µu�(�x�)8�¸8�c�Zr   y�J�ud��(�x�)��´u:b�(�x�)�dH�������N�,��1�#�(�x�)�UX�c�Z���iUY�u���r�Zcmr5�+���(�x�)@㒴u�����0ncmsy5�꯱(�x�)Q�b�����(�x;t�)�dt;\y9���wher�}'e6a�
�´u;t
f�²=��f�x�2�
:q�µt�b�}'elongstothesegmentofendpoints�0�and�u�(�x�)�g�and��^���b�
�u;tB���and�b�^�·�²(��;�¨t�)�are,
9���9�r�}'espectively,�thepr�}'ecise�representativesof��±
�u;t�b�and�b�(��;�¨t�)�.���9�²Notice҇thatallthein���tegralsontherighthandsideof(1.2)arewelldened.�]Infact�b�^�·�²(�x;�¨t�)isa���9�loGcally�boundedBorelfunction,{P�e�u��isBorel,hence�b�^�·�²(�x;g�e���ud&�(�x�))isaBorelfunctiontoo.Z�Similarly�*�,the���9�function�(�x;�¨t�)rN�2�
}\��I�UXR=�¸!rN��^���b�
�u;t{�(�x�)isaBorelfunction,�¾henceitmak���essensetointegrateitrst
9���9�withUUrespGecttothev���ectormeasure�D�´x�µb�(��;�¨t�)andthenwithrespectto�t�.���9�T�*�opro���ve(1.2)westartbyregularizing�b�withrespGectto�x�,�sotogetaLipschitzapproximation���9�tocwhic���htheAmbrosioandDalMasochainruleformulaapplies.!
Then,therestoftheproGofconsists���9�in���analyzingcarefullythecon���vergence���ofallthetermsin(1.2),Жthosein���volving���thev�q�ariousparts���9�of�thederiv�q�ativ���eof�u�andtheonecontainingthederiv�q�ativeof�b�withrespGectto�x�.9Eachofthese���9�terms.Frequiresadieren���targument.d�W�*�enoticealsothat,6whendealingwithafunction�u�in�Wc�^�±1�;�1<u�,���9�the���assumptionsofTheorem1.1canbGew���eakened���byconsideringavectoreld�bF�:
k�¸�I�UXR�¸!F�I�UXR՟����N���9�²suc���h3thatdiv��´x��b�(��;�¨t�)isaRadonmeasurefor�L�^�±1|s�-a.e.�t�.At3thisregardourTheorem3.4canbGe���9�view���edUUasageneralizationoftheforementionedresultprovedin[6].���9�LetX�usno���wturntotheapplicationof(1.2)tolowersemicontinuity�*�.|fRecentpapGersbyF�*�onseca���9�and���Leoni,aGori,MaggiandMarcellini,andb���ytheauthorsofthispapGer(see[11
],[14],[15],���9�[6],�N[12
],[7])̃ha���veshownthattheclassicalconditionsduetoSerrin([16
]),�Nensuringthe�L�^�±1|s�-lower���9�semicon���tinuityUUin�Wc�^�±1�;�1�²ofafunctionalofthet���ypGe@�b�Fc�(�u�)�=�c�ZUR       y�
5Q�f�(�x;�¨u�(�x�)�;�r�u�(�x�))UU�dx;�ªu��2�W����1�;�1<u�(
)�;9�²(1.3)�=2r;q��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������� !���������$����������������������������������������'����(����)������������������������������������������������-������������.����������������01234567����9:;<=����?@AB����CDE����GH����J����L����MNOPQ����TUVW���������Z���������������������]^����`ab����d����ef������������g����iwwwxy����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������!"#$����&'()����*+,����./���������2����4����������������6789:;����������������<����������������>������������?����ABC����D����E����GHI����������������������������KLMNO������������PQRS���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������iiiiiii����������������iii���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������s����������������tu���������������������}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������&������������������������&������������������������()*+,���������������������/���������������������2������������8����������������8������������������������;<=����?@ABCDEF���������I����J����O����P����������������Q����R���������W���������Y����������������Z���������������������[ab����d����������������������������������������pppp����������������������������rst����������������vwx����z����������������{|}����~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ !"#$%���������(���������������������)����������������/���������:������������?����������������?������������������������A����������������CDFGH����������������I����KL������������������������������������������������Q����������������R����S����T����������������UV����������������������������Z������������������������������������������������a����b����c����d����������������������������������������Z����������������������������h����i����jk����������������l����m���������pq����t���������������������������������������������y����������������z{|}~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+����������������������������������������������������8����>���������������������������������������������.4���������������������������������DE����������������������������������������M���������������������������������������������M����������������������������\]^���������������������`����a����b���������������������h����������������������������j����������������������������r������������������������������������������������������������������������������������������������������������uvw���������������������������������z����{����|�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������$������������������������&����������������������������/����0����1����2����5������������������������7������������������������8����9����:���������=>����������������������������������������A���������������������B����C������������������������E����F����G����������������������������������������P������������������������������������������������\���������������������������������������������������������������������������������������������������������^������������������������_����`����a���������������������������������������������S������������������������������������������������������������������������������������������������������������U������������������������V����W����X����������������������������g������������������������i������������j����kl����m����n���������qrs���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������� ����!����"#$%&'()����������������+,-����/0����������������1����2345����������������7����89:����;<=>?@ABCDE����GH���������N������������������������V������������������������YZ[����������������������������`ab���������e����f����k����l����������������m����n����p�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������-����������������������������01����456789����������������;<=>?���������B������������������������D������������������������E����FG������������������������������������������������������������S����������������������������T����U����VW����Z[����]����_`abc����efghijkl����no����pq����������������stuvwxyz{����������������|����������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������
���������������������������� !"#���������&������������������������(������������������������)����*����/����0����������������1����2����567����9:;<����>?@A����CDEF����GHI����KL���������O����Q����������������������������X����������������Y����������������[\]������������^����_����bqqqr����t����u����wxyz{����}����~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������� !"������������#$����&'()*+,-����������������������������/0����������������23456789:����<=>?@ABCD����FGH����JKL������������M����NOPQRST����������������VW����YZ[����]^_����abcde����gh����jyyyz{����������������}~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������ ������������!����#$%&'()����*+����������������-����������������.����012345����789:����<=>?@����������������BCDE����GHIJKLM����OPQR����T����VWXYZ[\]���������`���������cd���������g����������������������������������������j����k����l������������������������o����������������������������qrs����������������uvwxyz{|}~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������     ��������
�����������������#������������������������#������������������������%&'()���������������������,����.����0����1����������������3456����89:;<=����?@A����CDEFGHI����WWW����YZ[����]������������^����������������������������`abc������������de����������������gh����j����lmnopqrstuvwxy����{|����~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������!"#$%&����������������()*+,����./012����456����89:;<=>?@AB����DEF����H������������I����KLM����OPQRSTU����WX����Z[\]����_`a������������bc����efgh����u����uu���������������������uv��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������    ����   ��������� 
������������������������ ������������������������   ���� ����  ����������������������������       ������������   ����    !���� "���������������� $ %��������� (���������������������������������������� +���� ,���� -������������������������ 1 2���� 4���� 6 7 8 9 : ; < = > ?���� A B���� D E F���� H������������ I J������������ K���������������������������������������������������� z��������������������� {���� |���� }���������������� ~���������������������������� ��������������������������������������������� ������������������������ ��������������������� ����  ���������������� ���� ���� ���� ���� ��������� ���� ���� ���� ���� � ��������������������� � � ������������������ ��������������������� ��������� ������������������������������ ������ ������ ������������������������� � � ������ ������������������������������������� � � � � �������������������������������������������������������������"�������������;qP@� H�����`H��·��9�²canb�bGeconsiderablyw���eakened.�Inb�particular,fGori,MaggiandMarcelliniin[15
]sho���wthatbGeside�9�theusualcon���vexityassumptionwithrespGecttothegradien���tandthecontinuitywithrespGectto���9�µu�,Ѐin���ordertopro���ve���that�Fm�islo���wer���semicontinuousitisenoughtoassumethat�f�m�is(uniformly)���9�w���eaklyUUdierentiablein�x�,namelythatforanycompactset�H���I�UXRN4�8�²I�UXR����N@���c�ZP-     y�
0,�jr�´x�µf�(�x;�¨t;u�²)�j�dx���L�forUUev���ery?c(�t;�¨�)�2�Hz�;y9�²for�Ysomeconstan���t�L���L�(�H���).B�As�YaconsequenceofTheorem1.1,�weareabletoimprovetheirresult���9�b���yUUreplacingtheweakdierentiabiltyof�fh�²withrespGectto�x�witha�BqV9�dependenceon�x�.9���Theorem�T1.2R���L�}'etkzusassumethat�fڧ�:�
����I�UXR
:��I�UXR/;����N�!�[0�;���+�1�)kz�isalo�}'cal�lykzboundedBorelfunction���9�such�that���|��f�(�x;�¨t;��)���is�c�}'onvexin�I�UXR�#����N���forevery|�²(�x;t�)��2�
8�¸�I�UXR
1�µ;9�²(1.4)�rp.�f�(�x;����;u�²)���is�c�}'ontinuousin�I�UXRv
�forevery:�(�x;�)��2�
8�¸�I�UXR����N�u�;9�²(1.5)������f�(��;�¨t;u�²)��2�BqV8�²(
)���for�every�(�t;�¨�)��2�I�UXRN4�8�²I�UXR����Nxe�µ;9�²(1.6)���9���and�suchthat,foranyc�}'ompact�µK~4���I�UXRN4�8�²I�UXR����N���,ther�}'eexists�L���L�(�K��)���suchthaty����c�Z��� y�K���!�j�D�´x�µf�(��;�¨t;u�²)�j�(
)�dtd<�<�L:9�²(1.7)@R9���Thenu�thefunctional�F�T�islowersemic�}'ontinuousin�Wc�^�±1�;�1<u�(
)�withrespecttothe�L�^�±1|s�(
)�convergence.9�²W�*�efremarkthatthisresultisoptimalinthesensethat,j/assho���wnbyv�q�ariousexamples(see[4]�9�or�`[15
]),�*ifnocoGercivit���ynorstrictconvexityof�f��isassumedthelowersemicontinuitymayfailwhen���9�µfA�²is.nnot�BqVgR�in�x�.d�Ho���wever,66it.nwouldbGenicetoextendthistheoremtothecasewhere�u�isin�BqV8�²,���9�i.e.`to!�ndthelo���wer!�semicontinuousenvelopGeofthefunctional�FN�in(1.3),,aproblemwhichisstill���9�opGenUUunderthequitegeneralassumptionson�fh�²madeabo���ve.���9�AsUUanexample,considerthefunctional�@�rʟ�c�Z�  y�
����a�(�x�)�jr�u�(�x�)�j���dx;@R9�²where-�a�isaloGcallyboundednonnegativ���e�BqVE�function.PByTheorem1.2,9�thisfunctionalis�L�^�±1|s�-���9�lo���wer*semicontinuoson�Wc�^�±1�;�1<u�,buteveninthiscaseitisnotclearwhichisitslowersemicontinuous���9�extensionUUto�BqV8�².q�OnecouldthinkthatagoGodUUcandidateisthefunctional�����c�Z��� y�
�r�µa�����²(�x�)���d�j�DGu�j�(�x�)�u��2�BqV8�²(
)�;9�²(1.8)@R9�but�®itisnotso.���Infactif
U=(0�;���1)�^�±2|s�,儵a�=��´E�m�,whereȮ�E�²=(0�;���1)�¸�(1�=�2�;�1),�the�®in���tegralin(1.8)���9�is���notlo���wer���semicontinuousalongthesequence�u�´n�~�=E��´E�nF\�,���where�E�´n�=E(0�;���1)k=��((�n��1)�=�(2�n�)�;�1),���9�whic���hUUconvergesin�L�^�±1|s�(
)to��´E�m�.!č�9���2&�Denitionsffandpreliminaries�9�²In���thissectionw���erecallsomepreliminaryresultsandbasicdenitions.x�F�*�orallthematerialcon-���9�tainedUUinthissectionthereaderma���yreferto[2]and[10
].�=3������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � ������������������ ������������� ������ � � � � � � � � � � � ������ ������������� � � ������ � � � � ������������������ � ������������������ � � � � � � � � � � ������������������!!!!!����!!!   !
!����!
!!����!!!!!!!!!!����!!����!(����!(!(���������������������!(����!*!+!,������������!-����!/!0!1!2����!4������������!5!6!7!8!9����������������������������������������!;!<!=����������������!?!@!A!B!C����!E!F!G������������!H����!I!J!K!L����!M����������������!O!P!Q!R!S!T!U!V!W!X����!Z![!\!]����!_!`!a!b������������!c!d!e����!g!h����!j!k!l����!n!o!p!q!r!s!t������������!u����!w!x!y����!{!|!}����!!!����!!!����!!!����!����!!!!����!!!!������������!!!����!!���������������������������������!����!����������������!!������������������!�!�!�!�!������!�!������!�!�!�������������!������!������������������!�!�!�!���������!���������������������!�!������!�!�������������!������!�!������������������!�!�!�!�!�!�!������!�!�!������!�!�!�!������!�!������!�!������!�!�!�!�!�!������!�!������!�!�!�!�!�!������!�!�!�!���������!���������������������!�!������!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!������������������������������"������������"""""����������������"""""
""����""""""����""���������"����"����"" "!"""#"$����"&"'"(")����"+","-����"/"0����"1����"3"4"5"6"7"8"9����";"<"=���������"@���������������������"G������������������������"L����������������"L������������������������"R������������������������"U����������������"U���������������������������������������������"U������������������������������������������������������������������������"k������������������������������������������������"r����������������������������"s"y������������������������"{������������������������"}���������������������"~����""����������������""����"����������������"����"���������""���������������������"���������"������������������������""�"������������������"�"�������������"�"�"���������������������"������"�"������������������"���������"���������"���������"������������������"���������������������������������������������"�"�"������������������"�"�"�"������"�"�"�"�"�"�"�������������"���������"���������������������"���������"������"������"���������������������"�"������������������"�"������������������"������"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"������"�"������"�"�"�"�"�"�#����####����������������#����#����###����####����##����# #!#"###$����#%����#&����#(#)#*#+#,����#.#/#0#1#2#3����������������������������#5������������#6����������������#8#9#:#;#<#=#>#?#@����#B#C#D����#F����#G#H#I����#K#L#N#O#P#Q#R����#S#T#U#V#W#X#Y����#Z����#\#]���������#`���������������������#c#d#e#f����#h#i#j#k������������#l#m#n����#p#q���������#t���������#w#x#y#z����#|���������#����������������#���������������������###����#######����##���������#����#����������������������������������������������������#�#�#�#�#�#�#������������������#�#�#������������������������������#������������������#�#������������������#�#������#�#�#�#�#�#������#�#�#�#���������#���������������������#������������������#���������������������#�������������#������������������#�������������������������#�������������#������������������#���������������������������������������������#�������������������������#���������#�#������#���������������������#������#������#���������������������#�#������#������#�#������������������#������#�#������������������#�#������������������$����$$$$$����$����$$$
����$$����$$$$$$$$����������������������������$$$$����������������$$$$������������������������������������$F���������������������$G����$H$I����������������$J$K���������$P����$Q������������������������$b$c����������������$e����������������$f$g$h$i$j����$l$m������������$r����������������$r���������������������������������������������$r������������������������$u$v$w����$y$z${$|$}������������������������$����$$����$����$���������������������$���������$���������������������$������������$����������������$������������������������$�������������������������������������$�$�$�$�$�������������������������������������������������������������$���������������������$������$�$���������������������$������$������$������������������$�������������������������$�$������������������$������������������$�$�$�$�$�$�$�%%����%%������������%����������������%������������������������%%%����%%%%%����������������������������%����% %!����%$���������%%���������������������%(���������%.���������������������%4������������%9����������������%9���������������������������������������������%9������������������������%@������������������������������������%O%O%O%O%O����������������������������������������������������%v���������������������%w����%|����%}����������������%~%����%����������������%���������������������%���������%����������������%���������������������%%%������������������������%�%�%������������������%�%�%�%�%���������%������%�%������������������%���������%���������������������%�������������%������������������%�������������������������%�������������������������%������������������%���������������������������������������������%������������������������������%�������������������������������������%�%�%�%�%���������������������������������������������%�%�%������������������%�%�%�%������%�%�%�%�%������%�%�%������%�%�%������%������������������%�%�%������%�%�%���������������������%���������������������&������������������������&����������������&������������������������&
������������������������&����������������&���������������������������������������������&������������������������&����&&&&����������������&����&&&&&&���������&"���������������������&(���������&*����&+����&,���������������������&-���������������������&0&1&2&3����&5&6&7&8������������������������������������������������������������������������&b������������������������������������������������&d����������������������������&e����&f������������������������&f������������������������&k���������������������&l����&q����&r����������������&s&t����&w����������������&x����&y����&z&&���������&&&&����������������&����������������&����&������������������������������������&&&&&���������������������������������������������������������&&�&�&������������������&�&�&������&�&�&�&�&�&�&�&�&�&���������&���������������������&�&������&�&�&�&�&������&�&�&�&�&������������������&�&�&�&�&�&�&�&�&������&�&���������&������������������������������������������&������&������&�������������������������&�&�&���������&�&�&�&������&������&�&�&������&������&�&������&�&������&�&�&���������&�������������������������&�������������������������&�''���������'����''''
'����''
''����''���������������������������������������������'#����������������'$����������������'&'''(')'*'+����'-'.'/'0����'2'3'4'5����'7'8'9':';'<����'>'?����'A'B'C'D'E'F'G����'I'J����'L'M'N����'P'Q'R'S'T����'V'W'X'Y'Z����������������'\']����'_'`'a������������'b'c����'e����'f����'h����������������'i'j'k'l'm'n����'p'q'r's't'u'v'w����'y'z'{'|����'����'���������������������'����������������������������������������''����������������'����''���������������������'''����������������''����''����''�������������'�'�'�'�'�'�'�������������'������'�'�'������'�'�'�'�'�'������'�'�'������'������'�'�'�'������'������'�'���������'���������������������'�'������'�'�'�'�'�'�'������'�'�'������'�'������'������'�'������'�'�'�'�'�'�'������'�'�'������'�'�'������'������'�'������'������'�'�'�'������'�'�'�'���������������������������������'���������������������'�'������������������'�((���������(����������������(���������������������((���������(����(����������������((������������(����((����(((����������������((����������������(����(((( ����("������������(#����(%(&('((����(*(+����(-(.(/(0(1(2����(4(5(6(7����(9(:(;(<(=(>(?����(A(B����(D(E(F����(H(I(J(K����(M(N(O(P(Q���������(T���������(W(X����(Z([���������(^����������������(_���������������������(a����������������������������(c(d(e(f����������������(h(i����������������(l(m(n����(p(q(r����(t(u������������(v����(w(x����������������(z({(|(}(~((����(((����((((����((����(����((((������������(����((����(((����((((((((�(�(���������(���������������������(�(������(�(�(�(�(�(������������������(������(�(�(�(�(�(�(������(�(�(�(������(������(�(������(�(�(�(�(������������������������������(�(�������������(�(������������������(�(�(�(�(������(�(�(������(�(�(�(�(������(�(�(�(�(�(�(������(�(�(�(�(�(�(�(�(�(�(������(�(���������)���������������������))))����))
����)������������)����)
)����������������������������)) ����������������)")#����)%)&)')()))*)+),����).)/)0)1)2)3)4)5����)7)8)9����);)<)=)>)?)@)A)B)C)D���������������������������������������������������������������������)L������������������������������������������������)S����������������������������)U����)V����)W����)X����)Y)_����)a����)b����)c����)d����)e���������������������)h)i����)l���������������������������������������������)r)s)t)u)v���������������������)y���������)|)}����)����))������������)))))����)����))))))����))))))))))������������)���������)����������������)���������������������)�)�)�)�)�)�)�)�)������������������)�)������)�)�)�)�)�)�)������)�)�)�)������������������)�)�)�)������)�)�)�)�)�)�)�)�)�)������)�)���������)�������������������������)�������������������������)������������������������������)�)�������������)������)�)������������������)�)�)�)�)�)�)������)�)�)������)�)�)������)�)���������)������������������������������������������)������)������)�������������������������)������������������***����**����**����**
����**
**����****����**����**����***����* *!*"*#*$����*&*'*(*)����**����*,*-����*/*0*1����*3*4����*5����*6*7����*9*:*;*<*=*>*?����*@*A*B����*C*D*E*F����������������������������*H*I*J*K*L*M*N*O*P����������������*R*S���������*V����������������*W���������������������*Y����������������*[*\*]����*_*`*a*b*c����*e*f*g*h*i����*k*l*m*n����*p����*r*s������������*t����*u����������������*w*x*y*z*{*|*}*~*����**����***����**********������������������������������������������������������������*�������������������������������������������������*������������������������������*�������������������������*�������������������������*������*������*���������������������*������*������*�������������*������*������*������*������*���������������������*���������������������*���������*������������������*���������������������*�*�*���������*�������������������������������������+++++����������������������������������������������������+++
����������������++
����++����+++����+++����������������++����++++ ����+"+#����++����������������+,����+-+.����+/���������������������+0+1������������������������+3������������������������+5���������������������+8���������+9���������+=������������������������+?������������������������+A����+C+D+E+F+G���������������������+J���������������������+K����+L+M����+N���������������������+O+P���������������������+V���������+W+X����+Y����+Z����+[���������+\+]+_����������������+a+b+c����������������+e+f������������+g+h+i+j+k+l����+n+o����+q+~+~+~+����������������������������++����������������+++����++������������+����++����������������+++++++����+++����++++����++++�+������+�+�+������+�+�+�+�+�+�+�+���������+�������������������������+�������������������������+���������������������+�������������������������+�������������������������+������������������������������+������������������+�+�+�+�+���������+�������������������������+�������������+������������������+�+������+���������������������+�+���������������������+���������+�+������+���������+���������+�+������+������+�+������+������+������+���������+�+�+������������������������������+�+�+�+�������������+������������������+�+�+������+������+�+�+�+�+������+�+���������+�������������������������+�������������������������,,,����,
,���������,������������������������,������������������������,������������������������������������������������,?���������������������,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?����������������,?,?,?����,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?���������������������������������������������,A,B����������������,D,E,F,G����,I,J,K,L,M,N,O����,Q������������,R����,T,U,V,W,X,Y����,[,\,],^����,`,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j����,l,m,n,o,p,q,r����,t,u,v����,x,y,z,{,|����,,,�,,,,,,,,����������������,����������������,,����,,,����,,,����,,,,,,,,����,�,�,�,������������������������������,�,�,�,�,�,������������������,�,������,�,�,�,������,�,�,�,�,�,�,������,�,�,������,�,�,�,�,�,������,�,�������������,������,�,�,�,�,������,�,������,������,���������������������,������,�,�,������,������,�,���������������������,�,�������������������������������������������������/,�������������a؋"{�H�����`H��·��9�²LetUU�E��bGeameasurablesubsetofI�UXR�������N9B�.q�The�density�D�(�E�;���x�)of�E��atapoin���t�x��2�I�UXRT����NZ�isUUdenedbyDፒ���DG�(�E�;���x�)�=�lim-�%�!�0�<$�o�L�^�´N�²(�E�m�\8�µB�´�$�(�x�))�owfeCg    (֍�>�µ!�´N�µ�r�NZ      �;�K9�²where17�!�´N
��isthemeasureoftheunitball,8qwhenev���erthislimitexists.e�Hereafter,�B�´�$�(�x�)denotesthe�9�ballUUcen���teredat�x�withradius��.q�The�essential�b�}'oundary�@8�^�´M   n�E��of�E�istheBorelsetdenedas�{w�µ@8����M   n�EZ�²=�I�UXRT����N��n8�f�x��2�I�UXRT����Nr�:q�µDG�(�E�;���x�)=0���orꜵD�(�E�;���x�)=1�g�:9�²(2.1)���9�W�*�e�©sa���ythattheset�E6�isof�nite2�p�}'erimeter�inanopGenset
if�H���^�´N�,��1�۲(�@8�^�´M   n�E��\e�
)��<�1�.NNotice�©that,���9�b���yq�[10
,y"Theorem4.5.11],thisdenitionisequiv�q�alen���ttotheoneoriginallygivenin[8]andusually���9�adopted�intheliterature.A�Noticealsothatif
���I�UXRT����Np�is�anopGenset,���thequan���tity��H���^�´N�,��1�۲(�@8�^�´M      n�E���\h�
)���9�agreesUUwiththeclassical�p�}'erimeter�of�E���in�
(see[2,Theorem3.61]).���9�Let�½
���I�UXRT����N�²bGeanopensetandlet�u��:
�!�I�UXRbGeameasurablefunction.S?The�upp�}'er?�andlower���9�appr�}'oximate�limitUU�of�u�atapGoin���t�x��2�
UUaredenedas���9���u����+���(�x�)p=inf
G�f�t��2�I�UXR�l:�DG�(�f�up>t�g�;���x�)=�0�g�;�©u������(�x�)=sup*�¸f�t�2�I�UXR�l:�DG�(�f�u<t�g�;���x�)=0�g���;9�²(2.2)���9�respGectiv���ely�*�.^�The�quantities�u�^�±+���(�x�)�;UPu�^�·��(�x�)arewelldened(pGossiblyequalto�1�)atevery�x��2�
,���9�andUU�u�^�·��(�x�)���u�^�±+���(�x�).q�Thefunctions�u�^�±+�;UPu�^�·       �:�
�!�[�1�;���1�]areBorelmeasurable.���9�W�*�eAsa���ythat�u�is�appr�}'oximately���continuousA�atapGoint�x.K�2�
Aif�u�^�±+���(�x�).K=�u�^�·��(�x�)�2�I�UXR|.+InAthiscase,���9�w���e0set�«e�u鑲(�x�)�=�u�^�±+���(�x�)=�u�^�·��(�x�)0andcall�«e�u�(�x�)the�appr�}'oximateq�limit�of�u�at�x�.e\Noticethatdenition���9�(2.2)UUimpliesthat�u�isappro���ximatelycontinuousat�x�withapproximatelimit��e�u      �²(�x�)ifandonlyif���p       �DG�(�f�y"�¸2��
:q�¸j�u�(�y[�²)8�¸�e�u�^�(�x�)�j��>"�g�;���x�)=0(forev���eryO���">�0�:9�²(2.3)���9�The�)setofallpGoin���tsin
where�u�isapproximatelycontinuousisaBorelsetwhichwillbGedenoted���9�b���y�C�´u΀�andcalledthesetof�appr�}'oximate�ªcontinuity�of�u�..!Theset�S�´uj�=/�
b�¸n�C�´u�willbGereferredto���9�asUUthesetof�appr�}'oximate�discontinuityUU�of�u�.���9�AsUUasimpleconsequenceoftheabGo���veUUdenitionsw���ehave,����µ@8����M n�f�u�>t�g,����f�u����       ��t��u����+���g(�for�¨ev���eryO���t�2�I�UXR�l�:9�²(2.4)���9�InUUparticular,����µC�´usB�\8�µ@8����M  n�f�u�>t�gf\�«e�u�=�t�g(�for�¨ev���eryO���t�2�I�UXR
���:9�²(2.5)���9�Finally�*�,UUb���y�u�^�·�9�wedenotethe�pr�}'ecise�representativeUU�of�u�whichisdenedbyCu��ҵu�����²(�x�)�=�<$�K�u�^�±+���(�x�)8�+�u�^�·��(�x�)�Kwfe@ߟ(֍��2iۍ�9�ifUU�u�^�±+���(�x�)�;�¨u�^�·��(�x�)��2�I�UXRT,�u�^�·�²(�x�)=0otherwise.���9�A�ºloGcally���in���tegrablefunction�u�issaidtobe�appr�}'oximately�dierentiable�ٲatapoin���t�xH�2�C�´u;�if���9�thereUUexists�r�u�(�x�)��2�I�UXRT����NZ�suc���hUUthat��l$lim-ko.��!�0�<$Y&�1~hwfe�C(֍��r�N�,�+1'���c�Z�ݟy�B�!W�(�x�)�Ց�j�u�(�y[�²)8�¸�e�u�^�(�x�)�hr�u�(�x�)�;�¨y�¸�x�ij�dy"�²=�0�:9�²(2.6)�ҍ9�Here,�[�h�;���i�\�standsforscalarproGductinI�UXR�������NI�.7tThev���ector�r�u�(�x�)iscalledthe�appr�}'oximate���dierential���9�²of�u�at�x�.XThesetofallpGoin���tsin�C�´uC�²where�u�isapproximatelydierentiableisdenotedby�D�´uC�²and�=49����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�,�,���������������������-���������������������-������������-����-����--
---
-----����------����--���������-!����������������-!���������������������������������������������-!������������������������-#����������������-&-'-(���������-/-0-1-2-3-4-5���������-9���������-:����-;���������������������-<���������������������-=����->����-A-B���������-E���������������������-H-I����-K����-M����-N-O-P������������-Q���������-T���������������������-W������������-Z����������������-Z���������������������������������������������-Z������������������������-]-^����������������-`-a-c-d-e-f����-h����-i������������������������������������������������-n����������������-o����-p���������������������-q���������������������-r����-s����������������-t������������������������-x-x-x���������������������������������-}����-����-������������������������������������������������������������-�������������������������-�������������������������-������-���������������������-���������������������-�������������������������-�������������������������-������-������-�-������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-�������������������������-�������������������������-�������������������������-������������������������������������������-���������������������������������������������-�-�-�-�-���������������������-�������������������������-�������������������������-�-������-�-�-������-�-�-�-�-�-�-������-�-������-�-�-������-�-�-�-������-�-�-�-�-������������������-�-�-�-�-�-�������������-�-������-�-�-�-������-�-�-�-�-������-�-�-�-�-�..����������������........
..���������.������������������������.������������������������.����.����.����..... .!."����.$.%.&����������������������������������������.(.).*.+����������������.-.../������������.0.1.2.3.4����.6.7���������.:���������.=.>.?.@����.B.C.D.E.F.G���������.M����.O����������������.Q.R.S���������.Z.[.\.].^._.`.a.b����������������.d����������������.e.f.g.h.i.j.k���������.v����������������������������������������.x������������������������.y���������������������.|.}���������.���������..����...����.....����...����......����..������������������������������������������������.������������������������������������������.�������������������������.���������������������.���������������������.������������������.���������������������������������������������.�������������������������.������������������.������.���������������������.�������������.������������������.���������������������������������������������.�������������������������.���������������������.������������������.������.���������������������.���������������������.������.������.������.���������������������//  ������������������������/���������/����/���������������������/���������������������/����/����/����/����/���������/������������������������������������/,/,/,/,/,����������������������������������������/.����������������//����������������/1/2������������/3����/5/6/7/8����/:/;/<����/>/?/@���������/C���������������������/F/G����/I/J���������/R/S/T/U/V����������������/X����������������/Y/Z/[/\/]/^/_/`���������/c/d����/f/g����/i/j������������/k/l����/n/o/p����/x����/{/|���������/������������������������������������/���������������������/����/������������������������/����/����������������������������������������/������������������������/���������������������/���������������������//���������������������/���������/����/������������������/�/�/�/�/�/������������������/�/�/�/�/������������������������������/�������������/������������������/������/�/���������������������/������������������/�/�/�/�/�/�/������/�/�/�/�/�/�/�/������/�/�/�/������/�/�/�/�/�/�/�/�/������/�/������/�/�/�/�/������������������/�/�/�/�������������/������/�/������/�/�/������/�/�/������/�/�/�/�/�/�/�/�00����000����00����0 0
����0����0���������������������0����000����0000 0!0"0#����������������������������0%0&0'0(0)0*0+����������������0-0.����000102����0405060708090:0;0<0=0>����������������0@0A0B0C0D0E����0G0H0I0J����0L0M0N0O����0Q0R����0Z���������������������0a������������0d����������������0d���������������������������������������������0d������������������������0g0h����������������0j0k����0m0n������������0o0p����0r0s0t0u����������������0w0x0y����0{0|0}0~������������000����0���������������������0������������������������������������0���������������������0����0������������������������0����0����������������������������������������0������������������������0���������������������0���������������������00����������������������������0�0�0�0�0�0������������������0�0�0�0������0�0�0������0�0�0�0�0�0�0�0�0���������0������������������0�0�0�0�0�0�0�0������������������0�0���������0���������������������0�0���������0������0�0�0�0������1����1���������������������1����1111111����1111111����������������������������1       1
1����������������1���������������������1������������1����������������1���������������������������������������������1������������������������1 ������������1!����1#1$����1&1'����1(1)����1+1,1-����1/1011����131415���������18���������������������19����1?���������1B������������1G����������������1G���������������������1J������������1K����1M����1O1P1Q1R1S1T1U1V1W1X����1Z1[1\1]1^1_1`1a1b����������������1d1e1f���������1m1n1o����������������1p1q����������������1s1t1u����1w1x1y1z1{����������������������������1}1~11����������������1111111����������������11111���������������������11���������1���������11����1����1������������111������������1���������1���������������������1���������1������������������1�1�1������1�1�1�1�1�1������1�1�������������������������������������1�������������������������1�������������������������1������1������1������������������1�������������1�1�1������������������������������1������1���������������������1�������������2����������������2���������������������2���������2����������������2����2����2����������������2����2����2����2���������������������2����2����2����������������2����2����2����������������2!������������������������2#������������������������2$����2%����2&����2)������������2/2/2/����������������������������21����22���������25������������2:����������������2:���������������������2;���������2<����������������2=����2?����2@����2C����2F����2H����2I���������������������2J����2K����2N����2O����2Q���������������������2U������������������������������������2d2d2d2d2d����������������������������������������2f2g2h2i������������2j2k2l2m2n������������2o2p2q����������������2r����������������2t2u2v����������������2x2y2z2{����2|2}2~222���������2������������������������2������������������������2����2����2����2����������������2������������������������2������������������������2����2����2����222����2����222����222�2�2�2������2�2�������������2�2�2�2�2�2�2������2�2�2�2�2������2�2���������2�2������2������2�2������2�2������2�2�2���������2���������������������2���������2�2������������������������������2�2�2���������������������2�������������������������2�������������������������2������2������2���������������������2���������2�������������������������2�������������������������2������2������2�2������������������2�2�2������2�2�2�2�2�3333���������3������������������������3������������3        ����������������3������������������������3������������������������3����������������3���������3���������3����33$����3%���������������������3,����3-����303132����3435363738����3:3;3<3=3>3?3@3A3B3C3D����������������������������3T����������������3U����������������3W3X������������3Y����3[3\3]3^���������3a���������3d3e���������3l3m3n3o����������������3p3q3r3s3t3u3v3w3x����������������3z����3{3|3}3~33333���������������������33����3����3������������333����3���������3���������������������3���������3����������������33���������3�������������������������3�������������������������3������3������3������������������3���������3�������������������������3�������������������������3������3������3���������3�������������3������������������3���������������������3������������������3�3������������������3�3�3�3������3�3�3�3�3������������������������������3�������������3������������������3�3�3�������������������������������������������������3������������������������������3������3������3������������������3���������3�������������������������3�������������������������3������3������3������3���������3�������������������������3�������������������������3������3������3������������������3�3�3������3�3�3�3�������������������������������������������������4����������������4
����4����4����444���������4444����������������44444 4!4"����������������4$4%4&4'4(���������4+4,���������4/���������4243���������46����48����������������4:4;4<4=4>4?����4A4B4C4D����4F4G4I4J4K4L4M4N4O����������������������������4Q4c4c4c4d����������������4f4g4h4i4j4k4l����4n4o4p4q���������4t���������4w4x����4z4{4|4}4~������������44444444����444����444����4444����44���������4���������4444����44�4�4�4������4�4�4�4�4�4������4�4�4�4�4�������������������������������������������������4������������������������������4������4������4������4�4������4�4�4������4�4�4�4������4�4������������������������������������������5����������������5����5����5���������������������5���������������������5����5���������������������5����5 ����5!����5"����������������5#���������������������5$������������������������������������������������51����������������������������53����54����55����56���������������������57����5;����5=����5>���������������������5?����5@����5B����5D���������������������5X5Y5Z����5_5`������������5a5b5c������������������������5l����5n���������5o���������5r������������������������������������55555����������������������������������������555����������������555����55����555����5������������555������������55����55����5������5�5�5�5�5���������5���������5�5������5�5�5�5�5������5�5�5�5�5�5�5�5������5�5�5������5�5�5������5�5�5�5������5�5������5������5�5�5�5�5������5�5�5������5�5�5�5������5������5�5�5�5������5�������������5������5�5�5�5�5�5�5������������������������������5�������������5���������������������5�������������������������5�������������������������5�5�5������5�5�5�666����666����66    6
����66
���������6666����������������6666666����������������6 ����6!6"6#6$6%6&6'6(6)���������������������6,6-���������60����62����������������646566����68696:���������6=������������������������6?������������������������6@����������������6F���������������������6O���������6Q������������������������6S������������6V6W6X6Y����������������6[������������6\����6^6_6`6a6b6c6d6e����6g6h����������������������������6j6k����������������6m6n6o����6q6r6s����6u6v���������6}6~66����������������6666666����������������6666����666666666���������������������66���������6����6����������������������������6�6������������������6������6�6�6�6�6�6������6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6������6�6������6�6�6������6�6�������������6�������������6������6������������������6�6�6�6�6�6�6�6�6�6������6�������������6������6�6������6������6�6������������������������������������������7.����������������������������������������70����������������������������73����74����������������75����76����78���������������������7A����������������7D����7E������������������������7G������������������������7K���������7M���������7Q���������7S������������������������7U������������������������7X������������������������7l7m7n����������������7s7t������������7u7v7w������������������������7|���������7������������7����������������7������������������������7������������������������������������77777����������������������������������������77����������������777777�7�7�7�7�7������������������������������������������7�������������������������7�������������������������7���������������������7������������������������������������������7�������������������������7������7������������������7������7������7������7������8����������������������������������������8����������������������������8���������8����8������������������������8'8(8)����������������8.8/������������808182������������������������87���������8:������������8?����������������8?������������������������8B������������������������������������8Q8Q8Q8Q8Q����������������������������������������8S8T8U8V8W8X8Y����������������8Z����������������8\������������8]���������8`������������������������8b������������������������8e����8f����8h8i8j8k8l8m����8o8p8q���������8x8y����������������8z����8{8|8}8~����������������8����888����8888888888���������������������88���������8���������8888����8����88����8�8�8�8�8�8������8������8�������������������������������������������������8�������������������������8�������������������������8������8������8������������������8������������������������������������������������������8�������������������������8�������������������������8������8������8������������������8���������8�������������������������8�������������������������8������8������8�������������������������������������������������������������������������������������������������������������8���������������������������������������������������������8�8���������������������8�������������������������8�������������������������8������8������8������8������������������8�������������������������8�������������������������8������8������8���������������������8�������������8������������������8���������������������8���������8�������������������������8�������������������������8������8������8������8������8������8�8�8�8�8�8�8�999����������������������������9����������������9
9������������99999����������������99������������99999999����9 9!9"9#9$9%9&9'���������9*���������9-9.����90919293����9596����98����99���������9@9A9B9C����������������9D9E9F9G9H9I9J9K9L����������������9N9O9Q9R9S����9T9U9V9W9X9Y9Z9[���������������������9^9_����9a����9c����9d9e9f������������9g���������9j���������������������9m���������9o������������������������9q������������������������9t9u����������������������������9w9x9y9z9{����������������9}9~9999���������9����9����9����9����9���������������������9������������9����������������9���������������������������������������������9������������������������999������������9����������������9999������������������������������������������������������9�9�9���������������������������������������������9������9������9������������������������������������������������������������������9�������������������������������������������������������������������������������������������������9�������������������������9���������������������9�9������������������������������������������������������������������9�������������������������������������������������9�������������������������9�������������������������9������9������9������������������������������9������9������9������9������������������9���������������������9�������������������������������������������������:
����������������������������:����:
����:���������:����::����:����:����: ����:!����:"����������������:#���������������������:$���������:%����:,:-���������:0:1���������������������:2����������������:3���������:6������������������������������������:E:E:E:E:E����������������������������������������������������:G:H:I:J:K���������������������:T:Y����:Z���������������������:_:f���������������������:i:j:k:l:m:n����:p:q:r����:t:u:v:w:x:y����:{:|:}������������:~:::����::���������:����������������:���������������������������������������������:������������������������:����������������:::����:������������:::::���������:����:������:������:������:������:�:������:�:�:�:�:�:������:�:�:���������:�:�:�:������������������:�:�:�:�:�:�:������������������:�:�:�:�:������:�:�:�:�:�:���������������������������������:�:���������������������:���������:�:���������:������:������������������:�:�:������:�:�:������:�:������:�:�:������:�������������:�:�:�������������:�:������:�:���������:�������������������������:�������������������������;;;;;���������;���������;;
����;;;;;����;;;;;;;;����;;; ;!;";#;$����;%;&;';(;);*����;,;-����;/;0;1;2;3;4;5����;7����;8���������;;������������������������;;������������������������;I;J;K������������������������������������������������>������������9]$2�H�����`H��·��9�²is���calledthesetof�appr�}'oximatedierentiability��of�u�.�sItcanbGeeasilyv���eriedthat�D�´uF�isaBorel�9�setUUandthat�r�u��:�D�´uz�!�I�UXRT����NZ�isUUaBorelfunction.���9�A{Afunction{K�u\�2�L�^�±1|s�(
)issaidtobGeof�b�}'ounded���variation�ifitsdistributionalgradien���t�DGu�isan���9�I�UXR/����N�²-v�q�alued�·Radonmeasurein
andthetotalvariation�j�DGu�j�of�Du�isnitein
.�Thespaceof���9�allFfunctionsofbGoundedv�q�ariationin
isdenotedb���y�BqV8�²(
),Iwhilethenotation�BV�´l
`oc
&�(
)willbGe���9�reserv���ed"�forthespaceofthosefunctions�uj�2�L�^���1v�l
`oc
&�(
)"�suchthat�uj�2�BqV8�²(
�^�·0�9�)"�foreveryopGenset���9�
�^�·0Q��UX��
.���9�LetUU�u��2�BqV8�²(
).q�ThenitcanbGepro���vedthat5lim-g�´�!�0-�¸���2�c�Z��l   y�B�!W�(�x�)� �j�u�(�y[�²)8�¸�e�u�^�(�x�)�j���dy"�²=�0(for6��H������N�,��1�۸�a�:�e�:+yx�2�C�´u���9�²and�that�u�isappro���ximatelydierentiablefor�L�^�´N�²-a.e.    �µx�.Moreover,�the�functions�u�^�·
G�²and�u�^�±+
+�are���9�niteUU�H���^�´N�,��1�۲-a.e.q�andfor�H���^�´N�,��1�-a.e.q�µx��2�S�´u�²thereUUexistsaunitv���ector��´u:b�(�x�)suchthat5A#�lim-@�´�!�0Q�����2�c�Z��l    y�B���kW=�+��ѱ(�x�;��u���(�x�))'��j�u�(�y[�²)8�¸�u����+���(�x�)�j���dy"�²=�0�;Ơ�lim-����!�0'p�¸���2�c�Z��l  y�B���kW=��A�±(�x�;��u���(�x�))(B5�j�u�(�y�)��u������(�x�)�j���dy"�²=�0�;9�²(2.7)��9�where�µB�^���q�+፴$�(�x�;����´u:b�(�x�))+�=�f�y�2�B�´�$�(�x�):�b�h�y���a!�x;�´u:b�(�x�)�i�>�0�g�,���and�µB�^���q�፴%@r�(�x�;��´u:b�(�x�))isdenedanalogously�*�.���9�The�setofallpGoin���tsin�S�´uSJ�wheretheequalitiesin(2.7)aresatisediscalledthe�jump\Pset�of�u�and���9�isUUdenotedb���y�J�´u:b�.���9�IfZ�u�isa�BqVG>�function,<w���edenoteby�DG�^�´a�u�theabsolutelycontinuouspartof�DGu�withrespectto���9�LebGesguedmeasure.^�Thesingularpart,'�denotedb���y�D�^�´sW�u�,'�issplitin���totwomoreparts,'�the�jump_p�}'art���9�µDG�^�´j}�µuUU�andthe�Cantor�p�}'art�DG�^�´cY�µu�,denedb���y�v����_�DG����j}�µu��=�DG����sW�u���     �PJ�´u:b�;)�¬DG����cY�µu�=�DG����s�u8�¸�DG����j}�µu�:���9�²Finally�*�,UUw���edenoteby�x䍑c�«e�D���u�the�diuse�p�}'art�of�DGu�,denedby����x䍒���e����D�Mu��=�DG����a�u8�²+�DG����cY�µu�¨:���9�²Ifj�u��2�BqV8�²(
),thenfora.e.Z#�t�2�I�UXR#�theset�f�x�2�
:q�µu�(�x�)�>t�g�isofnitepGerimeterin
.Z#Moreo���ver,�9�theUUfollo���wingversionofthe�c�}'oarea�formulaUU�holds(see[2,Theorem3.40and(3.63)]).09���Theorem�T2.1(Coareaform�9ula)��L�}'et���
�beanopensubsetof�I�UXR
;����N���andlet�u5�¸2�BqV8�²(
)�.P�Assume���9�that�µg"�²:�
�!�[0�;���+�1�]�isaBor�}'elfunction.Then�o����ߟ�c�ZH        y�
(�gd�j�DGu�j��=�c�Z���i��+�1@UR1��dt�c�Z:        y�@n9��M�Y�f�u>t�g\�
38�gd�H������N�,��1��:9�²(2.8)��59�AnUUalternativ���eversionofformula(2.8)statesthat����e�c�Zl   y�
L�gd�j�DGu�j��=�c�Z���i��+�1@UR1��dt�c�Z:      y�f�u��꯷�t��u��+���g2�a�gd�H������N�,��19�²(2.9)���9�(seeUU[10
,Theorem4.5.9]).q�Makinguseof(2.8)and(2.9)with�g"�¸��1andof(2.4)yieldsv���i
�¸H������N�,��1�۟���`�㿸f�u����    ���t��u����+���g8�n���b��7�@8����M        n�f�u�>t�g8�\�
���b�W���`
US�=�0(forUU�L�^�±1|s�-a.e.q�µt�2�I�UXR
���:9�²(2.10)艍9�The$[follo���winglemmacontainssomeusefulpropGertiesofthecharacteristicfunctionsofthelevel9�setsUUofa�BqV9�function�u�.�=5)������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;M;N����������������;P;Q;R;S;T;U����;W;X;Y����;[;\;]����;_;`���������;g;h;i;j����������������;k;l;m;n;o;p;q����������������;s;t;v;w;x����;y;z;{;|;};~;;;;;���������������������;;���������;����;����������������;;����;;;����;������������;����;;;;;;����;������������;�;�;�;�;�;������;�;�;�;���������;�������������������������;�������������������������;�;������;������;�;�;�;�;������������������������������������������;�;�;������������������;�;�;������;�;�;�;���������;������;���������������������;���������;�������������������������;�������������������������;�������������;������������������;���������������������������������������������;�������������������������;�;������������������;������;�;�;�;�;������;�;�;�<<<<<<����������������������������<����������������<<<<<<<<���������������������<���������������������<���������<������������������������<������������������������< <&<'����<*<+����<-<.</<0����<2<3����<5������������<6����<8<9���������<A����������������<B<C<D<E<F����<G����������������<I<J<K<L<M<N<O<P<Q���������<T<U����<W<X<Y����<[<\<]<^<_<`<a<b<c<d<e<f<g<h����<j<k<l<m<n<o<p������������<q���������<t������������<u���������<x<y����<{<|���������������������������������<����������������<���������������������������������������������<������������������������<<����������������<<<<<����������������<<<<<����<<<<<<<����<<����<������<�<�<������<�<�<������<�<�<�<�<������<������<�<�<�<�<�<�<�<���������<������<�������������<������<���������<�<���������<������<���������<�<������<�<�<�<�<������<�<������<�<������������������<�<�<������<�<�<�<�<������<�<������������������������������<�<�<������������������<�<�<�<�<�<�<�<�<������<�<������=������������======����=����������������=
===
====����==����=����== ����="=#=$=%=&='=(����=*������������=+���������=.����������������=/���������������������=0=6=7=9����������������=;=<===>=?����=A=B=C����=E=F=G=H=I=J=K=L���������=O����=P������������������������=S������������=T=U������������������������=W=]=^����=a=b=c=d����=f������������=g����������������������������=i=j=k=l=m=n������������=o=p����������������=r=s=t����=v=w=x����=z={=|=}=~����==����=====����=========���������=���������������������=���������=����������������������������=����������������������������=������������==������������������������������=�=�=������������������=�=�=������=������=�=�=�=���������=���������������������=���������=������������������=���������������������=�=�������������������������=�������������������������=������������������=�=�=������=�=������=�=�=������=�=�������������=�=������=�=�=������������������������������=�������������������������=�������������������������=������������������=���������������������>>����������������������������>>>���������������������>���������������������>���������>����������������>���������������������>> >!>#����������������>%>&>'>(����>*>+����>->.>/����>1������������>2����>4>5>6������������>7����>8>9����>;><>=>>����������������������������������������������������>_>_>_������������������������������������������������>e����>h����>j���������������������������������>r����������������������������������������>r���������������������������������������������>u������������������������>u������������������������>}����>~����>������������������������>����>����>����>����������������>���������������������>������������������������������������������������>����������������������������>����>����>����>���������������������>>���������������������>����������������>���������������������>�>�>�������������������������>�������������������������������������>���������������������>������>������������������������������>������>������>������>������>���������������������>���������>���������>�������������������������>�������������������������������������������������>�>�>������������������>�>�>�>���������>���������>�>������>�>�>�>�>�������������>�>�>�>�>�>�>�>������>�>�>�>�>�>�>������>�>�>�???����???���������?������������������������?������������������������?????���������������������?����?����?????����?����?? ?!����������������?#?$?%����������������?'?(?)?*?+?,?-?.?/���������?2������������������������?4������������������������?7?8?9���������?<������������������������?>������������������������?A?B?C����������������������������?F?G?H?I?J���������������������?O������������������������������������?O���������������������?O����?O������������������������?Q?R?S?T?U����������������?W?X?Y����?[?\?]���������?b������������������������������������?b���������������������?b����?b������������?d?e?f?g?h���������������������?k���������������������?n���������?p������������������������?r������������������������?v?w?x?y?z����������������?|?}?~???����?����????����?������������?????���������?������������������������?������������������������?����?����?����???����?����?�?�?�?������������������������������������������������������?�?�?���������������������������������������������?������?������?������������������������������?������������������������������������������?���������������������������������������������?������������������������������������������?������������������������������?������������������������������?������?������?������?�������������������������?�������������������������?������?������?�?�������������������������?������@����@����@����������������@���������������������@���������@������������������������@������������������������@����@����@
����@���������������������@@���������������������@����������������@����@����������������������������@@@���������������������������������������������@$����@'����@)����������������������������@1����������������������������������������@1���������������������������������������������@4����������������������������������������@6����������������������������@;����������������������������@<����@=����@>����@A������������������������@C������������������������@D����@E����@F@G������������������������@M����@N����@O����@P���������@Q���������@R���������@S������������������������@U������������������������@V����@W����@X����@Y���������������������@\@]���������������������@^����������������@_���������@c������������������������������������@r@r@r@r@r����������������������������������������������������@t@u@v@w@x���������������������@{���������������������������������������������@}����������������������������@����������������������������@����@����@���������������������@������������������������@������������������������@����@����@@����������������@���������@����@���������������������@���������@������������������������@������������������������@����@������@������@���������������������@������@���������������������@���������������������@�@������@�������������������������@�������������������������@������@������@������@���������@���������@������@������@������������������@�@�@���������������������@���������������������������������������������@������������������������������@������������������������������@������@������@���������@�������������������������@�������������������������@������@������@�@������@�@������@�@�@�@�@�@������@�@�@�@�@�@�@�@�@�@�@������������������@������������������������������@�@�@������������������@�@�@������AA����AAA����A������������A  A
A������������AA
����AA���������A������������������������A������������������������AAAAA����AAA ����A"A#A$A%A&A'A(A)A*A+����A-A.����A0A<A<A<A=����A?A@AA����ACADAEAFAGAIAJAK����AMAN����APAQARASATAU����AWAXAY���������A`AaAbAc����������������AeAfAg���������AjAk���������An���������AqArAs����������������������������AuAv����������������AxAyAzA{A|A}A~����A������������A���������A������������������������A������������������������A����������������������������AA���������������������A���������AA������A���������A������������������A���������������������A�A�A�A�A�A�A�A�A������������������A�������������A������A�A�A�A�A�A������A������A���������A�������������������������������������A�������������������������A���������A�A�A������A�A�A�A�A�A�A�A�A�A������A�A�A������A�A�A������A�A�A�A������A�A�A�A������A�A���������A�������������A���������A�A�A�A������A�A�A�A������A�A�A������A�A������������������������������A�A�B������������BBBBB����������������BBBB
BBB
B����������������BBB����BBBBBBBB����BBBB B!����������������B#B$B%B&B'B(B)����B+������������B,���������B/����������������������������B1������������������������B2����B4����������������B6B7����B9B:B;B<B=����B?B@������������BABB����BD����BE����BF����BHBIBJBK����BMBNBOBPBQBR����������������BTBUBV���������B]B^B_B`����������������Bb����������������BcBdBe���������������������������������Bi������������������������������������Bk������������������������Bl���������������������BoBpBq����BsBtBu���������B|B}B~BBB����������������B����������������BBB���������B������������������������������������B������������������������B����B����BBBBBB����B������������B������������������������������������������������B�������������������������������������B�������������������������B���������������������B���������B�������������������������������������B�������������������������B������������������������������������������������������������������������������������������������������������������B�������������������������B�������������������������B������������������B�������������������������������������B�������������������������B���������B���������B�������������������������������������B�������������B���������������������B���������B�������������������������������������B�������������������������B������������������B���������������������������������B�B�B�B�B�B�B������������������B������������������B�������������B������B�B�B�B�B�B������B������B���������������������������������������������������������������������������������B�������������������������C���������CCC���������CC
CCCC����������������C����������������CCC���������CC���������C������������C����C!����C#C$C&C'C(C)����C+����C,����������������������������������������������������������������������������������������������������������������C=����������������������������C?���������������������C@���������CA������������������������������������CC������������������������CD���������������������CE���������CF������������������������������������CH������������������������CI����������������CL���������������������������������CQCR���������������������CU���������������������CX���������CZ����������������C[���������������������C\CbCcCe����������������CgChCiCj����ClCmCn����CpCqCrCs���������������������Cv���������Cy������������C~����������������C~���������������������CCC����CCC���������C����C���������C���������C����C���������������������C����C����C����C���������C����C����C���������C�C������C�C������C�C�C�C�C������C�������������C�C�C�C�C�C�C�C������C�C������C�C������������������C�C�C�C�C�������������C������C�C�C������������������������������������������C�C�C������������������C�C�C�C�C�������������C�C�C�C������C������C�C�C�C�C�C������C�C������C�C�C���������C������������������C������C�C������C������C������������������C�C�C�C�C�C�D���������������������DDDDD����DD
DD����D0����D0���������������������D0����D0D0D0D0D0D0D0����D0D0D0D0����D0D0D0����D0D0D0D0D0D0D0D1D2����������������������������������������������������E>E>E>E>E>E>E>����������������E>E>E>����E>E>E>E>E>E>E>����E>E>E>E>������������E>E>E>E>���������������������������������EN����������������EOEP���������������������EX���������E[����E\����E^E_����EaEb����EcEd����EfEgEhEiEjEk����EmEn������������Es����������������Es���������������������������������������������Es������������������������EvEwEx����EzE{E|���������E���������������������E���������E����������������E���������������������EEE����E����������������EEEEEE����������������������������EEEE���������������������E���������������������E����������������E���������E���������E�E������E���������������������E������E������E���������E�E������E������E�E�E������������������E�E������E�E�E�E�E�E�E�E�E������������������E�E�E�E�������������������������������������������������������������������������E�������������������������������������������������E������������������������������E������������������F����F����F������������F����F���������������������F����������������������������F
������������������������������������������������F����F����������������������������������������F
F����������������������������F#F$������������������������F*���������������������������������������������F4������������������������������������F6������������������������F8����F9F:F;����F=FB����FH������������������������FL����FO����FR������������������������������������FR���������������������FR����FR������������������������FU������������������������������������FdFdFdFdFd����������������������������������������������������FtFu����������������FwFxFyFzF{F|F}F~FF������������F����F����FFFFFF����FF����FFFF����FFF����FF�F�F�F������F�F�F�F�F�F������F�F�F�F�������������������������������������������������������������F�������������������������������������������������F������������������������������F������������������F������F������F�������������F������F���������������������F������������������������������F�������������������������������������������������F������G����������������������������������������F�F������������������������������GG������������������������G���������������������������������������������G����G������������������������G������������������������G����G����G ����G"������������������������G$������������������������G'������������������������G+����G.����G1������������������������������������G1���������������������G1����G1����������������������������������������G@G@G@G@G@����������������������������������������GBGCGDGE����������������G_����G_G_���������������������G_����G_G_G_G_G_G_G_����G_G_G_G_G_G_G`Ga����������������GcGdGeGfGgGh����GjGkGl����GnGo����GqGGGG����GGG����GGGGG����GGGG���������G���������������������G���������������������G������G�G�G������G�G������G�G�G�G�G������G�G�G�G�G�G�������������������������������������������������H������������������������������������H���������������������H����H����������������������������������������������������H���������������������������������H����H������������������������H������������������������H���������������������H ���������H$���������H&������������������������H(������������������������H+����������������H4������������������������������������H;���������������������������������HC����������������������������������������HE������������������������HG����HH����������������HI����HJ����HL����������������HP���������HV���������������������������������H\���������������������������������������������������������Hb���������������������������������Hc����������������Hd���������������������H}H~H���������������������H������������������������H������������������������HHHHH���������������������H���������H������������H����������������H������������������������H����������������������������������������H�H�H�H�H�H������������������������������������������������������H�H�H������������������H�H�H�H�H�������������H�H�H�H������H�H�H�H�H������H�H�H������H�H�H�H�H������H�H�H�H������H�H�H�H�H�H������H�H�H�H�������������H�H�H�H�H�H������H�H������H�H�H������H������H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H������H�H�H�H�H�H�H�H�H������II����III����III����I
I����������������������������������������I
III����������������II����I���������I����������������I���������������������IIIII I!I"I#���������I&����I(������������������������������������������������K�������������)�iF�H�����`H��·��9���Lemma�T2.2J���L�}'etx
�
�beanopensubsetof�I�UXR�I����N��andlet�u��:
�!�I�UXRa�ax
measurablefunction.NThen,}for�9�al�l�µt��2�I�UXR�;�and�x�2�
[6"�u������(�x�)��>th�=�UX�)�����ٔ�f�u>t�g���(�x�)�=1�;hu����+���(�x�)�<th�=�)�����ٔ�f�u>t�g���(�x�)�=0���;9�²(2.11)�9���Mor�}'eover,��if�E�u�L�2�BqV8�²(
)�,for�E�L�^�±1|s�-a.e.�t�2�I�UXR���ther�}'eexistsaBorelset�N�´t�¸�L�
�,��with�H���^�´N�,��1�۲(�N�´tV�)=0�,���9�such�thatforany�x��2�
8�¸n�N�´t=�the�fol�lowingr�}'elationsholdX�?�u������(�x�)��>th�(�UX)�����ٔ�f�u>t�g���(�x�)�=1�;hu����+���(�x�)�<th�()�����ٔ�f�u>t�g���(�x�)�=0���;9�²(2.12)�6���u������(�x�)���t��u����+���(�x�)h�(�UX)�����ٔ�f�u>t�g���(�x�)�=�<$�K1�Kwfe      (֍2�'�:9�²(2.13)�`9���ProQ�of.
[�Let�!usx�x���2�
�!andassumethat�u�^�·��(�x�)���>t�.+Then,Tb���y�!thedenition(2.2),itfollo���ws���9�thate�DG���b��t�f�u�1<s�g�;���x���b�~�=0forall�t<s<u�^�·��(�x�).{�Inparticular,.�w���ehavethat�DG���b��t�f�u�1>t�g�;���x���b�~�=1,
v9�i.e.���DG���b��t�f��:�f�u>t�g7�=�¶1�g�;���x���b�w
�=1eMwhic���h,iKinturn,isequiv�q�alen���tto�������f�u>t�g���(�x�)�¶=1.�°F�*�romeMthisequalitywe�@9�immediately�sgetthat��^���ٔ�f�u>t�g���(�x�)�I=1,�since�s�������f�u>t�g�(�x�)������+�ꍷf�u>t�g�(�x�)��1�sforall�x�I�2�
.=!The�sother
�΍9�implicationUUin(2.11)ispro���vedUUinthesamew���ay�*�.���9�T�*�o!pro���ve(2.12)and(2.13),���noticethatthereexistsan�L�^�±1|s�-nullset�T*�¸��I�UXR�usuchthatif�t��62�T�²thelev���el���9�set�ܸf�u�>t�g�isofnitepGerimeterin
and(2.10)holds.5�Letusx�t�2�I�UXR�E�n��Tc�.5�Since�f�u>t�g�isasetof���9�niteapGerimeter,d�denotingb���y�f�uۓ>t�g�^�±1�=�2�i�theasetofpoin���ts�xۓ�2�I�UXR)ϟ����N!�suchathat�DG���b��t�f�uۓ>t�g�;���x���b�p�²=1�=�2,
a9�w���e&have(see[2,/�Th.b33.61])�H���^�´N�,��1�۟���b�2�@8�^�´Mn�f�u�>t�g�g\�
�nf�u�>t�g�^�±1�=�2ʟ��b��9�=0.b3Therefore,/�fromthisequation���9�andUUfrom(2.10),setting���q�µN�´tLn�=��f�u����    ��t��u����+���g8�nf�u�>t�g����1�=�29�²w���eUUhavethat�H���^�´N�,��1�۲(�N�´tV�)�=0.���9�Let���x�bGeapoin���tin
�o�n�N�´tV�,�'such��that��^���ٔ�f�u>t�g���(�x�)�=1.6F�*�rom��thisequalitywehavethat�������f�u>t�g���(�x�)�=1,�э9�whic���hCisequiv�q�alenttotheequality�DG���b��t�f�u�>t�g�;���x���b�\o�=1,F�henceC�DG���b��f�u<t�g�;���x���b�\o�=0Cand,F�b���y(2.2),this���9�last���equalit���yyields�u�^�·��(�x�)���t�.SOHowever,5if���u�^�·��(�x�)wereequalto�t�,5then�x�wouldtriviallysatisfythe���9�inequalit���y�F�u�^�·��(�x�)���t��u�^�±+���(�x�)andthisisimpGossiblesince�D���b��t�f�u�>t�g�;���x���b�\o�=1,�hence�x�62f�u>t�g�^�±1�=�2�²,���9�andb���yassumption�x)�¸62�N�´tV�.#Therefore�u�^�·��(�x�)�>t�andb���y(2.11)weobtaintherstequiv�q�alencein���9�(2.12).q�TheUUsecondequiv�q�alenceispro���vedUUsimilarly�*�.���9�If_�µu�^�·��(�x�).��t��u�^�±+���(�x�)and�u�62�N�´tV�,�gthennecessarily�x�2f�u>t�g�^�±1�=�2�²,�ghencew���eeasilygetthat���9�µ�^���ٔ�f�u>t�g���(�x�)�=1�=�2.q�TheUUoppGositeimplicationfollo���wstriviallyfrom(2.12).l���ff���͞33ff���ff33ff)U9�NextUUresultiscon���tainedin[2,Lemma2.35].9���Lemma�T2.3J���L�}'et���beapositiveRadonmeasureinanopenset�
����I�UXRA)����N���and�let� �´j)�:���
�!�[0�;���1�]�,���9�µjY�¸2��I�UXN8���,�b�}'eBorelfunctions.Thenq΍��R�c�Z6       y�
��sup>7���S�j���n� �´j�T�d��=sup�S���^�UT��X�7vC�jg�2�J)qş�c�Z.��� y�A�j:꘵ �´j�d���^�
G�; Ϩ�9���wher�}'e%thesupremumrangesamongal�lnitesets�J��²I�UXN���andallfamilies�f�A�´j6�¸g�´jg�2�I�¢_Nn�ofp�}'airwise���9�disjoint�op�}'ensetswithcompactclosurein�
�.9�²TheUUfollo���winglemmaisaclassicalapproximationresultduetoDeGiorgi(see[9]).�=6P@������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������I<I<I<I<I<����������������I<I<I<����������������������������IL����������������IMIN���������������������IV���������IY����IZ����I\I]����I_I`����IaIb����IdIeIfIgIhIi����IkIl������������Iq����������������Iq���������������������������������������������Iq������������������������ItIuIv����IxIyIz���������I}���������������������I~����I���������I������������I����������������I������������������������I����������������II����IIII����IIII����IIIII�I�I�I�I������������������I�I�I�I�I������������������I�I�I������������������������������������������I�I������������������I���������������������I���������������������I�������������I������������������I�������������������������I�I�I���������I���������I���������I�������������������������������������������������I�������������������������J������������������������J����J����J���������������������J����J���������������������J���������������������J���������J ����������������������������J+������������������������J(����J(J(J(����J(����������������������������J,����J-����J.����������������J/����J0����J1����������������J:������������������������J<������������������������J=����J>����J?���������J@����JA���������������������JT���������JT���������J\����������������������������Jg������������������������Jd����JdJdJd����Jd����������������������������Jh����Ji����Jj����������������Jk����Jl���������������������Jo������������������������������������J~J~J~J~J~J~���������������������������������������������������������JJJ����������������J����JJJJJ����������������JJ���������������������J���������������������J���������J����������������J���������������������JJJ����J����J�J�J���������������������J�������������������������J�������������������������J�J�J�J�J���������������������J���������J�������������J������������������J�������������������������J�J�J�J������������������J������J�J�J�J�J�J������J������J�J�J������J�J������J�J�J���������J�������������������������J�������������������������J���������������������J������J������������������J�J�J�J���������J�������������������������������������J���������������������J������J�������������������������J������J�������������������������J�������������������������J������J������J������J������������������������������J�J�J�J������������������KKKK����KKK����K
KK���������K���������������������K���������K���������������������K!���������K#������������������������K%������������������������K(K)K*����������������K,K-K.����������������K/K0K1K2K3K4����K6����������������K7K8K9K:K;K<K=K>����K@KAKBKC������������������������������������������������Kr������������������������Kt������������������������Ku����Kv����Kw���������������������Kx����Ky���������������������K����������������K���������K����������������������������K�������������������������K������K�K�K������K������������������������������K������K������K������������������K������K������K������������������K�������������������������K�������������������������K������K������K���������K������K���������������������K������K���������K������������������������������K�������������������������K������K�K�K������K������������������������������K������K������K������������������K������K���������������������K�������������������������������������K�K�K�K�K�K������������������������������������������������������������������L)������������������������L+������������������������L,����L-����L.���������������������L2���������L4���������L8���������L:������������������������L<������������������������L=����L>����L?���������������������LV����������������LV���������L_����������������������������Lj������������������������Lg����LgLgLg����Lg����������������������������Lk����Ll����Lm����������������Ln������������������������������������������������Ly���������������������������������������������������������������������������������������������Ly������������������������������������L|������������������������������������LLLLLL���������������������������������������������������������L�L�L�������������L�L�L���������������������L�L�L������������������L�L������L�L���������L���������������������L���������L������������������L�L�L������L�L�L�L�L�L������L�L�L�L���������L�������������������������L�������������������������L������L������L���������������������L������L������L������������������L�L�L�L�L������������������L�������������L������������������L�L�L������L�L�MMMMMMM����MMMMMM����MM����M!M"M#M$M%������������M&M'����������������������������M)M*M+M,���������������������M/���������������������������������������������M5���������������������������������M7����M8����������������M9����M:����M<����M=���������������������M>���������������������������������MD���������������������������������ME����MF����MIMJMK����MMMNMO���������MR����MS����MT����MU����MV������������������������MX������������������������MY����MZ����M[M]����������������M_M`����MbMcMdMeMfMgMhMiMjMkMl����������������Mn������������Mo����MqMr����Ms����Mt����MvMwMxMy���������M|���������������������������������������������M���������������������������������M����M����������������M����M����M����M���������������������M���������������������������������M���������������������������������M����MM����������������������������������������MMMM���������������������M���������������������������������������������M���������������������������������M������M�������������������������M������M�M�M������M�������������������������M������������������M������M������M���������������������M���������������������������������M���������������������������������M������M������������������M�M�M�M�������������M�M������������������M�M������M�M�M�M�M������M�M������M�M�M�M�M������������������M�M�M�M�������������M������M�M���������M������������������������������M�������������������������M������M�M�M������M������������������������������M������M������M������������������M������M�M������������������M������������������M�M�M������������������NNNN����NNNNN        N
N����N����N����N����������������������������������������NNNNNNNNNNN����������������NNN����N!N"N#N$���������N*����������������������������N5������������������������N2����N2N2N2����N2����������������������������N6����N7����N8����������������N9����N:N<����������������N>N?N@NANB���������������������NH����������������������������NS������������������������NP����NPNPNP����NP����������������NT����NU����NV���������NZ���������N^����������������������������Ni����������������������������Nf����NfNfNf����Nf����������������Nj����Nk����Nl���������Np���������Nq����������������NtNuNv����NxNyNz���������N}���������������������N���������NN����������������NNN����������������NNNNN����������������������������������������NNNNNNNNNNN����������������N�N������N�N�N�N�N�N������N�N������N�N�N�������������N������N�N������������������N�N������N�N�N������N�N�N�N������N�������������N������N������������������N������������������������������N������������������N������������������N�N�N�������������N������N������N�N�N�N�N�N������OOO����OOOOOOO����������������OOOOO O!����O#O$O%O&����O(O)O*O+O,����O.O/O0O1O2O3����O5O6���������O<������������������������O<������������������������O>O?����O@OAOB����ODOEOF���������OJ���������������������OQ������������������������OV����������������OV���������������������OZO[O\����O]����O_O`OaOb����OdOe���������Oh���������������������OlOo���������Oq���������������������OtOuOv����OxOyOz������������O{O|����������������������������O~OO���������������������O����O����������������O����O����O���������OO����OO����OOOOO����O������������OOOOOOO�O������O�O������O������O�O�O������O�O�O�O�O�O������O�O�O�O�O�O������������������O�O�O������O�O������O�O���������O���������O�������������O������������������O�������������������������O���������������������O���������������������O������������������O�O�O�O�O���������P����P����P����P����P���������PP����P����P P
P����P
P����������������������������PPPPP����������������P������������PPPPPPPPP ����������������P"P#P$P%P&P'P(P)����P+������������P,���������P0����P1����������������P2����P3����P5������������������������P8����P9����P:������������������������P>P?P@����������������PBPCPD����PFPG����PI����PJPKPL������������PMPN���������PQ���������������������PT������������PW����������������PW���������������������������������������������PW������������������������PZP[P\����P]����������������P_P`PaPb���������Pe���������������������������������������������Pk���������������������������������Pq����Pq����������������Pq����Pq����Pq����Pr���������������������Ps���������������������������������Py���������������������������������Pz����P{����P|����P}P����������������������������������������P������������P����������������PP����P����P����PPPP����P������P���������������������P������������������P�P�P������������������P�P�P�P�P�P���������P�������������������������������������P���������������������P������P������������������������������������������������������P���������������������������������P������������������������������������������P�������������������������P������P������������������P������P������P������������������P���������P���������P������P������P������������������P������P������P�������������������������P������P������P������������������������������������������������������P���������������������������������P������P�P������������������P�P�P�P�P�P�P�P�P�P������������������P�P�P�P������P�P�P�Q����QQQQQQQQ����������������������������QQQ
����������������QQQQ����QQ'Q'Q'Q'Q(Q)����Q+Q,Q-Q.Q/Q0Q1������������������������������������Q6������������������������Q8������������������������Q9���������������������Q;����Q<������������������������Q>������������������������QB���������QD���������QH���������QJ������������������������QL������������������������QN����������������QW����Q]����Q]����������������Q]����Q]����Q]������������������������Q`����Qa����Qb������������������������������������������������Qj������������Qk����������������QmQn����Qo����Qp����QrQsQtQu���������Qz������������������������������������Qz���������������������Qz����Qz������������������������Q{����Q|������������������������Q~������������������������Q����������������Q����QQ����������������������������QQQ���������������������Q���������Q������������Q����Q����Q������Q�Q�Q�������������Q������Q�Q������Q���������������������Q���������Q�������������������������Q�������������������������Q������������������Q�Q�Q������Q������������������Q�Q�Q�Q���������Q������������������������������Q�������������������������Q������Q�Q�Q������Q������������������������������Q������Q������Q������������������Q������Q�Q������������������Q������������������Q�Q�Q������������������Q�Q�Q�Q������Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q������Q������Q������Q������Q�Q������Q������Q������Q�Q�Q�R���������R����������������������������R������������������������R����RRR����R����������������������������R����R����R����������������R����RR����������������������������������������RRRR������������R����������������R R!����R#R$R%R&R'����������������R(R)R*R+����R,����R.R/����R1R2R3����R5R6R7R8R9R:R;����R<���������R?���������������������������������������������RE���������������������������������RK����RK����������������RK����RK����RK����RL���������������������RM���������������������������������RS���������������������������������RT����RURW����������������RYRZR[R\R]���������������������R`���������������������������������������������Rf���������������������Rh����Ri����Rj����Rk����Rm����Rn���������������������Ro���������������������������������Ru���������������������������������Rv����Rw����������������RzR{R|R}����������������R������������R����RRRRRR����RRRR����������������������������RRRR������������������R�R�R�R�R�R�R�������������R������R�R�R�R�R�R���������R�������������������������R�������������������������R������R������R���������������������R���������R������R������������������R�R������R������R�R������R�R�R������������������R�R���������������������R�������������������������R�������������������������R������R������R������R������R�R�R������R�R�R�R�R������R�R���������R������R������������������R�R�R�R���������R���������R������R�R�R�R������R�R�R�R�R�R�R�SS����SSSSSSS����SSS
����������������������������SSSSSSSSS������������S���������������������S������������������������S������������������������S����S����S ���������������������S$���������S&���������S*���������S,������������������������S.������������������������S/����S0����S1����S4S5S6����S8S9S:S;����S=S>����S@SASB������������SCSDSESFSGSHSI����SKSLSMSNSO���������SS������������������������������������SY���������������������������������S_����S_����������������S_����S_����S_����S`���������������������Sa���������������������������������Sg���������������������������������Sh����SiSk����������������SmSnSoSpSq���������St���������SxS{����S����S����S����S����S������������������������S����S����S������������������������S����������������������������SSS����������������S������������S����SSSSSSSSSS���������S���������������������S�S���������S�������������������������S�������������������������S������������������S�S�S�S�S�S�S�S�S���������������������S�������������������������S�������������������������S������S������S���������S������S���������S�S�S������S�������������S������S�S�S�S�S�S������S������S������S�S�S�S�S�S������S�S�S������S�S�S�S������S�S�S�S�S������������������S�S�S�S�S�S������S�T����������������������������TTTTTTT����������������TTT����������������TTTT T!T"����T$T%T&T'T(����������������T)T*T+T,T-T.����T1T2����T4T5T6������������T7����T8T9����������������T;T<T=T>T?T@TATBTC����������������TD����������������������������TTTU���������������������TX������������������������TZ������������������������T[����T\����T]���������������������Ta���������Tc���������Tg���������Ti������������������������Tk������������������������Tl����Tm����Tn����TqTrTs���������Tv���������TzT}���������T������������������������T������������������������T����������������TTTT����TTTTTTTTTTT���������T���������T����T������T������T������T������T�������������������������T������T������T�������������������������T������������������T�T�T�T�T������T�������������T������T�T�T�T�T�T������T�T�T������T�T�T�T���������������������������������T������������������������������T�������������������������T������T�T�T������T������������������������������T������T������T������������������T������T������T������T�T������������������T�T�T������������������T�T�T�������������T�T�T�T�T������T�T�T�T�T�T�T�T�T�T�T������T�T�T�T�T�������������T�T������T�T�UUUUUUU����UUU
U����U
U U U U U!U"���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������UBUCUDUE����������������UGUHUIUJUKUL����UNUO����UQURUS������������UTUUUVUWUXUY����U[U\����Us����Us���������������������Us����UsUsUsUsUs����UsUsUsUsUsUt����������������������������������������������������UUUUU����������������UUU����������������������������U������������������U�U���������������������U���������U������U������U������U������U�U�U�U�U�U�U������U������U�U�U�U������U�U������U�U�U�U������U������U�U������U�U������U�U������U�U������U�U�U���������U���������������������U�������������U������������������U���������������������������������������������U�������������������������U�U�U������������������U�U�U���������U�������������������������U�������������������������U������������������U���������V���������VV����V���������������������V����V
����V���������������������������������V���������������������V������������������������V����������������V������������������������V����������������V����������������V����VVV ����V!V"����V$V%V&V'V(V)V*V+V,V-����������������V/V0V1V2���������������������������������������������������������������������V:������������������������������������������������VA������������������������������������VEVEVE������������������������������������������������VG���������������������������������VK������������������������VM������������������������VPVS���������������������VT������������VYVYVY���������������������������������������������������������Va���������������������������������������������������������Ve������������������������������������������������Vh����������������Vk����Vm������������������������������������������������Vr���������������������������������������������Vu������������������������Vw����������������������������V|������������������������V~������������VV���������������������������������V���������������������������������V���������������������������������������������VVVV����������������V����������������VVV����VVV�V������V�V�V�V������V������V�V�V�V�V������V�V�V�V�V������V�V������������������V������V�V�V�V�V������V�V�V�V���������V���������������������V�������������������������V������������������V�������������������������V�V�V������V�V������V������V�V�V�V�V�V�V�V���������V������V�������������������������V�������������������������V�������������������������V������������������V���������V������������������V������������������������������V�V������V������������������V�WWWWWW����������������������������WWW       W
WWW
W����������������WW����������������WW����WWWW����WWWW����W����W W!W"����W#W$W%����W'W(W)W*W+W,����W-����W/W0���������W8����W:���������������������������������������������WVWWWX����������������WZW[W\W]W^������������W_W`WaWb����WdWeWfWgWh����WjWk����Wm����WoWpWqWrWsWtWuWvWw����WyWzW{W|W}����W~WWWWWWW����WWWWWW����WWW����WW����WW����WWWWWW����WW�W�W������W������W���������������������W�W�W�������������������������������������������������ZD������������P@T�X� H�����`H��·��9���Lemma�T2.4J���L�}'et���f�beaBorelfunctionfrom�
#��I�UXRZ��I�UXR�_����Nh�into�[0�;���+�1�)�,.satisfying(1.4).�sThen,�9�ther�}'e���existsasequence�f�ѵ�´k됸gV�C�^�����1l�0    0�(I�UXR  N<����N���)�,��with��´kA��0�and��īR��<�I�¢_R�ݟ>�N�µ�´k됲(�u�²)���d�Ҳ=1�suchthat,��ifweset���9�for�²(�x;�¨t�)��2�
8�¸�I�UXR�,�i��=0�;���1�;:::���;N�,vK`F>�a�±0�;kH�(�x;�¨t�)c�=+�c�Z�J       y�I�¢_R�
s�ԳN����f�(�x;�¨t;u�²)(7(�NO�²+8�1)��´k됲(��)+�hr��´k됲(��)�;�¨�i�)`#�d o;�anea�´i;k
�²(�x;�¨t�)c�=+�����c�Z8�      y�I�¢_R�ԳN$(�f�(�x;�¨t;u�²)�<$��@33wfe轟        (֍@8x�´iO#��´k됲(��)���d o;F9���and,�for�(�x;�¨t;u�²)��2�
8�¸�I�UXR
����I�UXR����N���,"^\�µg�´k됲(�x;�¨t;u�²)�=�a�±0�;kH�(�x;�¨t�)8�+������N��«X�t���i�=1UQ�a�´i;k
�²(�x;t�)��´id�;KA9���then,�foral�l�(�x;�¨t;u�²)��2�
8�¸�I�UXR
����I�UXR����N���,�wehaveYҍ�K�µf�(�x;�¨t;u�²)�=supx⍑n�k*�²max'��f�g�´k됲(�x;�¨t;�)�;�0�g��:"Q9���Remark�T2.5M���W�*�e�Kremarkthatforifforall(�x;�¨u�²)r�¸2�
}��I�UXR�������N�²the�Kfunction�f�(�x;��;u�²)iscon���tinuous,���9�then���forev���ery�x��2�
���thecoGecients�a�´i;k
�²(�x;����)arecontinuousfunctions.ASIf�f�(��;�¨t;u�²)���isa�BqV�ݲfunction
k9�forHev���ery(�t;�¨u�²)��2�I�UXR���ײI�UXR�����N�andH(1.7)holds,.�thenforevery�k9�2��I�UXN
Z�,.�µi��=0�;�¨:::���;�¨N�,andH�t�2�I�UXR:the���9�coGecien���ts*B�a�´i;k
�²(��;�¨t�)givenbythepreviouslemmaare�BqVc&�functions.��Moreover,_}itcanbGeeasily���9�c���heckedUUthatforev���erycompact�H���I�UXRT,thereexists�L���L�(�H���)UUsuchthatvK�W���c�Z���      y�H�&6�j�D�´x�µa�´k됲(��;�¨t�)�j�(
)�dt���L�¨;9�²(2.14)�K9�whereUU�a�´k���=�(�a�±1�;kH�;�¨:::���;�¨a�´NQ�;k
��). ���9���3&�Pros3ofs�9�²W�*�eUUstartthissectionwithasimpletec���hnicallemma.�Yҍ�9���Lemma�T3.1J���L�}'et_�µb�(�x;�¨t�)8�:
�ø�I�UXRS�¸!8�²I�UXR��be_�alocal�lyboundedBorelfunction.���Then,thefunction���9�µb�^�·�²(�x;�¨t�)���isalsoalo�}'cal�ly�boundedBorelfunctionin�
8�¸�I�UXR�.���9���ProQ�of.q�²LetUUuspro���veUUthatthefunctiondenedb���y���V�µb����+���(�x;�¨t�)�:=inf�Ƹf�s�2�I�UXR�l:m�DG�(�f�y"�²:�b�(�y[�;t�)�>s�g�;�x�)=0�g�forUUall(�x;t�)��2�
8�¸�I�UXR���9�is,�aBorelfunction.�>Thentheresultwillfollo���watonce,b�since�b�^�·�²(�x;�¨t�).<=(�b�^�±+���(�x;t�)Ȉ+�b�^�·��(�x;t�))�=�2,���9�whereUU�b�^�·��,denedsimilarlyto�b�^�±+���,isalsoaBorelfunction.���9�First,UUnoticethatforall�a��2�I�UXR˝�J    �f�(�x;�¨t�)�:m�b����+���(�x;t�)�<a�g�=h؟��«[�7�s�i*�´<a;s�i�2t�HTY+ff�Q)'�f�(�x;t�):m�DG�(�f�y"�²:�b�(�y[�;t�)�>s�´iTL�g�;�x�)=0�g�:)z9�²Th���us,�KitMisenoughtoshowthatforevery�s1�¸2�I�UXR>theMset�f�(�x;�¨t�)1�:��DG�(�f�y�:�b�(�y[�;t�)�>s�g�;�x�)=0�gM�isa���9�BorelUUsetor,equiv�q�alen���tly�*�,thattheset<n�¸f�(�x;�¨t�)�:mlimsupI
\�´�!�0�<$+w\�1'��wfe�@(֍��r�N5/�L����N�²(�f�y"�²:�b�(�y[�;t�)�>s�g8�\�B�´�$�(�x�))=0�g�=�7�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������W�W�W�W�W������������������W�W�W������������������������������W������������������W�W���������������������W���������������������W������W������W������W�W�W������W�W������W�W�W�W�W�W�W�W������W�W������W�W���������W���������������������W�������������X����������������X������������������������X������������X
����������������X
���������������������������������������������X
������������������������X
XXX���������XX����X���������������������X����X����X����X����������������X!X"X#X$X%X&X'X(X)X*����X,X7X7X7X8X9����������������X;X<X=X>X?����������������������������������������XAXBXCXD����������������XE����������������XGXHXIXJXKXL����XN����XPXQ����XRXSXTXUXV����XW����������������X^������������������������Xh������������������������Xh����������������������������Xr������������������������X}���������������������X���������������������������������������������X����������������������������X����������������������������X����X����������������X���������������������������������������������X������������������������X����X����������������XXXX���������X�������������������������X�������������������������X���������X���������X�X�X������������������������������X�������������������������������������������������X������������������X���������������������������������������������X������������������������������X�������������������������X�������������������������X������X������������������X���������������������X�X���������������������X������X���������X�X�X�X������X�X�X�X�X������������������X�X������X�X������X�X�X������������������������������X�X�X���������������������X������X�X������������������Y����Y���������������������Y���������Y
���������������������Y������������Y����������������Y������������������������Y���������Y���������������������Y����Y����Y���������������������Y����Y���������Y$����Y$����Y$���������������������Y%����Y&���������������������Y(����������������������������������������������������Y<������������������������Y?����Y@YA������������������������YC����YDYE����������������YF����YG������������������������������������YP������������������������������������������������������������Y[����������������������������������������������������Yb����������������Yb������������������������������������������������Yb���������������������������������Yh���������������������Yi����YjYk����������������YlYm����Yp����������������Yq������������Yv���������������������Yz����Y{���������������������Y|����������������Y}Y~����Y������������������������Y������������������������Y����Y���������Y����Y���������YY����Y�������������������������Y�������������������������Y������Y���������Y������Y������������������Y���������Y���������Y���������������������������������Y�Y������������������Y���������������������������������������������������������Y�������������������������Y�Y�Y�������������������������Y������Y�Y������������������Y������Y�������������������������������������Y������������������������������������������Y������������������������������������������Y�������������������������������������������������Y������������������Y���������������������������������������������Y������������������������������Y���������������������Y������Y�Y������������������Y�Y������Y������������������Z����������������������������������������������������Z
���������������������������������������������������������������������������������������������Z����������������Z������������������������Z����������������������������������������Z"������������������������Z"������������������������Z'����Z*���������Z+���������������������Z.Z1����������������Z4����������������������������������������������������ZFZGZHZI����������������ZKZLZM���������ZP����ZQZR����������������ZSZT����ZW����������������ZX���������������������Z[���������Za���������������������Zg������������Zl����������������Zl������������������������Zr������������Zu����������������Zu���������������������������������������������Zu������������������������Zw������������������������������������������������Z|������������������������Z~������������������������Z����ZZ����������������ZZ����Z����������������Z����������������Z���������Z������������������������Z����ZZ������������������������Z����ZZ����������������Z����Z����������������Z���������������������������������������������Z������������������������������������������������������Z������������������������������������������������Z����ZZ����������������������������Z�������������������������Z�Z�Z�������������������������Z������Z�Z������Z������Z������Z�������������������������Z�������������������������Z���������������������������������������������Z�Z�Z�Z�Z������������������Z�Z�Z������Z�Z������������������Z���������Z������Z�Z������������������Z�Z������Z������������������Z���������������������Z���������Z���������������������Z�������������Z������������������Z�������������������������Z�������������Z������������������Z���������������������������������������������Z�������������������������Z������������������Z�Z������Z�Z�Z�Z�������������������������������������������������Z���������������������Z������Z�[����������������[[����[����������������[����������������[������������[[[���������������������������������������������[
������������������������������������[[[����������������������������[����[������������������������[������������������������[����[[����������������[[����[ ���������[!����["���������[#����[%���������������������[(����������������������������������������������������[[[[[[[[[[[[����������������[[[[[[����������������������������[g����������������[h����������������[j[k[l[m[n[o����[q[r[s[t����[v[w[x����[z[{����[~[[����[[[����[����[[����������������[����������������[���������������������[���������[���������������������[������������[������������������[���������������������������������������������[�������������������������[�[�[������������������[�[�[�[�[�[�[�[���������[���������������������[������[�[���������[������[������[������������������[������[�[������[�[�[�������������[�[�[������[�[�[�[�[������������������������������[�[�[�[������������������[�[�[������[�[�������������[�[�[���������[���������������������[���������[������������������[�[�[������[�[�������������[�[�[�[�[�[������[�[���������[�������������������������\\\������������������������\����\\���������������������\����\
����\\\����\\\����\\\����\\\\����\\ \!\"\#\$\%\&\'\(����������������\*\+���������\.���������������������\/����\4����\5����������������\6\7����\:����������������\;����������������\>\?����\A���������\D����������������\E���������������������\H\I\J\K\L\M\N\O����������������������������������������\Q\R\S����������������\U\V������������\W\X\Y����\\����\]\^����������������\a����������������\b���������������������\e������������\j����������������\j������������������������\p������������������������\s����������������\s���������������������������������������������\s������������������������\v\w\x����������������\z\\\\����\\\\\\����������������\\\\����\\\����\\����\\\���������\���������������������\�������������������������\������������������\���������������������\���������������������\���������������������\������\������\���������������������\������\������\���������������������\������������������\���������������������\������\�\�\���������������������\���������\�������������\������������������\���������������������\�\�\������������������������������\�\�������������\�\�\�\�\�\�������������\�\���������������������\�������������������������\�\�\�������������������������\������\������\������������������\������\������\�\�\������\�\������\������\������\�\�\������\�\�\�\�]]]]����]]]]]����]]]
���������]����������������]���������������������]]]]]]]]]]����������������]] ]!]"]#����]$����]%]&]'����������������])]*����],]-].����]0������������]1����]3]4]5]6]7]8����������������������������]:������������];]<]=����]>����]?]@����������������]B]C]D]E����]G]H]I����]K]L������������]M]N]O����]Q]R]S]T]U]V]W���������]Z���������������������]a������������������������]f����������������]f���������������������]h����]j]k]l]m]n����]p]q]r]s]t]u���������]x���������������������]~���������]����]����]���������������������]����������������]]]����]����]]]]������������������������������������������������������������������������]�������������������������������������������������]������������������������������]������]�������������������������]�������������������������]�������������������������]�������������������������]������]������]������������������]������]������]������]�]�]���������]�]���������������������]���������]������������������]�������������������������������������]�]�]�]�]�]������������������������������������������������������]�]�]�]�]���������������������]�������������������������]�������������������������]������������������]������]�������������������������]������]�^������������������������^���������������������^����^����^���������������������^����������������^������������������������^������������^
^������������������������^^������������������������������������������������^7���������������������^7^7^7������������^7^7^7���������������������������������������������^9����������������^:����������������^<^=^>^?^@����^B^C^D^E����^G^H^I^J^K^L^M����^O^P^Q^R����^T����^V^W^X^Y^Z^[����^]^^^_������������^`^a^b^c^d^e����^g^h^i^j^k^l����������������������������������������������������^^^^^����������������^^^����������������������������^����������������^^���������������������^����^����^^����������������^����^����������������^����^���������������������^�������������^������������������^�������������������������^�������������������������^������������������^�������������������������^������^������������������^������^�^������^������^�^������������������^�^������^������^�^�^�^�^������^������^�^�^������^�^������^�^�^�^�^�^�^�^�^������������������^�^�^�^�^������������������^�^�^������^�^�^�^�^�^�^�^���������������������������������^�������������������������^�������������������������^������^�^������������������^������^���������������������^�^������^�^�^�^������_����__����������������_����__����������������__����������������_
����___
__����_����___����__����________����_!_"���������_*���������������������_0������������_5����������������_5������������������������_7���������������������������������_J_K_L������������_M_N_O���������������������_R_S_T����������������_V_W����_Y_Z_[������������_\����_]����������������___`_a_b����_d_e_f����_h_i_j_k_l_m_n_o����_q_r_t_u_v_w����_y������������_z���������������������������������_������������������������_������������������������_����__����������������_����_����������������_�_�������������_�_�_������������������������������_������_���������_�������������_������������������_���������������������_���������������������_������������������_������_������_���������������������_���������_������_������_�������������_������_������_���������_������_������_������_���������_������_������_������_������_�������������������������_�_�_������������������_�_�_������_������_�_������_������_���������������������_���������_���������������������`������������`����������������`������������������������������������`
`����������������`����`````����````````` ����������������`"`#`$`%����`'`(`)����`+`,`-`.`/`0����`2`3`4`5����`7`8`9`:`;������������`<����`>`?����`A`B`C`D`E����������������`G`H`I`J`K���������`N������������������������`P������������������������`Q����`R`S����������������`T����`U����������������`V����`W����`X������������������������`Z������������������������`[����`\`]����`^����`_����������������``���������`a������������������������`c������������������������`d����`e`f����`g����`h`i����`j����`k`m����������������������������`o`p`q`r`s���������������������`v������������������������`x������������������������`z����`|`}````����`````````����``���������`������������������������`������������������������`����``����````����`������`�`�`�`�`������`�`�`�`�`�`�`�`�`������������������������������`�`�`�`�`�`������������������`�`�`�`�`�`������`�`�`�`������`�`�`������`�`�`���������`���������������������`�������������`������������������`�������������������������������������������������`������`������`�`������������������`������`������������������`���������������������`�������������������������`�������������������������`������`�`������`������`���������a����a����a���������a������������������������������������������������a������������������������������������a������������������������a������������������������aaaa������������������������a������������a���������������������������������������������������������������������������������������������a����������������������������������������a"����a#����a$a%����a&����a'����a(���������������������a+����������������a,����a.����a/���������������������a0���������a1����a2����a3������������a4����a5����a6���������a7����a8������������������������a:������������������������a<����a=���������a>����a?����a@����aA����aC����aD���������������������������������������������aIaJ������������aKaLaM����������������aOaP����������������aRaS����aUaVaWaXaYaZ����a\a]����a_a`aa����ab����adaeafag����aiajak����aman����aoapaq���������at���������������������aw������������a|����������������a|���������������������aaa����������������aaa���������a����a����aa����������������a����a����������������a���������������������a����������������a����a����a���������������������a���������a����a����a������������a����a����a���������a����a������a������a���������a������a������a������a������a���������������������a�a������a������������������������������a�a�a�a�a������������������a�a�a������a�a�a������a�a�a�a�a������������������a�a�a�a�������������a�a�a������������������a������a�a�a�a������a�a�a������a�a�a���������������������������������������������a������a������a�a������������������a������a������������������a�������������������������a�a�a������a�a�a���������������������������������������������a������a������b������������������������������������������������������������b������������������������������������������������������������������������������������������������b
������������������������b����������������������������������������b������������������������b������������������������b����b����b���������������������b���������b����b����b������������b����b����b���������b ����b!����b#����������������b'���������b)������������������������b)������������������������b1����b2����b3b4����b5����b6����b8����������������������������������������������������c�������������bԋm� H�����`H��·��9�²isUUaBorelset.q�T�*�othisaim,itisenoughtopro���veUUthatthefunction'jV9(�x;�¨t�)��2�
8�¸�I�UXRN4�!6�infs3��i�2�I�¢_N"�=�sup    H�´�2t�HTY+ff�Q#�;�0�<<�P33�133#&feg ���^�i�<$GR�1Cq�wfe�@   (֍��r�NQfY�L����N�²(�f�y"�²:��b�(�y[�;t�)�>s�g8�\�B�´�$�(�x�))!9�is>OaBorelfunction,B�andthisfollo���wsatoncefromthefactthatforanyBorelset�A���I�UXRT����N�ٸ
�²I�UXR_the�9�function���w�(�x;�¨t�)��2�I�UXRT����N��8�²I�UXRN4�!L����N�²(�A�´t�6�\8�µB�´�$�(�x�))�;9�²whereӥ�A�´tLn�=��f�y"�²:(�y[�;�¨t�)�2�A�g�,�isaBorelfunction.FInordertopro���vethislastpropGerty�*�,�letusconsider���9�theUUfamilyofsubsetsofI�UXR�������Nr"�8�²I�UXR�qdenedb���y�(Z�F�Q�=��f�AUP�isUUaBorelsubsetofZUSI�UXRc�������Nmr �8�²I�UXRN4:h(�x;�¨t�)�!L����N�²(�A�´t�6�\8�µB�´�$�(�x�))UPisUUaBorelfunctionTw�g�:���9�²The� follo���wingpropGertiesof�F�B�areeasilycheched:
0(i)if�A�´i�U�isanincreasingsequenceofsetsin�F�9�,�9�thenC�[�´iTL�A�´iP�bGelongsto�F�9�;I(ii)if�A�±1|s�,F�µA�±2�w�and�A�±1�¸[=�A�±2�bGelongto�F�9�,F�then�A�±1�¸\=�A�±2C�2�F�;I(iii)if�A��2F�,���9�then���I�UXR
;����Nn�n�µA�~�2F�9�.8F�*�rom���allthesepropGertiesandfromthefactthat�F���con���tainsanyproGductof���9�a�BorelsubsetofI�UXR�����N哲andofaBorelsubsetofI�UXR�,�using[2,Remark1.9],w���egetthat�F�coincides���9�withUUthefamilyofBorelsetsinI�UXR�������Nr"�8�²I�UXR.q�Hence,theresultfollo���ws.~r �ff���͞33ff���ff33ff9���Remark�T3.2M���W�*�e�&claimthat,���if�u�isameasurable,loGcallyboundedfunctionfrom
toI�UXR2b,���thenthe���9�function�%(�x;�¨t�):
��I�UXRjm�!��^���b�
�u;t{�(�x�)isBorel.�6Infactnoticethatsince�u�^�·h       �isaBorelfunction,�the
9���9�function_�(�x;�¨t�)�k:
?�¸�I�UXRfu�!�k��±
c3�u���.;�;t:�²(�x�)isBoreltoGo.�Hence,bTLemma3.1yieldsthat(�x;�¨t�)�!��^���b�
c3�u���.;�;t:�²(�x�)���9�is�Borel."Therefore,�since��±
c3�u���.;�;t:�²(�x�).=��±
�u;t{�(�x�)�for�L�^�´N�²-a.e.�x�andforall�t�,�theclaimfollo���wsfrom���9�theUUfactthat,forall�x��2�
UUandall�t��2�I�UXRT,UU��^���b�
�u;t{�(�x�)=��^���b�
c3�u���.;�;t:�²(�x�).�͍9���ProQ�of:ofTheorem1.1.t���-�

cmcsc10�Step�©1.�Let�usxatestfunction�h�2�C�^�����1l03�(
)�andlet
�^�·0ݡ��UXh�
bGean���9�opGenNysetsuc���hthatsupp����
�^�·0�9�.o~DenoteNyby�%�´"G4�(�x�)�=�"�^�·�N
ղ�%�(�x="�),O�whereNy�"<�dist(
�^�·0�9�;�¨@8�
),aNystandard���9�radiallyUUsymmetricmollieranddene@���b�´"G4�(�x;�¨t�)�:=�c�ZUR  y�
5Q�%�´"�(�x8�¸�y[�²)���b�(�y;t�)�dy�  9�²forUUall�x��2�
�^�·0#�andUU�t�2�I�UXRT.���9�Giv���enUUafunction�u��2�BqV8�²(
)8�¸\�L�^���1v�l
`oc
&�(
)UUwedene8�H�µv�´"G4�(�x�)�:=�c�Z���i��u�(�x�)@UR0u       �b�´"�(�x;�¨t�)UU�dt#I9�²and���sincethefunction(�x;�¨t�)�!�c�Z���i
�t@N�0k�b�´"G4�(�x;s�)�ds=���is���loGcallyLipsc���hitzin
E��I�UXRׁ,�using���ageneralchain�      9�rule�]form���uladuetoAmbrosioandDalMaso(see[1]and[2,�)Th.E3.101]),w���e�]havethat�v�´"L�2��BqV8�²(
�^�·0�9�)���9�andc$
F�c�Z)y�
1{�r��(�x�)�v�´"G4�(�x�)�dxs�N�=t��c�Z:    y�

n9��(�x�)���dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0I�r�´x�µb�´"G4�(�x;t�)�dt8�¸8�c�Zr y�

�q��(�x�)�b�´"�(�x;g�e�ud&�(�x�))�r�u�(�x�)�dx9�²(3.1)���t��c�Z:y�

n9��(�x�)�b�´"G4�(�x;g�e���ud&�(�x�))�dDG����cY�µu8�¸8�c�Zry�J�u���(�x�)���`�hc�cZ���ic�u���r�+���(�x�)@�ƴu��꯱(�x�)&
i�b�´"�(�x;�¨t�)�dt���`�i���´u:b�(�x�)�dH�������N�,��1�#�(�x�)�:�=�8b�<"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������b=b>����������������b@����bBbCbDbEbF����bHbIbJbK����������������bM����������������bN����bPbQbRbS����bUbVbWbX����bZb[����b]b^����b`babbbcbdbe����bgbh����bjbkbl������������bm����bn����������������bpbqbrbs����bubvbw����bybzb{b|b}b~bb����������������������������������������b����bb����������������b����b���������������������b���������b���������������������b������������b����������������b������������������������b������������������������������b�b�b���������������������������������������������b������b���������b������������������b������������������������������������������b�b�b���������������������������������������������b������b���������������������������������������������������������������������������������������������b���������������������������������b������b������b�b�b������������������������������������������������������b�������������������������������������������������������������������������������������������������������������b������������������������������������������������������������������������������b�������������������������������������������������������������������������������������������������b�������������������������b������������������������������������������b�������������������������b�������������������������b������b������b���������������������b���������������������b������b������b�������������b������b������b���������b������b������b������������������c���������c������������������������c������������������������c����c
����cc����������������������������������������cc����������������c����ccccc����ccc c!c"c#c$c%c&����������������c(c)c*����c,c-c.c/����c1c2c3c4c5������������c6c7����c9c:����c<c=c>c?����cAcBcCcD����cFcGcH����cJcKcLcM����cOcPcQcR����cTcUcV����cXcY����cZ����c\c]c^c_c`����cbcccd���������cg���������������������cn������������ct����������������ct���������������������������������������������cv������������������������c|������������������������c����������������c���������������������ccc����������������������������������������cccccccc���������������������������������c����cc����������������c����c���������������������c������������c������������������c���������������������������������������������c�������������������������c�������������������������c������������������c�������������������������c������c�������������������������c�������������������������c������c�������������������������c�������������������������c���������������������c�������������������������c�������������������������c������c������c�c���������c���������������������������������������������c�c�c�c�c���������������������c�������������������������c�������������������������c���������������������c������c���������������������c������c������c�������������c������������������c������c���������c���������c������c������c������������������c�c������c������c�dddd����dddddd
ddd
����������������dd����ddddd����dd����ddd������������d����d����d!d"d#d$����d&d'd(d)����d+d,d-d.������������d/d0d1����d2����������������d3����������������d5d6d7����d9d:����d<d=d>d?d@dAdBdC����������������������������dEdFdG����������������dIdJdKdLdMdN����dPdQ����dSdTdUdVdWdXdY����d[d\���������dc����������������dc���������������������������������������������de������������������������dk������������������������dq����������������dq���������������������dtdudwdxdydz����d|������������d}���������������������������������������������d���������������������d���������������������d����d������������������������dd����������������d����d�d�d�d�d������d�d�d�d�d�d������d�d�������������������������d������������������d���������������������������������������������d�������������������������d�������������������������d������������������d���������������������d������������������d������d�d������������������d������d���������d������d�������������������������d�������������������������d������d�������������������������d�������������������������d���������������������d�������������������������d�������������������������d������d������d�d���������������������ee����������������e����eee
ee����eeeeeeee������������������������e���������e���������������������������������e$e%e&����������������e(e)e*e+e,������������e-e.e/e0����e2e3e4e5������������e6e7e8e9e:e;����e=e>���������eF���������������������eIeJeK����eMeNeOePeQeR����eT����eUeVeW����eXeYeZe[����������������e]e^e_����eaeb���������ee������������������������eg������������������������ejek����emen����epeqereseteuevewexey����e{e|e}e~eeee����ee����eeee����ee���������e���������������������e����������������������������������������eeee���������������������e�������������������������e�������������������������e�������������������������e�������������������������e�������������e�e�e�e�e�e������e�e���������e���������������������e������������������e�e�e�e������e�e���������e�������������������������e�������������������������e���������������������e�������������������������e�������������������������e�e�e���������e�������������������������e�������������������������e���������������������e�������������������������e�������������e�������������e�e�e�e�e������e�e���������e���������������������e������������������e�e�e�e���������f������������������������f������������������������f���������������������f������������������������f
������������������������f
����������������f���������f����������������fffff����ff ���������f#���������������������f&����f'���������f0����������������������������f2f3f4f5���������������������f<����������������f<���������������������������������������������f>������������������������fG���������������������fI���������������������fL����fM���������������������fV����������������fX����������������fYfZf[����������������f]f^f_����fafbfcfdfe����fgfhfifj������������fkflfmfnfofp����frfsft����fvfwfxfy����f{f|f}����ffff����ffff���������f���������������������fff������������fffff����ff����f������f�f�f�������������f�f�f�f������f�f������������������������������f������������������f�f�f�f�f������f�f�f�f�f�f������f�f���������f������������������f���������������������������������������������f�������������������������f�f�f������f�f������f������f�f�f�f�f������f�f�f�f�f�f������f�f���������f������������������f���������������������f������������������f�f�f�f�f������g����g���������������������g����gggggg����ggggg����g
������������g����g
gg����gggg���������g���������������������gg g!g"g#g$g%g&g'����������������������������g)g*g+g,����������������g.g/g0����g2g3g4g5g6g7����g9g:����g<g=g>g?g@����gBgCgDgE����gGgH���������gO����������������gO���������������������������������������������gQ������������������������gW������������������������g\����������������g\���������������������g^����������������g`gagbgcgdge����ggghgi����gkglgmgngogp����grgsgtgugv������������gwgxgy���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������gggggg����������������ggg����������������������������g������������������g������������������g�g�g�g�g������g�g�g�g�g������������������g�g���������g���������g�g������g������g�g�g�g�g�g�g�g�g�g�g������g�g�������������g�g�g�g�g������g������g�g�g�g�g�g������g�g�g�g�g�g�g�g������g�g�g�g������g������g�g���������g������������������g���������������������g������������������g�g�hh����hhh����������������������������hhhh
hhh
h����������������h����hh����������������h����h����������������h����h���������������������h"������������h'����������������h'������������������������h*���������������������h.����������������������������h?����������������������������h6������������������������h9h:h;���������������������������������h@����hA����hB����hEhF����hHhIhJhKhLhM����������������hOhP����hRhShThU����hWhXhYhZh[h\����h^h_h`ha����hchdhehfhg���������hj������������������������hl������������������������hohp����hr����hthuhvhwhx����hzh{h|h}h~hhhh����������������hhh����������������������������������������hhhhhhhh����������������h����hh����������������h����h����������������h����h���������������������h�������������h������������������h�������������������������h���������������������h�������������������������h�������������������������h�������������������������h�������������������������h�h������������������������������h������h������h������h�h������h�h�h�h�h������h�h�������������h�h������������������h�h�h�h�h�h������������������h�h�h�h�h������h�h�h������h�h�h�h�h�h������h�h�h�h������h������h�i����������������i����i���������i���������i����������������������������i����������������������������i������������������������i������������������������i������������������������ii���������������������������������i����i����i����������������������������������������i"i#����������������i%i&i'i(i)i*����������������i,i-i.i/i0i1i2i3i4i5����������������i7i8i9i:i;���������iA������������������������iI������������������������iL������������������������iN������������������������iOiP����������������������������iS����iT����iU����������������iV���������iZ������������������������ib������������������������ieifig����������������������������ij����ik����il����������������ioipiq���������iw������������������������iw������������������������iyizi{i|i}���������i���������iii����iii����iii���������i����i����������������iii����iiiii����iii�i�i�������������i�i������i�i�i�i������������������������������i�i�i������������������i�i�i�i������i�i�i�i�i������i�i�i������i�i�i���������i���������������������i���������i������������������i�i�i������i�i�i���������i���������������������i�������������i������������������i���������������������i���������������������i������������������������������i������������������������������i�������������������������i�i�i���������������������������������i������i������i������i���������j����������������������������j����������������������������j������������������������j������������������������j������������������������jj���������������������������������j����j����jj���������������������������������������������jFjGjH������������jIjJ����������������jLjM����jOjPjQjRjSjTjU����jcjcjcjd����������������������������������������������������������������������������������������������������������������jnjojpjq����������������jsjt���������jyjzj{����������������j}j~����jj����j����jjjj����jjjjjjjj���������j���������������������j���������j���������������������������������������������j������������������������j������������������������������j�j�j������������������j�j�j������j�j�j������j�������������������������j�������������������������j������������������j���������������������j������j�������������j������j�j������������������������������j�j�������������j�j������������������j�j�j������j�j�j�������������j������j�j�j�j������j�j�j�j������j���������������������k���������k������������������������k������������������������k����������������kkkkkk����������������k����k���������k ������������������������k ������������������������k/����k0����k1����������������k2���������k6������������������������k9����k:������������������������k>����k?����k@kAkE����kFkH����������������kJkKkLkMkN���������������������kT����kU����kWkXkYkZk\kb������������������������kb������������������������kl����������������kt���������������������kzk{k}����k����������������kkkkkkkk����������������������������kkkkkkkk����������������kkkkkkkkk����kkk�k�k�k�k�k������k�k�k������k�k�k�k�k�������������������������������������������������k�������������������������k�������������������������k������k�k������������������k������k������������������k�k������������������������������k���������������������������������������������k�������������������������k�������������������������k�������������k������k���������������������k���������k������������������k���������������������k������k������k������k������k������k���������k�k���������������������������������������������lll����������������lll���������l���������������������l���������l������������������������l������������������������lll ���������������������l#���������l&������������l+����������������l+���������������������l-����������������������������l=l>l?������������l@lA����������������lC����lElFlGlHlIlJlKlL���������lO���������������������lT���������lV����������������lW���������������������lXl^l_���������������������lc���������le����������������������������le����������������������������lq������������lrls����������������������������lul{l|����������������l����l����lllll������������������������������������������������l������������������������l������������������������l����l����l����������������l�l������������������������������l�������������������������������������������������l������l������l������l������������������������������������������l������������������������������l�������������������������l�������������l������l�l������������������l������l���������������������l�l���������������������������������������������l�l�l������������������l�l�l�l�l������l�l�l������l�l�l�l�l�l�l�l������l������l�l������������������l������l���������������������l���������������������������������l�������������������������������������������������m���������������������������������������������m����������������������������m������������������������m
������������������������m����mm
����m����m����mm������������������������mm����������������mm������������mmmmm����m m!m"m#m$������������m%m&m'm(����m*m+����m3���������������������m9������������m>����������������m>���������������������m@����������������mBmCmDmEmF����������������mH����mJmKmLmMmNmOmP����mR����mSmTmUmV����������������������������������������mXmYmZm[����������������m]m^m_m`������������mambmc����memfmg����mimj����mlmm����mnmompmqmrms����mumvmw����mymzm{����m}m~mm����mmmm����m����m���������������������m����mmm����m������m���������m������������������m�m�m������������������m�m�m�m�m�m�m�m������m�������������m������������������m�m������m������m������m�m�m�m���������m�������������������������m�������������������������m���������������������m������������������m���������������������m�m�������������������������m�������������������������m������������������������������m�m�m�������������������������������������������������������������������������n���������������������������������������������n������������������������n!����n%����n&����n'����n(����n)������������������������n)������������������������n8����n9����n:����n;n<������������������������������������nE����������������������������������������nN������������������������nT���������������������������������������������nT������������������������na����nb����nc����nd���������������������ngnh������������������������nn������������������������������������������������ns����nt����nu����nv����������������������������������������np����������������������������n������������������������n������������������������n������������������������n������������������������n����nn����n����n����nn���������������������n����������������������������������������n���������������������������������������������n�������������������������n������n������n������n������n�������������������������n�������������n������n�n�������������������������������������������������n������������������������������n������n������n�n������n������n������n������n������n������n�n������������������������������������������n�n�n�n�n���������������������������������������������������������������������n�������������������������n���������������������������������������������n�������������������������o����o����o
����o����o������������������������o������������������������o����oo ������������������������������������������������������������o-����������������������������o/����o0����o1o2����o3o4������������������������������������o4������������������������o9���������������������o;����������������������������������������oA���������������������������������������������oD������������������������oD����������������������������oO����oP����oQ����oR���������������������������������oW������������������������������������������������o\������������������������������������������������oh������������������������oj������������������������ok����ol����om���������������������������������������������o_������������������������oa������������������������ob����oc����od����������������������������oq������������������������oq������������o����oo����������������o����o����oo���������������������������������o���������������������������������o������������������������o������������������������o����o����o����oo����������������������������������������o���������������������o����o������������������������o����o����o���������o�������������������������������������������������������������q�������������<"d$~� H�����`H��·��9�²LetUUusno���wprovethat�Nc\�¸limX�p�"�!�0��+o�8�c�Zury�
}hq�r��(�x�)���dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0I�b�´"G4�(�x;t�)�dt��=�c�ZUR   y�
5Q�r��(�x�)���dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0�b�(�x;t�)�dt:9�²(3.2)E9�T�*�oUUthisaim,itisenoughtoobserv���ethat�������9�«�9����9����9�H�cZ       y�
R�¸r�dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0X�µb�´"G4�(�x;�¨t�)�dtО��c�Z^؟ y�

/�r�dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0�b�(�x;�¨t�)�dt���������m��kr��k�·1x��c�Z���ix�´M@��M|�µdt�c�Z:      y�
��0x��±
�u;t{�(�x�)�j�b�´"G4�(�x;t�)О��b�(�x;�¨t�)�j�dx;jԍ�9�²where  �
�´u;t�²=��f�x�2�
:�µt�bGelongstothesegmen���tofendpoin���ts0and�u�(�x�)�g�and�M!�isapositiv���e�9�n���umbGer���suchthat�k�u�k�·1?�µ<�M�.B�Then,���recallingthatfor�L�^�±1|s�-a.e.�t��2�I�UXR�>thefunctions�b�´"G4�(��;�¨t�)con���verge���9�inUU�L�^�±1|s�(
�^�·0�9�)to�b�(��;�¨t�),(3.2)follo���wsfromLebGesgue'sdominatedconvergencetheorem.���9���Step�2.��W�*�eUUshallpro���veUUseparatelythecon���vergenceUUofthediuseandjumpparts,i.e.Ec���lim`�"�!�0��+w_�c�Z|    y�
~��(�x�)�b�´"G4�(�x;g�e���ud&�(�x�))���d�x䍑g�e�Du�(�x�)�=�c�ZUR        y�
5Q��(�x�)�b�����²(�x;g�e�ud&�(�x�))�d�x䍑g�e�Du�(�x�)9�(3.3)E9�and\3�dlim07�"�!�0��+GA��c�ZL�        y�J�uT���(�x�)���`�hc�cZ���ic�u�+���(�x�)@�ƴu�꯱(�x�)$_�µb�´"G4�(�x;�¨t�)�dt���`�i���´u:b�(�x�)�dH�������N�,��1i;�=��c�ZUR        y�J�uRD��(�x�)���`�hc�cZ���ic�u�+���(�x�)@�ƴu�꯱(�x�)�b�����²(�x;t�)�dt���`�i���´u:b�(�x�)�dH�������N�,��1L�µ:9�²(3.4)jՍ�9�UsingUUthecoareaform���ula(2.9),weget��6Qݟ�c�Z;�       y�
C���(�x�)�b�´"G4�(�x;g�e���ud&�(�x�))���d�x䍑g�e�Duo�=�ە�c�Z�iϟ     y�C�u�a"��(�x�)�b�´"G4�(�x;g�e���ud&�(�x�))�<$�x䍑�«e�P�D�u33wfe�L  (֍�j�DGu�j<�²(�x�)���d�j�DGu�j9�²(3.5)�Uo=�ە�c�Z���i�ۖ�+�1@�i�1�x�dt�c�Z: y�f�u��꯷�t��u��+���g2�a��(�x�)�b�´"G4�(�x;g�e���ud&�(�x�))��´C�u
�S�(�x�)�<$�x䍑�«e�P�D�u33wfe�L    (֍�j�DGu�j<�²(�x�)���d�H������N�,��1`Uo�=�ە�c�Z���i�ۖ�+�1@�i�1�x�dt�c�Z:     y�f�0�e�u�b�=�t�g\�C�u+�,��(�x�)�b�´"G4�(�x;�¨t�)�<$�x䍑�«e�P�D�u33wfe�L       (֍�j�DGu�j<�²(�x�)�d�H������N�,��1�:�W9�²No���w,���recall�kthatfor�L�^�±1|s�-a.e.�tc�¸2�I�UXRethe�kfunction�b�(��;�¨t�)c�¸2�BqV8�²(
),hence�k(seePropGositions^3.64(b)���9�andUU3.69(b)in[2])�����}�b�´"G4�(�x;�¨t�)��!�b�����²(�x;t�)(forUU�H���^�´N�,��1�۲-a.e.q�µx�2�
9�(3.6)���9�asUU�"��!�0.q�Therefore,for�L�^�±1|s�-a.e.�t��2�I�UXRT,w���ehaven���0D�lim-/X_�"�!�0@����c�ZFM͟  y�f�0�e�u�b�=�t�g\�C�ul����(�x�)�b�´"G4�(�x;�¨t�)�<$�x䍑�«e�P�D�u33wfe�L       (֍�j�DGu�j<�²(�x�)�d�H������N�,��1��=��c�ZUR  y�f�0�e�u�b�=�t�g\�C�u.�D��(�x�)�b����㎲(�x;t�)�<$�x䍑�«e�P�D�u33wfe�L (֍�j�DGu�j�(�x�)�d�H������N�,��1�:U~9�²F�*�rom�>thisequation,�vusingtheloGcalboundednessof�b�andthefactthat,�vb���ythecoareaformula(2.9),��z�ϟ�c�Z���i�б+�1@D   1���H������N�,��1�(y�f\�«e�u�=��t�g8�\�C�´u:b�)U/�dt��=�j�DGu�j�(�C�´u:b�)�<�1���;jԍ�9�²w���eUUcanpasstothelimitin(3.5)andbytheLebGesgue'sdominatedconvergencetheoremweget��>�]lim->�´"�!�0Ok�c�ZT�M    y�
\�L��(�x�)�b�´"G4�(�x;g�e���ud&�(�x�))���d�x䍑g�e�Du��=�c�Z���i��+�1@UR1c�dt�c�Z:     y�f�0�e�u�b�=�t�g\�C�u+�,��(�x�)�b�����²(�x;t�)�<$�x䍑�«e�P�D�u33wfe�L (֍�j�DGu�j<�²(�x�)�d�H������N�,��1�:�=�9s,e@S����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������o�o�o������������������o�o������o�o�������������o������o�o�o������o������o������o�o�o�o������������������������������������������������������o�o�o���������������������������������������������p����p����p
������������������������p����������������������������������������������������p���������������������������������������������p������������������������p%����p)����p*����p+����p,���������������������p/p0������������������������p7������������������������������������������������p<����p@����pA����pB����������������������������������������p9����������������������������pF������������������������pF������������������������pU����pVpW����pX����pY���������p\p]���������������������p^����������������������������pc���������������������������������������������pc������������������������pr����pv����pw����px����py���������������������p|p}������������������������p������������������������������������������������p����p����p����p����������������������������������������p����������������p����p����pp����p����p���������pp����p������������������������������������p�p�p�p�p������������������������������������������������������p������������������p������������������p�p�p�p������p�p�p�p������p�p������p�p������p�p�p�p�p�p������p�p������p�p�p�p�p�p�������������p������p�p�p�p������������������������������������������������������������������p������������������������������������������p������������������������������p������������������������������p������������������������������������������������������p���������������������������������������������p�������������������������p������p�p�p�������������������������q������������������������������������������������q����q����q
����q����������������������������������������q����������������������������q������������������������q������������������������q#����q$q%����������������q&����q'����q(q)���������������������q*����������������������������q/���������������������������������������������q/������������������������q@����qDqFqG������������������������qN������������������������������������������������qS����qT����qU����qV����������������������������������������qP����������������q\����q]����q^q_����������������q`����qa����qbqc������������������������������������qj������������������������qj������������qj������������qj������������������������������������qn����������������qqqw����q{����q}������������������������q���������������������������������������������q������������������������������������������������q���������������������������������������������q����q����������������������������qq������������������������q���������������������������������������������q�������������������������q������������������������������q�������������������������q�������������������������q�q�q������������������������������q������q������q������q������q�������������������������q�������������������������q������q�q������q������q���������������������q���������q������q������q�q������������������q������q������q������q�q������q���������������������������������������������q�q�q�q�q������������������q�������������������������q�q�q�������������������������r���������������������r����r���������r���������r����r
���������������������r���������r������������rrrrrr����rr����rrr ����r"r#r$r%r&r'������������r(����r*r+����r-r.r/r0����r1r2r3������������r4r5����r8����r;r<r=���������r@����rA����rB����rC����rE���������rHrIrJ���������rN���������������������rQrR����rT����rV����rWrXrYrZr[r\������������r]����������������������������������������r_������������r`ra����rb������������rcrd����������������rfrgrh����ri����rkrlrmrn���������rr����rs����ru������������������������r|������������������������r}����������������r~���������������������r����������������rrrrr����������������rrrrrrrrr����rrrr����rrr���������r������������������������r������������������������r�r�r�r�r���������r���������������������r�������������r������������������r���������������������r�r�r������r�r�r�r�r�r�r�r�r���������r�������������������������r�������������������������r������r������r������������������r������r������r�r�r�������������r������r�r�r�r������������������������������r�r���������������������r�������������������������r�������������������������r�r�������������������������r�������������������������r������r�r���������r������r������r������r������������������s����ss����sssss����sssss������������ss����ssss����ss s!������������s"s#s$s%s&s's(����s*s+s,s-s.s/s0s1s2����s4s5s6����s7����s8s9s:s;s<s=s>����s@sAsBsCsDsEsFsG���������������������������������s\s]s^s_����������������sasb���������������������sg����������������sh����������������sjskslsmsn����spsqsr������������ss����st����������������svswsxsyszs{s|s}s~s����sss����sss������������s����sssssss����������������ss����sss����ssssss����s�s�s������s�s�s�s������s�s�s�s�s�s������s�s�s�s������������������������������������������������������s�s�s���������������������������������������������s������s������s�������������������������s������������������������������������������������������s���������������������������������������������s������������������������������t����t����t����t����t������������������������t������������������������t����tt������������������������������������������������������������t'����������������������������t)����t*����t+t,���������������������t/����������������������������������������������������������������������������t<������������������������t>����t?����t@����tA����������������tB����������������������������tG���������������������������������������������tG������������������������tT����tU����tV����tW����tX������������������������tZ������������������������t[����t\t]������������������������������������������������tj����������������������������tl����tm����tnto���������tr����������������������������������������������������������������������������t������������������������t����t����t����t���������������������������������ttttt����������������������������������������������������ttt����������������������������������������������������t�t�t���������������������������������������������t������t������t�������������������������t������������������������������������������������������t���������������������������������������������t�������������������������t������������������������������t������t������t������t���������������������������������t�������������������������������������������������t�������������������������������������������������u������������������������u
������������������������u����u����u���������������������������������������������u������������������������u������������������������u����u����u����������������������������u������������������������u������������������������u%����u&u'����������������u(����u)����u*u+���������������������������������u0���������������������������������u3������������������������u5������������������������u6����u7����u8����u9u:����������������������������������������u=���������������������u>����u?������������������������uB����������������������������������������uF���������������������������������������������uI������������������������uI����������������������������uV����uW����uX����uY���������������������������������u^������������������������������������������������uc������������������������������������������������uo������������������������uq������������������������ur����us����ut���������������������������������������������uf������������������������uh������������������������ui����uj����uk����������������uz������������������������u|������������������������u}����u~u����u����u����uu���������������������������������u���������������������������������u������������������������u������������������������u����u����u����uu����������������������������������������u���������������������u����u������������������������u������������������������������������u�u�u�u�u������������������������������������������������������u�u�u�u�u������������������u�u�u������u�u�u�u�u�u������u�u�u�u�������������u�u�u������u�u�u�u�u�u������u������u������u�u�u�������������������������������������������������������������������������v���������������������������������������������v������������������������v����v����v����v����v������������������������v������������������������v����vv ������������������������������������������������������������v-����������������������������v/����v0����v1v2���������������������v5����������������������������������������������������������������������������vB������������������������vD����������������������������������������vM������������������������������������������������������������vY������������������������������������������������v\������������������������v^���������������������������������ve����vf����vg����vh����vi������������������������vn������������������������vo����vpvq������������������������������������������������������������v~����������������������������v����v����vv����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������v�������������������������v�������������������������������������������������������������������������������������������������v������v�������������v������v�������������������������������������v������v������v���������������������v������v������v�������������v������v������������������������������������������v�v�v�v�v������������������������������������������������������������������v�������������������������������������������������������������v������������������������������������������������������v������v���������������������������������������������v�v���������������������������������v�v�������������������������v���������������������������������������������v������v�������������������������v�������������������������v������v������v������v�������������������������v�������������������������v�������������������������v������v������w����w����w������������������������w������������������������w����w
w������������������������������������������������������������w����������������������������w����w����ww����w!������������������������w$������������������������w&����������������������������w(����w)����w*����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������wG������������������������wG������������������������������������������������������������������������������������������������wG����wG������������wG����wG������������������������������������wH����wI����wJ���������������������wM����wP������������������������������������wP���������������������wP����wP���������������������������������������������������������������������wf������������������������������������������������������������wr����������������������������������������������������w����w���������������������������������������������wuw{���������������������������������ww������������������������w���������������������������������������������w����������������������������������������w������������������������������w������w������w�w������w�������������������������w������������������������������w������w������w������w������w�������������������������w�������������������������w������w�w������������������w������w������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������w�������������������������w�������������������������������������������������������������������������������������������������w������w�������������w������w�������������������������������������w������w������w���������w������w�������������������������������������w���������������������w������w�������������������������w������������������������������������������������������xx    ������������x
x����������������x
xxxxx����������������xxxx����xxx���������x!������������������������x!������������������������x#x$x%x&x'���������������������x*���������������������x-������������x2����������������x2���������������������x5x6x7����������������x9x:x;x<x=x>x?x@���������xC����xD����xI����xJ����������������xK����xL���������������������xO���������xQ����������������xR���������������������xSxYxZx\����x^x_x`xaxb����������������xdxexfxg����xixjxkxl������������xmxnxoxpxqxrxsxt����������������x{x|x}x~xxx����������������������������xxx����������������xxxxxxx����xx����x����x���������������������xx����������������������������������������������������x�������������������������x�������������������������x������x�x������������������x������x���������������������x���������x�������������������������x�������������������������x������x�x������x������x���������������������yyy���������������������y������������������������������������y���������������������y����y������������������������y
yyy
y���������������������y���������y���������y������������������������������������y+y+y+y+y+����������������������������������������y-y.���������������������y4���������������������y7���������y8y:����������������y<y=y>y?y@yAyByCyDyE����yGyHyI���������yL������������������������yU������������������������yWyXyYyZy[���������y^���������������������ya������������yf����������������yf���������������������yh����yj������������yk����ymyn����yo����yp������������������������������������������������yxyxyx���������������������������������������������y~����y����y������������������������������������������������y���������������������������������������������y����������������������������������������y����������������������������y����y����yy������y�������������������������y������������������������������y������y������y������y������y�������������������������y�������������������������y������y�y������������������y������y������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������y�������������������������y�������������������������������������������������������������������������������������������������y������y�������������y������y�������������������������������������y������y������y���������y������y�������������������������������������y���������������������y������y�������������������������y������������������������������������������y���������������������������������������������y������������������������������������������y������������������������������y������y������y�z����z������������������������z����������������������������z����z
����z����z���������z������������������������z����������������������������z����zz����z����z����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������z7������������������������z7������������������������������������������������������������������������������������������������z7����z7������������z7����z7������������������������z8����z9����z:���������z=����z@������������������������������������z@���������������������z@����z@������������������������zC���������������������������������������������zI����������������zJzKzL����������������zNzOzPzQ����zSzTzUzVzWzXzYzZz[����������������z]z^z_z`za����zczdze����zgzh������������zizjzk����zm����znzozpzqzrzsztzuzvzw����zyzz���������z}���������zzz����zzz����zzzz����zzzzz����������������z������������z����zzz����zzzzzz����z�z�z�z������z�z�z������z�z�z�z�z�z������������������������������������������������������������������z������������������������������������������������������z������z���������������������������������������������z�z���������������������������������z�������������������������������������z���������������������z������z���������������������������������z�������������������������z������������������������������������������z������������������������������z���������������������z������z������������������z���������z�������������������������z������������������������������{����������������������������{{���������������������{���������{����{������������{
����{����{����{
������������������������{������������������������{���������{���������{���������������������{���������������������������������������������{������������{ ����������������{"{#{$����{&{'{({)����{+{,����{.{/{0����{2{3{4{5{6����{8{9����{;{H{H{H{I����{K{L{M����{O����{P����{R{S{T����{V{W{X������������{Y{Z{[{\{]{^{_����{a{b{c{d{e{f{g{h{i����{k{l{m����{n����{o{p{q{r{s{t{u����{w{x{y{z{{{|{}����{����{����{{{������������������������������������������������{{{���������������������������������������������{����{����{������������������������������������������������{���������������������������������������������{�������������������������{������{������{������{������{�������������������������{�������������������������{������{�{�������������������������������������������������������������{������������������������������{������{������{�{���������������������{������������������������������������������������������������������������������{�������������������������{���������������������{������������������������������{�������������������������������������������������{������{������������������������������������������{�{������������������������������{�{�������������������������{���������������������������������������������|����������������������������������������|����������������������������|����|����||����|������������������������|����������������������������|#����|$����|%����|&����|'������������������������|)������������������������|*����|+|,����|-����|.����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������|J������������������������|J������������������������������������������������������������������������������������������������|J����|J������������|J����|J������������������������������������|K����|L����|M���������|P����|S������������������������������������|S���������������������|S����|S������������������������|V�����������������������������������������������������������������@S_��
w�H�����`H��·��9�²F�*�romUUthisequation,usingthecoareaform���ula(2.9)again,weimmediatelyget(3.3).9�Finally�*�,UUusingFubini'stheorem,w���eestimateZ썍����1�C��1�C���1�C4����cZ:ҟ      y�J�uB�µ�(�x�)��´u:b�(�x�)���d�H������N�,��1@3�c�Z���i@4�u���r�+���(�x�)@�m�u��꯱(�x�).<h�b�´"G4�(�x;t�)�dt8�¸�c�Z�    y�J�u���(�x�)��´u�(�x�)���d�H������N�,��1@3�c�Z���i@4�u���r�+���(�x�)@�m�u��꯱(�x�).<h�b�����²(�x;t�)NW�dt�������9�²(3.7)� Y���Y�G��k��k�·1x��c�Z    y�J�u���\�
��0#�j�d�H������N�,��1@3�c�Z���i@4�u���r�+���(�x�)@�m�u��꯱(�x�).<h�j�b�´"G4�(�x;�¨t�)8��b�����²(�x;t�)�7�j�dt���Y�G��k��k�·1x��c�Z      y�J�u���\f�x�2�
��0�s�:�u��+���(�x�)��u��꯱(�x�)�<�1�=h�g|�µd�H������N�,��1@3�c�Z���i@4�u���r�+���(�x�)@�m�u��꯱(�x�).<h�j�b�´"G4�(�x;�¨t�)8��b�����²(�x;t�)�7�j�dt����K�+�k��k�·1x��c�Z    y�J�u���\f�x�2�
��0�s�:�u��+���(�x�)��u��꯱(�x�)��1�=h�g|�µd�H������N�,��1@3�c�Z���i@4�u���r�+���(�x�)@�m�u��꯱(�x�).<h�j�b�´"G4�(�x;�¨t�)8��b�����²(�x;t�)�7�j�dt:���9�²NoticeUUthatforall�"�>�0UUand�h��2�I�UXN�</����c�Z5Jȟ   y�J�u���\f�x�2�
��0�s�:�u��+���(�x�)��u��꯱(�x�)�<�1�=h�g�O�d�H������N�,��1@3�c�Z���i@4�u���r�+���(�x�)@�m�u��꯱(�x�).<h�j�b�´"G4�(�x;�¨t�)8��b�����²(�x;t�)�7�j�dt9�²(3.8)x�k�����2�k�b�k�:�L��1N?�(
��0�s��(��MQ�;M�,�))C���c�ZH�      y�J�u���\f�x�2�
��0�s�:�u��+���(�x�)��u��꯱(�x�)�<�1�=h�g����j�u����+���(�x�)8�¸�u������(�x�)�j���d�H������N�,��1�:���9�²OnUUtheotherhand,Z썍3�>�c�Z9nx     y�J�u���\f�x�2�
��0�s�:�u��+���(�x�)��u��꯱(�x�)��1�=h�g�s@�d�H������N�,��1@3�c�Z���i@4�u���r�+���(�x�)@�m�u��꯱(�x�).<h�j�b�´"G4�(�x;�¨t�)8��b�����²(�x;t�)�7�j�dtș�[�B�=��c�Z���i��M@UR��Mu�µdt�c�Z:      y�J�u���\f�x�2�
��0�s�:�u��+���(�x�)��u��꯱(�x�)��1�=h�gs�㐱[�u��꯱(�x�)�;u��+���(�x�)]1��(�t�)�j�b�´"G4�(�x;�¨t�)8��b�����²(�x;t�)�7�j�d�H������N�,��1���9�²and�thislastin���tegralisinnitesimalas�"��!�0,�¡since�for�L�^�±1|s�-a.e.-�t��2�I�UXRwe�havethat�b�´"G4�(�x;�¨t�)��!�b�(�x;t�)�9�for7�¸H���^�´N�,��1�۲-a.e.g�µx��2�
,=�b�and�b�´"~�²arebGoundedand,foran���y�h�,�J�´u7�¸\�{f�x��2�
:�u�^�±+���(�x�)��u�^�·��(�x�)��1�=h�g7�²is���9�a�setofnite�H���^�´N�,��1�²measure.^�Therefore,((from(3.8)and(3.7),lettingrst�"�tendtozeroandthen���9�µhUU�tendto�1�,w���eimmediatelyobtain(3.4).���9���Step�3.��NoticeUUthatsince�b�(��;�¨t�)��2�BqV8�²(
)UUfor�L�^�±1|s�-a.e.q�µt�w���ehavethatforevery�x��2�
�^�·0"c�¸r�´x�µb�´"G4�(�x;�¨t�)�=�c�ZUR        y�
5Q�%�´"�(�x8�¸�y[�²)���dD�´y·�b�(�y;t�)�:��9�²Th���us,UUwehavebyF�*�ubini'stheorem,A/?T�c�Z4͎�    y�
<����(�x�)���dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0I�r�´x�µb�´"G4�(�x;t�)�dt����=�y���c�Z���i�y�´M@���M�(w�dt�c�Z: y�
�u;t�²sgn$�(�t�)��(�x�)�r�´x�µb�´"G4�(�x;�¨t�)�dx9�²(3.9)�|���=�y���c�Z���i�y�´M@���M�(w�dt�c�Z:     y�
�u;t�²sgn$�(�t�)��(�x�)���dx�c�Z:       y�

n9�%�´"G4�(�x8�¸�y[�²)�dD�´y·�b�(�y;t�)������=�y���c�Z���i�y�´M@���M�(w�sgn�¨y(�t�)���dt�c�Z:y�
�µdD�´y·�b�(�y[�;t�)�c�Z:       y�

n9�%�´"G4�(�x8�¸�y�)��(�x�)��±
�u;t{�(�x�)���dx������=�y���c�Z���i�y�´M@���M�(w�sgn�¨y(�t�)���dt�c�Z:      y�

n9�%�´"�8�²(��±
�u;t{�)(�y[�²)�dD�´y·�b�(�y;t�)�:ޟ=�10j21����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������|\����������������|]|^|_����������������|a|b|c|d����|f|g|h|i|j|k|l|m|n����|p|q|r|s|t����|v|w|x����|z|{|||}|~|����||||������������|||����|||||����||||||������|������|������|�|�|�|�|�|�|�|�|�|�|������|�|�|������|�|�|�|�|�|������������������������������������������|�|�|�|�|�|�|������������������|������������������|�|�|�|�|������|������|�|�|�|�|�|�|������|�|�|�|�|�|�|�|������|�������������|������|�|�|�|�|�|�|�|�������������������������������������������������������������������������������������}%����������������������������������������}%����������������������������}%����������������������������������������������������})���������������������������������������������},������������������������}.����������������������������}7����}8����}9����}:����}=������������������������}?������������������������}@����}A����}B���������������������}E����}H������������������������������������}H���������������������}H����}H���������������������������������������������}P������������������������������������������������}\������������������������}^������������������������}_����}`����}a���������������������������������������������}S������������������������}U������������������������}V����}W����}X����������������������������}h������������������������}m������������������������}n����}o}p����}q����}r���������}u}v���������������������}w����������������������������}{���������������������������������������������}~������������������������}����������������������������}����}����}����}����}������������������������}������������}����}����}���������������������}����}������������������������������������}���������������������}����}���������������������������������������������}�������������������������������������������������}�������������������������}�������������������������}������}������}���������������������������������������������}�������������������������}�������������������������}������}������}���������������������������������}�������������������������}�������������������������}������}�}������}������}�������������������������}�}�������������������������������������}�������������������������}�������������}���������������������������������������������������������}�}�}�}�}������������������������������������������������������������������}������������������}������}������}�������������������������}���������������������������������������������}���������������������������������������������}�������������������������~������������������������~����~������������������������~����������������������������~����~������������������������������������~���������������������~����~���������������������������������������������~#������������������������������������������������~/������������������������~1������������������������~2����~3����~4���������������������������������������������~&������������������������~(������������������������~)����~*����~+����������������������������~;����~<������������������������~A������������������������~B����~C~D����������������~E����~F���������������������~I������������~N������������������������~Q������������������������~S����~T~U����~V����~W������������������������~Y���������~\~]������������������������������������������������~~����������������~����~����~������������������������~���������������������������������������������~���������������������������������������������~������������������������~������������������������~~����~������~������~�������������������������~�������������������������~������~�������������������������~�������������������������~������~������~������~������~�������������������������~�������������������������~������~������~������~������~������~�~������~�������������������������~������~�������������������������������������~���������������������~������~���������������������������������������������~�������������������������������������������������~�������������������������~�������������������������~������~������~���������������������������������������������~�������������������������~�������������������������~������~������~������������������������������~������~�������������������������~�������������������������~������~�~������������������~������~���������������������~�������������������������������������������������������������������������  �������������������������������������������������������������������������������������9����;����?����A������������������������H���������������������������������������������O���������������������������������������������R������������������������T������������������������XZ����[����^����d������������������������k������������������������l����m������������������������o������������������������p����q����r����s����t������������������������v������������������������w����x����y����}����~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������<���������������������������������������������?������������������������A������������������������EG����H����K����Q������������������������X������������������������Y����Z������������������������\������������������������]����^����_����`����a������������������������c������������������������d����e����f����g����h����ij����l����������������������������r����u������������������������������������u���������������������u����u���������������������������������������������}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������!������������������������"����#������������������������%������������������������&����'����(����)����*������������������������,������������������������-����.����/����0����1����23����5����������������������������<����=������������������������?������������������������@����A����B���������������������C���������D������������������������F������������������������G����H����I����J���������������������M����P������������������������������������P���������������������P����P������������������������S����������������������������������������no����������������qrs����uvwxy����{|}~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������0������������������������������������������������7���������������������������������������������3����4����������������������������:;������������������������B���������������������������������������������E������������������������G������������������������KM����N����Q����W������������������������^������������������������_����`������������������������b������������������������c����d����e����f����g������������������������i������������������������j����k����l����p����q����rs����u��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������!����������������!���������������������$����%����������������'(����)����*����,-./���������2������������������������7������������������������8����9:����������������;����<���������������������?���������A����B����CD����E����F����������������������������������������IJK���������������������P������������������������������������P���������������������P����P������������������������RSTUV���������������������Y���������������������\���������bd���������������������g���������jkl���������o������������������������t������������������������wxy����{������������|}~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!"#$���������*���������-./0����23����5678����:;<����>?@A���������������������������������D���������������������GHIJ����LM���������U����W����Y������������Z����\]^_`abcdef����hijklm����oyyyz{��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������(������������������������+������������������������0������������1����2���������������������3���������4����������������5���������������������89������������������������;������������������������<����=����>����?����@����A���������D���������������������������������������������IJ������������KLM����������������O����P����RS����T����U����W����X����Z����������������[\]^_`a����cdefghij������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����$����%����&����'����.������������������������.������������������������3������������������������3������������������������B����CD����������������E����F���������IJ����������������������������������������PPPPP����������������������������������������������������������������V������������������������������������������������������������b����������������������������������������������������i������������������������������������������������e����f���������������������������������lm������������������������s���������������������������������������������{������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����!������������"����#����$������������������������+���������������������������������������������2������������������������5������������������������5������������������������D����E���������������������F���������G���������H����L����M����N����O����S������������������������[������������������������^_`����������������������������c����d����e���������������������hi����������������������������������������������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������KK������������21aԋ�|�H�����`H��·��9�²F�*�orJx�L�^�±1|s�-a.e.n(�t�thefunction��±
�u;t{�,L�bGeingthec���haracteristicfunctionofasetofniteperimeter,L�isin9�µBqV8�²(
).q�ThereforeUUfor�H���^�´N�,��1�۲-a.e.�x��2�
UU(hence,for�j�D�´x�µb�(��;�¨t�)�j�-a.e.�x��2�
)UUw���ehavethatV�limu�"�!�0��+�£=�%�´"�8�²(��±
�u;t{�)(�x�)�=��(�x�)�����፱
�u;t�(�x�)�Ǎ9�andUUth���usyY�limU�ɴ"�!�0��+l����c�Zr˟   y�
zc�µ%�´"�8�²(��±
�u;t{�)(�x�)���dD�´x�µb�(�x;t�)�=�c�ZUR       y�
5Q��(�x�)�����፱
�u;t�(�x�)���dD�´x�µb�(�x;t�)�:y9�²F�*�rom�thisequation,�yusingtheassumption(ii)andtheLebGesgue'sdominatedcon���vergence�theorem,�9�w���eUUcanpasstothelimitin(3.9),thusgettingthat㗍?.�lim;p�´"�!�0��+R{y�c�ZX  ��   y�
_鲵�(�x�)���dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0I�r�´x�µb�´"G4�(�x;t�)�dt��=�c�Z���i��M@UR��Mu�µdt�c�Z:   y�

n9�sgn�;(�t�)��(�x�)�����፱
�u;t{�(�x�)���dD�´x�b�(�x;t�)�:qύ�9�²Then,a�the,4assertionfollo���wsatoncefromthelastequality�*�,a�(3.2),(3.3),(3.4),4andfromequation���9�(3.1).V!�ff���͞33ff���ff33ff9���Remark�T3.3M���Let꼵fӧ�:�I�UXR�l�!��I�UXR�bGeaLipsc���hitzfunction,suchthat�f�(0)�=0.1�Setting꼵b�(�t�)=�f�^�·0�Ȳ(�t�)���9�andUU�v[�²(�x�)�=�f�(�u�(�x�)),from(1.2)w���egetthat�={�µDGv"�²=��f����0�Ȳ(\�«e�u�~�(�x�))�r�u�L����N      Α�+8�µf����0�(\�«e�u�(�x�))�DG����cY�µu8�²+���b��7�f�(�u����+���(�x�))��f�(�u������(�x�))���b�W��´u:b�H������N�,��1�+�J�´u�
�;���9�²whic���hTagreeswiththe`classical'chainruleformulafor�BqV�8�functions(see[2,�Th.�3.96]).Assume�9�no���wEJthat�b�(�x;�¨t�)���b�(�x�)EJisabGounded�BqV8�²(
)functionandthat�u��2�BV8�²(
)�¸\�L�^�·1x�²(
)EJanduse(1.2)���9�todeduceaform���ulaforthederiv�q�ativeof�bu�.8iT�*�othisaim,�noticethatLemma2.2yieldsthat,for���9�¸L�^�±1|s�-a.e.�ڵt�>�0,z��^���b�
�u;t{�(�x�)=1r�if�u�^�·��(�x�)��>t�,��^���b�
�u;t{�(�x�)=1�=�2r�if�u�^�·��(�x�)���t��u�^�±+���(�x�)r�and��^���b�
�u;t�(�x�)�=0r�if
�V9�µt�>u�^�±+���(�x�),UUandsimilarform���ulasholdif�t�<�0,UUtherefore�|#%���c�Z���i-%�±+�1@(���1;������፱
�u;t{�(�x�)���dt��=�<$�K�u�^�±+���(�x�)8�+�u�^�·��(�x�)�Kwfe@ߟ (֍��2Y9_and~�c�Z���i�u���r�+���(�x�)@�´u��꯱(�x�)�[�b�����²(�x�)�dt�=�b�����²(�x�)(�u����+���(�x�)8�¸�u������(�x�))���:y9�²F�*�rom}@theseequalitiesandfrom(1.2),:w���ethengeteasilythatthediusepart�x䍑�«e�D�²(�bu�)ofthedistri-���9�butionalUUderiv�q�ativ���eof�bu�isgivenby��x䍒�o�«e�ab�D����(�bu�)�=#�«e�u�(�x�)�x䍑g�e�Db8�²+�\q�e����b�(�x�)�x䍑g�e�Du�¨;���9�²whileUUtherepresen���tationformulaforthejumppartof�DG�(�bu�)splitsinthreeparts:\sF?k�DG����j}�²(�bu�)�=#�«e�u�(�x�)�DG����j�b���*�²(�J�´b=$�n8�µJ�´u:b�)+�\q�e����b�(�x�)�DG����j�u���*�²(�J�´usB�n�J�´bD�)+�DG����j�(�bu�)���*�(�J�´b=$�\�J�´u:b�)���;���9�²where!{�DG����j}�²(�bu�)���*�(�J�´b=$�\8�µJ�´u:b�)�=�􍓫8        <:���
UO���bꦵb�^�±+���(�x�)�u�^�±+�(�x�)��b�^�·��(�x�)�u�^�·�(�x�)���b�W��´bD�(�x�)�H���^�´N�,��1�Q�if
UV��´bD�(�x�)=��´u:b�(�x�)�®,����
UO���b�ꦵb�^�±+���(�x�)�u�^�·��(�x�)��b�^�·�(�x�)�u�^�±+���(�x�)���b�W��´bD�(�x�)�H���^�´N�,��1�Q�if
UV��´bD�(�x�)=���´u:b�(�x�)�®,"9�(seeUU[2,Example3.97]).q�Therefore,w���emayconcludethat����F�µDG�(�bu�)�=�u�����µDb8�²+�b�����µDu�¨:ޟ=�118���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������$������������������������,������������������������/01����������������������������5����������������7������������89:;����=>?����A������������BCDEFGHIJKLMN����PQRSTUVW����YZ����\����^_`����bc����fghij����l����mnopqrstu����������������wx����z{���������������������������������������������~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������� !����������������������������$%����&����'����������������(���������-����.����/����0����4����������������������������E����������������������������<������������������������?@A���������������������F����G����H����������������������������������������MNO����������������QR������������ST������������������������������������������������\\\���������������������������������������������b����e����f������������������������h����������������������������������������������������n���������������������������������������������u������������������������x������������������������}������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 

���������������������������� !"#$%&����()*+,-./0����234������������5����6789:;<����������������>?@ABCDE����������������������������������������G������������H����������������JKL����NOPQ����ST����VWX����Z[\]^����`a����cmmmno����qr����st����vwxyz{|����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������
����������������������������������������������������+����������������������������"������������������������%&'���������������������������������,����-����.���������������������12������������������������4������������5����6����78����9����:���������=���������������������������������������������BCDEF����������������HIJ����������������LMNOPQRST����VWXYZ������������[\����^_����abcd����fghi����klm����opqr����tuvwxyz����{����������������|����������������~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !"#$%����������������'()����*����,-./���������2���������������������345����������������6����79����������������;<=>?@A���������������������D����E����F����G����H���������I����������������������������P������������������������Q����R����S����������������������������VWX���������������������[����������������\����]����^����������������_���������`���������������������a����b����c����d����efh����jklm����o~~~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������
����������������������������������������������������������������� !"����$%&����()*+,-./012����4����5678����:;<=����?@AB����CDE����GHI���������L����������������M���������������������PQRSTUVWX����Z[\]����r����r���������������������r����������������rrr����������������rrrrrst����vwxyz{����������������������������������������}~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������� !����#$%&'����������������()*+����,����./���������23����5����������������7����������������8����:;<=����?@AB����������������DEFGHI����KLMN����PQRST����ggg����ijklmn����pqrst����vwx���������������������������������~������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����!#����������������%&'����)*+,-./����1234������������5678����:;<=����?@���������C����������������D���������EG����������������IJKLMNOPQ����������������������������������������������������������������Y������������������������������������������������f����l����������������������������������������\b����������������������������s��������������������������������������������������������{������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������    

������������+++,-����������������/������������0����2345����789����;<=>?@����BCDE����GHI����KL�OPQ����STUV���������������������������������������������������������������������������������e����������������������������g����hi����j����mn����pqr����tuvwxyz����������������������������z{|}~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������� ����"#$����&'(����*+,-����/012����45���������8����������������9����:;����<����?@ABCD����FG����IJKLM����OPQRST���������������������������������������������Y������������������������������������[������������������������\����]^����_����������������`������������������������������������������������m����������������������������o����p����q����r������������������������������������t������������u���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������z����{������������������������}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������8�V���H�����`H��·��9�²By�asligh���tmoGdicationoftheproofofTheorem1.1w���ecandeducethefollowingchainrulefor�9�SobGolevUUfunctions.q�T�*�othisaim,letusin���troducethespace�bU�̵M����1�(div
�;�¨
)�=�f�v"�¸2�L����1|s�(
;I�UXR
������N�):q�div1�µv[�²isUUaRadonmeasurein
qj�g�:���9���Theorem�T3.4R���L�}'etǅ�
$��I�UXRr֟����N��beǅaboundedopensetandlet�b$�:
^G��I�UXR��!$�I�UXRr֟����N��beǅalocal�lybounded���9�Bor�}'el�function.Assumethat�e(i)'9�for�¸L�^�´N���-a.e.�x��2�
�thefunction�b�(�x;����)�isc�}'ontinuousin�I�UXR�#�;��΍�U(ii)'9�for�¸L�^�±1|s�-a.e.�t��2�I�UXR�;�thefunction�b�(��;�¨t�)�2�M�^�±1�(div;c
)�;����E(iii)'9�for�anyc�}'ompact�set�H���I�UXRT�,~}����c�Z�"1     y�H�b�j�div
��´x��b�(��;�¨t�)�j�(
)�dt�<�+�1���: ߍ�9���Then,�forevery�u��2�Wc�^�±1�;�1<u�(
)8�¸\�L�^�·1x�²(
)�,�thefunction�v"�²:�
�!�I�UXRT����N��,�dene�}'dbyE�Ӳ�v[�²(�x�)�:=�c�Z���i��u�(�x�)@UR0�a�b�(�x;�¨t�)�dt;�V9���b�}'elongs�to�M�^�±1�(div
�;�¨
)�andforany���2�C�^�����1l03�(
)���wehaveZ�9��c�Z�-     y�
�µ<p�r��(�x�)�;�¨v[�²(�x�)�>dx��=��c�Z���i���+�1@8�1v�dt�UX�c�Z㒟        y�
Ñ�sgnC(�t�)�����፱
�u;t{��(�x�)�d�divj���´xs�b�(�x;t�)��c�Z:        y�

n9��(�x�)p�<b�(�x;u�(�x�))�;�r�u�(�x�)�>dx:w���9���ProQ�of.
i�²Let�usxafunction�u�@�2�Wc�^�±1�;�1<u�(
)�V�\�L�^�·1x�²(
)�andatestfunction��@�2�C�^�����1l03�(
)�anddene���9�µb�´"\�²and�µv�´"�asintheproGofofTheorem1.1.���Since�b�´"�isloGcallyLipsc���hitzin
���I�UXR[,E�w���ehavethat���9�µv�´"L�2��Wc�^�±1�;�1<u�(
;�¨I�UXR
������N�)UUandE';=�c�Z,�w  y�
4>�<p�r��(�x�)�;�¨v�´"G4�(�x�)�>dx��=��c�Z8�    y�
�µ�(�x�)�dx�UX�c�Z���iUY�u�(�x�)@�0���div$m���´x)v�µb�´"G4�(�x;t�)�dt�¸�c�Z���        y�

�µ�(�x�)p�<b�´"G4�(�x;u�(�x�))�;�r�u�(�x�)�>dx:9�²(3.10)pD9�The�¹con���vergenceoftheintegralonthelefthandsideandofthelastintegralontherighthandside���9�isUUpro���vedexactlyasintheproGofofTheorem1.1.q�Moreover,since�D�div����´x�ٵb�´"G4�(�x;�¨t�)�=�c�ZURy�
5Q�%�´"�(�x8�¸�y[�²)���d�divj���´y91�b�(�y;t�)�;�}9�²arguingUUasin(3.9),w���egetthatEB)ǟ�c�ZG�  y�
O��(�x�)���dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0I�div'�K�´x0!�b�´"G4�(�x;t�)�dt��=�c�Z���i��M@UR��Mu�²sgn%�±(�t�)���dt�c�Z: y�

n9�%�´"�8�²(��±
�u;t{�)(�y[�²)�d�divj���´y91�b�(�y;t�)�;9�²(3.11)w���9�where�F�M�a�isapGositiv���enumbGersuchthat�k�u�k�·1?�µ<�M�.:Since,�°for�L�^�±1|s�-a.e.�t��2�I�UXRT,�°div���´x�b�(��;�¨t�)�FisaRadon���9�measure,$from���PropGosition3.1of[3]w���egetthat,forev���eryBorelsubset�A�of
with�H���^�´N�,��1�۲(�A�)�=0,���9�theM�totalv�q�ariation�j�div
��´x��b�(��;�¨t�)�j�(�A�)iszero.[9Ontheotherhand,�for�L�^�±1|s�-a.e.�te9�2�I�UXR
�u,�theM�function���9�µ�±
�u;t��is�kthec���haracteristicfunctionofasetofnitepGerimeterandthusisin�BqV8�²(
).�Therefore,���9�forUU�H���^�´N�,��1�۲-a.e.q�µx��2�
,(hence,for�j�div
��´x��b�(��;�¨t�)�j�-a.e.q�µx�2�
)w���ehavethatbV�limu�"�!�0��+�£=�%�´"�8�²(��±
�u;t{�)(�x�)�=��(�x�)�����፱
�u;t�(�x�)ޟ=12���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=>����������������@����BCDEF������������G����IJ������������KLNOPQRST����VW����YZ[����]^_����`a����cd����fghijkl����zzz����|������������}�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������)*����������������,����./012����456789:����<=����E������������������������I���������L����������������������������������������fffffff����������������fff����������������������������p����������������qr���������������������z�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������+������������������������-./01���������������������4���������������������7���������>���������ABC����EFGHIJKL���������O����P����QR���������������������W����X���������[\����^����������������_`abcdefg����ij������������q����������������q������������������������s�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#����$����������������%����&����'����(./���������23����������������4���������5����;���������������������>���������������������������������������������STUVW����������������YZ[����]^_`a���������d���������������������g���������i����������������������������������������l����m����n������������������������pvw���������������������{���������}������������������������}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������


���������������������������������������������������������������%���������������������(���������*���������������������������������������������.������������������������,����������������������������/56���������������������9:����<=>?����������������������������������������������������������������G���������������������������������������������N������������������������Q���������������������Y����]����^����_����`����a����������������b����������������c����d����e���������h����kl���������������������m���������n����������������������������r��������������������������������������������������������������������������������������������u{������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������   
���������������������������������������������#$%������������&'(���������������������/01����������������34����78����:����<=>?@ABC���������F���������������������K���������M����������������������������������������P����Q����R������������������������TZ[���������������������_���������a������������������������a������������������������kqr����������������vwx����z����|}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !����#$%&'������������()*+����-.����6���������������������<������������A����������������A���������������������C����������������E������������F����HI����J����K����MNOP���������������������������������S������������������������S������������������������d���������������������f����������������������������������������i����j����k������������������������mst���������������������y����������������y���������������������������������������������{������������������������|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(����)*����+����,����-.����������������/����������������������������3���������������������������������������������3������������������������@����A����B����C���������������������F����I������������������������I������������������������X����YZ����[����\����]����^_����`���������f����g����j����k����l���������o����rst�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������    ������������
����
��������$$$%����������������'()*+����,����-./����12345������������������������������������������������???������������������������������������������������A����������������������������B������������������������G������������������������H����IJ����������������K����L����������������M����������������������������Q���������������������������������������������X������������������������[������������������������`������������a����b���������������������c���������d����������������e���������������������h������������ppp���������������������������������������������r������������������������s����t����u����v����w����x���������{�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!������������������������������������������������(���������������������������������������������$����%���������������������������������012���������������������4����5����6���������������������9:������������������������@���������������������������������������������G������������������������K������������������������P������������������������Q���������������������R����VZ������������������������b������������������������efg����������������������������jk����l����������������m���������p������������xxx���������������������������������������������x������������������������}����~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������� ����������������"#$%����������������'()*������������+,-./01����345����78����B����B���������������������B����D������������E����GHI����KLMNO����QRS����UV������������WXY����[\]^_����abcdef���������i���������lm����v����yz{|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !"#$%&'()*+,����./012345����78����:����<=>����@A����DEFGH����J������������KLMNOPQR����TUV����XY����Z[����]^����`a���������d����������������e���������������������flmo����������������qrstuvwxyz����������������������������|}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����$����������������������������5����������������������������,������������������������/01���������������������6����7����8�������������������������������������������������E�E�������������t
�.�H�����`H��·��9�²andUUth���usyP�1limM�´"�!�0��+d'���c�Zi��y�
q�µ%�´"�8�²(��±
�u;t{�)(�x�)���dUU�divW�´x;�b�(�x;t�)�=�c�ZUR   y�
5Q��(�x�)�����፱
�u;t�(�x�)���dUU�divW�´x;�b�(�x;t�)�:���9�²Thereforeusingtheassumption(iii)andtheLebGesgue'sdominatedcon���vergencetheorem,���wecan9�passUUtothelimitin(3.11),andw���eobtain�(8�lim4Tl�"�!�0��+K_4�c�ZP�n        y�
X�m��(�x�)���dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0I�div'�K�´x,�/�b�´"G4�(�x;t�)�dt��=�c�Z���i��M@UR��Mu�µdt�c�Z:    y�

n9�sgn�;(�t�)��(�x�)�����፱
�u;t{�(�x�)���dUU�divW�´x;�b�(�x;t�)�:l`9�²Then,UUtheassertionfollo���wsfromthisequalityandfrom(3.10).N��ff���͞33ff���ff33ffH/9���ProQ�of>ofTheorem1.2.
T���Stepr�1�x�Let�¼(�u�´nq~�)bGeasequencein�Wc�^�±1�;�1<u�(
)con���verging�¼in�L�^�±1|s�(
)to�9�µu��2�Wc�^�±1�;�1<u�(
).q�W�*�eUUma���yassume,withoutlossofgenerality�*�,that�u�´nq~�(�x�)��!�u�(�x�)UUfor�L�^�´N�²-a.e.q�µx��2�
.���9�Let�¹usin���troGducetheBorelset�Gdi�=�f�x�2�
:�(�e�u�´ne�(�x�)�!�(�e�u     �²(�x�)�g���andxanopenset
�^�·02�¸di�
anda���9�functionUU�"�¸2��C�^�����1l03�(I�UXR     N<),with0��[�²(�t�)��1.���9�Denoting4b���y�g�´k       -�thesequenceoffunctionsprovidedbyLemma2.4,lnwex�kP�.Noticethat,lnfrom���9�the���assumptions(1.4)and(1.5)on�f�,�fromRemark2.5andfromtheScorza-Dragonilemma,���9�it�|follo���wsthatforany�"V>�0�|thereexistsacompactset�K�´"      �²suchthat�L�^�´N�²(
�^�·0�2�n(�µK�´"G4�)V�<"�|�and���9�µa>�k����+B�+B�K�"ߏ��I�¢_R$8�is�8con���tinuous,�±where�a�´k됲(�x;�¨t�)=(�a�±1�;kH�(�x;t�)�;:::���;a�´NQ�;k
��(�x;t�)).�qLet�8usno���wintroGducethesetB9�µD�´"�H�=�f�x�2�K�´"�:?�µDG�(�K�´"G4�;���x�)=1�g���andobserv���ethatforall�t�2�I�UXR�=every���pGoint�x�2�D�´"!�is���apGointof���9�appro���ximateUUcontinuityfor�a�´k됲(��;�¨t�).q�Infactif�x��2�D�´"�w���ehave`���9�¸���2�c�Z��ly�B�%!W�(�x�)W�¸j�a�´k됲(�y[�;�¨t�)_��a�´k�(�x;�¨t�)�j�dy"�¸�<$�1�Kwfel(֍�!�´N�µ%�r�N���c�Z%L$y�B�%!W�(�x�)�\�K�"I�¸j�a�´k�(�y[�;t�)_��a�´k�(�x;�¨t�)�j�dyg8�+21{supd����y@L�2�
��0q0�j�a�´k됲(�y[�;t�)�j���33L�^�´N����b�+�B�´%�$�(�x�)8�¸n�K�´"G4���b�33feGe    (֍�}�!�´N�µ%�r�N퍑9�²and��therigh���thandsideisinnitesimalas�"�¸!�0,*since���a�´k됲(��;�¨t�)iscontinuouson�K�´"F�²and�K�´"�has���9�densit���yUU1at�x�.q�Therefore,wemayconcludethat�������@�J�:�a�³k_�(��;t�)s�¸\8�µD�´"L�=��;�forUUall�t�2�I�UXR
�.9�(3.12)���9�Recalling�assumption(1.7),�w���egetimmediatelythatthesetfunction,denedforan���yBorelsubset�9�µE��ofUU
�^�·0#�b���ysetting@,�µ�(�E�)�=�c�ZUR       y�supp�]        y�J�j�D�´x�µa�´k됲(�x;�¨t�)�j�(�E�)�dt;`9�²is�aniteRadonmeasurein
�^�·0�9�.jTherefore,2foran���y�m�U�2�I�UXN
_ ,w���e�canconstructafunction� �´m�¸2���9�µC��^�±13�(
�^�·0�9�),���suc���h���that0MM�� �´m�(�x�)��1���forall�xMM�2�
�^�·0t�and���suchthat,���denotingby�H�´m>w�thecompactset���9�µH�´m
_�²=��f�x�2�
�^�·0Q�:� �´m�(�x�)=1�g�,UUthefollo���wingrelationshold�4:|;�H�´m
_�¸��G8�¸\�D�´"L�f� �´m
_�µ>�0�g���;���L����N����b�+�f� �´m�>�0�g8�n�H�´m���b�f�²+����b�W�f� �´m
_�µ>�0�gn�H�´m���b��
�<�<$�&�1�KwfeǷ�    (֍�m�:9�²(3.13)V9�Finally�*�,�>let�9usxanitefamily�f�A�´j6�¸g�´jg�2�J[$�ofpairwisedisjoin���topGensetswiththeirclosurescontained���9�ingC
�^�·0�9�,�¾denote,foran���y�j"-�2�µJ�9�,b���y(�'�´j�T;r
�)�´r7�2�I�¢_N���asequencein�C�^�����1l03�(�A�´j6�²),with0�¸�'�´j�T;r����1,�¾andset���9�µ�´j�T;r
�(�x;�¨t�)�=�'�´j�T;r�(�x�)�[�²(�t�).q�SinceUU�f�(�x;�¨t;u�²)����«P
US�jg�2�J��g�´k됲(�x;�¨t;�)��´j�T;r
�(�x;t�)� �´m�(�x�),UUw���ehave�~7lim�¨inf:u�´n�!1Tn�µFc�(�u�´nq~�;���
)�5��[��«X�7�J�jg�2�J�̲lim�¨inf�+�n�!1�$[�c�Z���      y�
��0Ȝ_�a�±0�;kH�(�x;�¨u�´nq~�(�x�))��´j�T;r
�(�x;u�´n�(�x�))� �´m�(�x�)�dx9�²(3.14)�!�¤U+�����«X�7˗�jg�2�J��lim�¨inf1�´n�!1/*���c�Z4�� y�
��0;��h�a�´k됲(�x;�¨u�´nq~�(�x�))��´j�T;r
�(�x;u�´n�(�x�))�;�r�u�´n�i� �´m�(�x�)�dx:ޟ=�13s@����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=>?����������������AB������������CD������������������������������������������������LLL���������������������������������������������R����U����V������������������������X����������������������������������������������������^���������������������������������������������e������������������������h������������������������m������������������������n���������������������o����sw������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������   �
���
���������������������������������������� �����"�#�$�%�&�'�(�)�*�����,�-�.�������������/�����0�1�2�3�4�5�6�����������������8�9�:�;�<�=�>�?�����������������A�����B�����E�F�G�����������������������������������������I�J�K�L�����������������N�O�����Q�R�S�����U�V�W�X�Y�����[�\�����^�i�i�i�i�j�k�����m�n�o�����q�������������r�����t�u�v�w�x�y�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¥������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&������������������������������������������������������ �!�"����������������������������������'�����(�����)����������������������,�������������������������4�5�6����������������������������������������������9�������������������������:�����;�����<�=�����>�����?����������B����������������������������������������������G�H�I�J�K�����������������M�N�O�����Q�R�S�T�U�V�W�X�Y�����[�\�]�^�_�������������`�a�����c�d�e�f�����h�i�j�k�����m�n�o�p�q�r�s�����t�����v�w�x�����z�{�|�}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¯�°����������������²�������������������µ�������¸�¹�º�»�¼�½����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �&�'�����*�+����������������������������������������������.����������������������1����������3�����������������������������������������6�����7�����8�������������������������:�@�A�C�����������������E�����������������F�����������������H�I�������������J�����L�M�N�O�P�Q�R�����T�U�V�W�X�Y�Z�����\�]�^�_�����a�b�����d�e�f�g�h�i�j�k�l�����m�����������������n�����p�q�r�s����������v�������������������������x�������������������������y�����z�����{����������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������³�´�������������������·�������º����������������¼�½����������������¿�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������� �����!�"�����$�%�&�����.�������������������������5�������������������������<�C����������������������I�����L�M�N�����P�����������������������������R�S�T�U�V�W�X�Y����������������������_����������������������b����������������������d����������������������������������������������f�������������������������h�����������������������������i�����n�����������������n����������������������o�q�����s�t�u�v�����y����������}������������������������������������������������������������������������������������������������������ �¡��������������������������������������������������������������������������������������������������­�®�������±�²�³�´�µ�¶�·�������º�������½�¾�¿����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������"�"�"�#�����%�&�'�����)�4�4�4�5�����7�8����������;����������������������=�����������������?�@�A�B�����D�E�F�G�H�I�����S�S�S�����U�V�W�����Y�Z�[�\�����^�_�`�����b�c�d�e�f�g�h�i�j�k�l�m�n�o�����q�r�s�t�u�v�����������������������������x�y�����������������{�|�}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �¡�¢�£�������������¨�©�ª�«�¬�­�������°�±�����������������������������������������������������������������½�¾��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�"�����������������$�%�&�'�(����������+�������������������������-�������������������������.�����/�0�����������������1�����2�����������������3�����4�����5�������������������������8�����9�:�������������������������<�����=�>�����?�����@�����A����������F�����F�����F����������������������G�����H�������������������������K�������������L�M�������������������������O�����P�Q�����R�����S�T�V�����������������X�Y�Z�����������������\�]�����_�`�������������a�����c�d�����e�f�g�������������h�i�j�k�����m�n�o�����q�r�s����������������������������������������������v�������������������������{�������������������������|����������������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¢�£�¤�¥�¦����������������������ª�«�¬�������¯�°�������³�´��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������"����������������������%����������'�������������������������,�������������������������/�������������0�����2�3�����4�����5����������������������������������������������@�����������������������������������������@����������������������������������������������C�������������������������G�������������������������H�����I�����J�������������������������P�����Q�������������������������S�������������������������T�����U�������������V�����������������W�����X�����������������Y����������Z�������������������������\�������������]�����^�_�����������������`�����a�����b�����c�d����������������������h����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������°�������������������������������������µ����������������������������������������������������¼�¼��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������"�#�$�����&�'�(�)�������������*�����,�-�.�/�����1�2�3�4�����6�7�����9�:�<�=�>�?�@�A�B�C�D�E�����G�H����������N����������������������Q����������R�T�����������������V�W�X�Y�Z����������������������]�������������������������_�������������������������`�����e�����f�����������������g�����h�����k�l�����n�o�p�����q�r�s�����t�u�v�w�����y�z����������}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¢�����������������������������������ª�«�¬�­�®�¯�°�±�²�������������������¸�������������¼�½�¾�¿����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������   �����������������������������������������������$�%�&�����������������(�)�*����������-����������0�������������5�����������������5����������������������9�������������������������������������I�I�I�I�I�I�����������������������������������������K�L�M�N�O�P�Q�R�S�����������������U�V�W�X�Y�Z�[�\�]�^�����`�k�k�k�l�m�����������������o�������������p�����r�s�t�����v�w�x�y�z�{�|�}�~������������������������������������������������������������������������������¡�¢�������¥����������������������©�ª�«�¬�������¯�°�±�²�³���������������������������������������������������������������������º��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������       �
�����
�������������������������������������������������������������������������������� �!�"�����$�%�&�'�(�)�*�����,�-�����5�������������������������<�������������������������>�����������������@�A�B�C�D�E�F�G�H�I�����������������K�L�M�����O�P�������������Q����������T����������������������W�������������\�����������������\����������������������^�����`�������������a�����������������c�d�e�����g�h�i�j�k�l�m�n�o�����q�����s�t�u�v�w�x�y�z����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¡�¢�£�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¼�½�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������ �������������������������!����������%�������������������������'�������������������������(�����)�����*�����+�����,�����.�����0�����������������2�3�4�����6�7�8�9�:�������������;�<�=�>�����@�A�B�C�D�E�F�G�H�����J�K�L�M�������������������������������������������������t�������������������������v�������������������������}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������!�����������������#�$�%�����������������'�(�����+�,�����.�����1�2�3�4�5�����7�8�9�:�;�<����������@�����A�������������������������C�������������������������E�������������������������H�����������������K�����M�������������������������Q�R�����T�U�V�W�X�Y�Z�[�����]�^�_�`�a�b�c�������������d�����f�g�������������h�i�����k�l�m�n�����p�q�r�s�����u�v�w�x�y�����{�|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¢�£�¤�¥�¦�§�������ª�«�������®�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������!�"�#����������������������������������)�������������������������,�������������-�.�������������������������0�����1�2�����������������3�����4�����������������5����������<�������������������������?�������������@�A�������������C�����D�����E�����I�����������������J�����K�����L�N�����������������P�Q�R�S�T����������������������W����������������������X�����Y�Z�����������������[�\�����_�����������������`����������������������d�����������������������������i����������������������������������������������l�����������������o�����q�������������������������s�������������������������u�������������������������v�����w�x�����������������y�z�����}����������~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������������������������������+�������������������������2����������������������������������6�������������������������9�����:�;�������������������������=�����>�?�����������������@�������������������������B�������������������������C�����D�����E�F�����J�������������������������M�������������N�O�������������������������Q�����R�S�����T�������������������������V�������������W�����X�����Y�Z�����_�������������������������_�������������������������d�����e�����f����������i�j�����������������������������������������o�o�o�o�o�o�����������������������������������������������������������������x�������������������������������������������������}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¾����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������s@sl�|�H�����`H��·��9�²Since�Xb���yRemark2.5thefunctions�a�±0�;kH�(�x;�¨t�)arecontinuouswithrespGectto�t�,ԋwehave,ԋforall�jY�¸2��J�9�,9�µr���;�¨m��2�I�UXN8�,�4LΟ��«X�74m�´jg�2�JG��limDi?�n�!1Z�/�c�Z`iy�
��0io3�a�±0�;kH�(�x;�¨u�´nq~�)��´j�T;r
�(�x;u�´n�)� �´m�(�x�)�dx��=��«X�7��jg�2�J㉟�c�Zqß y�
��0![�a�±0�;kH�(�x;�¨u�)��´j�T;r
�(�x;u�)� �´m�(�x�)�dx:9�²(3.15) 9�NoticeUUalsothat�a�´k됲(�x;�¨t�)��´j�T;r
�(�x;t�)UUsatisfytheassumptionsofTheorem1.1,forall�jR;�¨rr�andth���us�U-1lim)U�n�!1@E�c�ZE�        y�
��0L졸h�a�´k됲(�x;�¨u�´nq~�)��´j�T;r
�(�x;u�´n�)�;�r�u�´n�i� �´m     CC�dx��=F�lim�n�!1U����\�(;�cZ
uy�
��0?�dx�c�Z���i
�u�n�l�(�x�)@:0@
�h�a�´k됲(�x;�¨t�)��´j�T;r
�(�x;t�)�;�r� �´m�i�dt9�²(3.16)���<+����c�Z���i���+�1@8�1G�dt�c�Z:        y�H�m>�µsg[�n�(�t�)�����፱
�u���n�l;t��(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�<�+����c�Z���i���+�1@8�1G�dt�c�Z:     y�
��0�s�n�H�m�j�sg[�n�(�t�)�����፱
�u���n�l;t��(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�W���\)N:�:.p9�²ByUUthe�L�^�´N�²-a.e.q�con���vergenceUUof�u�´nq~�(�x�)��!�u�(�x�)UUw���ehavethat(s0pPlim,�t�n�!1AӼ��c�ZGa��       y�
��0PK�µdx�c�Z���i
�u�n�l�(�x�)@:0꽸h�a�´k됲(�x;�¨t�)��´j�T;r
�(�x;t�)�;�r� �´m�(�x�)�i�dt��=�c�ZUR       y�
��0t�dx�c�Z���i
�u�(�x�)@:0Q�h�a�´k�(�x;�¨t�)��´j�T;r
�(�x;t�)�;�r� �´m�(�x�)�i�dt:9�²(3.17)�U9���StepH�2���The���lastt���wo���integralsin(3.16),�²wherethemeasures�D�´iTL�a�´i;k
�²(��;�¨t�)appGear,requireamore9�carefulUUanalysis.q�T�*�oestimatethethirdin���tegralontherighthandsideof(3.16),weobservethat=ɍ������u���u����u����u�ʟ�cZ���i�˱+�1@1-@�dt�c�Z:        y�
��0�s�n�H�m�j�sg[�n�(�t�)���`�h������፱
�u���n�l;t��(�x�)8�¸�����፱
�u���;�¬t{�(�x�)���`�i� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�����W�W���W���Wx��u��q�µc�(�N�)�UX�c�Z㒟     y�suppN     y��]�j�D�´x�µa�´k됲(��;�¨t�)�j�(�f� �´m��>p�0�g��n8�H�´m�)�dt�+�c�(�N�)�k�a�´k@�¸r��´j�T;r
�k�¢_�:�L��1N?�(
��0V�·�supp
j�@L�)2常L����1�˲(suppu�[�²)�L����N�²(�f� �´m��>p�0�g��n�H�´m�)�;=ƍ�9�²where�0�c�(�N�)isaconstan���tdepGendingonlyonthedimension.YTherefore,���fromthisinequalityand9�fromUU(3.13)w���egetthat=ɍ�+�zlim�¨inf/1J�n�!1G�c�Z���iQ�+�1@M
�1`�µdt�c�Z:y�
��0�s�n�H�m�j�sg[�n�(�t�)�����፱
�u���n�l;t��(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�9�²(3.18)UfG���c�Z���i��+�1@UR1c�dt�c�Z:      y�
��0�s�n�H�m�j�sg[�n�(�t�)�����፱
�u;t{�(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b��7�8�µc�(�N�;a�´k�;�´j�T;r
�)�<$133wfeǷ�       (֍�m���;�U9�²forUUsomepGositiv���econstant�c�(�N�;�¨a�´k됵;�´j�T;r
�),UUdepGendingonlyon�N;�¨a�´k@�²and��´j�T;r
�.9�LetUUusno���wshowthatfor�L�^�±1|s�-a.e.q�µt��2�I�UXRElS7tlimO���n�!1fE�c�Zk�   y�H�myD�sg[�n�(�t�)�����፱
�u���n�l;t��(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�9�²(3.19)�����=��c�ZUR  y�H�m�µsg[�n�(�t�)�����፱
�u;t{�(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�?�µ:.9�²T�*�o���thisaim,�Irecallingthatfor�L�^�±1|s�-a.e.fv�tO�2�I�UXRD(the���lev���elset�f�uO>t�g��isasetofnitepGerimeter,w���e9�areUUgoingtopro���veUUthatfor�L�^�±1|s�-a.e.q�µt��2�I�UXRT,UUthereexistsaset�G�´tLn���G8�¸\�D�´"�suc���hUUthatD܍�,r�µ����፱
�u���n�l;t��(�x�)��!�����፱
�u;t{�(�x�)���forUUall#�f�x�2�G�´tV�;���L����N�²(�G8�¸\�D�´"�n�G�´t�)+�j�D�´x�µa�´k됲(��;�¨t�)�j�(�G�\�D�´"�n�G�´t�)�=09�(3.20)ޟ=14q@��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����"�#�$�%�&�'�����1�1�1�����3�4�5�����7�8�9�:�;�<�=�>�?����������B�������������������������E�����F�G�������������������������I�����J�K�����������������L�����M�����P�Q�R�����T�U�V�����W�X�Y�����Z�[�\�]�����_�`�a�b�����d�e�f�g�������������h�i�j�����l�m����������p�����r�����������������t�����u�����w�x�����y�����z�{�����������������}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������      �����
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������$�������������������������������������������������'�����������������*�����,�������������������������������������������������2����������������������������������������������:�������������������������A�����������������������������E�������������������������H�����I�J�������������������������L�����M�N�����������������O�����P�����T�������������������������W�������������X�Y�������������������������[�����\�]�����^�����_�����c�������������������������c�������������h�����i�����j����������m�n�����r���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¤����������������������������������¨�������������������������������®�¯�°�±�²�³�������¶�·�������º�»�¼�½�¾�¿�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����%�+�������������������������������������������������1����������������������������������������������9�������������������������@�����������������������������J�����L�������������������������N�������������������������O�����P�Q�����������������R�������������������������T�������������������������U�����Y�������������������������\�������������]�^�������������������������`�����a�b�����c�������������������������e�������������f�����g����������m�����o�������������������������q�������������x�����|�������������������������|����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¸��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-�����������������������������������������1�������������������������������������������������>�����D�����������������������������������������4�:�����������������������������H�I�������������������������P����������������������������������������������S�������������������������U�����������������������������Y�Z�������������[�����\�����]�����^�����b�����������������������������e�����������������������������n�������������������������q����������������������s����������������������t�u����������������������������������x�����y�����z����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������«����������������������������������¯�������������²������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$�����&�������������������������(�����������������������������,�-�������������.�����/�����0�����1�����5�����������������������������8�����������������������������A�������������������������D����������������������F����������������������G�H����������������������������������K�����L�����M�����R�������������������������R�������������������������W�����X�����Y����������������������\����������������������������������b�������������������������������������h�i�j����������������������������������������������m�������������������������n�����o�������������������������q�������������������������r�����s�t�����u�����v�����z�������������������������}�������������~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������³�������������������¶�·�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�'�������������������������������������������������.����������������������������������������������6�������������������������=�����������������������������A�B�������������������������H�������������������������������������������������M�������������������������O�������������������������P�����Q�����R�����������������������������������������J�����������������������������a�����c�������������������������e�������������������������f�����g�h�����������������i�����j�����n�������������������������q�������������r�s�������������������������u�����v�w�����x�����y�����z�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������±����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������"����������������������'�(�)�����������������+�,�-�.�����0�������������1�����2�����������������4�5�����6�7�8�9�:�;�<�����>�?�����A�L�L�L�L�M�N�����������������P�Q�R�S�T�����V�W�X�����Z�[�\�]�^�_�`�a����������d�������������������������f�������������������������g�������������������������j�k�l�������������������������n�����s�����t�����������������u�����v�����y�z�{�������������|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¥�¦�§�¨�©�ª�«�������®�¯�������²�³�´�µ�������¸����������������º�»�¼�½�¾�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)�����������������������������������������)�����������������������������)�����������������������������)�����������������������������������������������������-�������������������������������������������������:�����@�����������������������������������������0�6�����������������������������D�E�������������������������L����������������������������������������������T�������������������������[�������������������������d�����f�������������������������h�����������������������������l�m�������������n�����o�����p�����q����������������������������������z����������������������������������~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����!�����"����������������������#�����������������������������������������+�������������������������������������������������3�4�5�6�����������������������������������������;�������������������������D�����E�������������������������G�������������������������H�������������������������J�������������������������K�����P�����Q�����������������R�����S�����T�����U�����W�����[�������������������������]�������������������������`����������������������c�����e�����������������r����������������������u�������������������������w�������������������������x�����y�z����������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������«��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'�(�)�*�+����������������������.�����/�����0����������������������1�����4�5�����7�����9�:�;�<�=�>�?�������������@�����B�C�D�������������E�F�G�H�I�J�����L�M�N�O�����Q�R�����T�U�V�����X�Y�Z�[�\�]�^�_�`�a�����������������c�d�e�f�g�h�i�j�k�l�����������������n�o�p�q�����s�t�u�v�����x�y�z�{�|�}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¡�¢�£���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������    ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������*�������������������������3�����5�������������������������7�����������������������������;�<�������������=�����>�����?�����@�����D�����������������������������G�����������������������������P�������������������������S����������������������U����������������������V�W����������������������������������Z�����[�����\�����a�������������������������a�������������������������f�����g�����h����������������������k����������������������������������q�������������������������������������w�x�y����������������������������������������������|�������������������������}�����~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¹�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������#����������������������������������)�������������������������������������/�0�1����������������������������������������������4�������������������������5�����6�������������������������8�������������������������9�����:�;�����<�����=�����A�������������������������D�������������E�F�������������������������H�����I�J�����K�����L�M����������������������������������S����������������������������������T����������������������V�����W�����X�����������������Y�����Z�������������������������\�������������]�����a�������������������������d�������������e�f�������������������������h�������������������������������������������������s�������������������������������������������������������������������������������������������������s����������������������������������v�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������£�¤�¥�¦�§�¨�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¼����������������������������¿��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������%�����������������%�������������������������������������������������������������S�S�S����������������������������������������������V�����Y�_�������������������������������������������������d����������������������������������������������g�������������������������i�����������������������������m�n�������������o�����p�����q�����r�����v�����������������������������y���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������©�ª��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������´�������������������������������������������������������������¿�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$�������������������������$�������������������������)�����*�����+����������������������.����������������������������������4�������������������������������������:�;�<����������������������������������������������?�������������������������@�����A�������������������������C�������������������������D�����E�F�����G�����H�����L�������������������������O�������������P�Q�������������������������S�����T�U�����V�����W�X����������������������������������^����������������������������������a�����������������������������������������������������|�����������������}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¢�£�¤�¥����������������������������������������������������������������������������������������������������´�µ�������������������¸�¹����������������»�������¾�¿������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�"�#�$�%�����'�(�)�*�+�,�����.�����0�1�2����������5�������������������������7�������������������������>����������������������@����������������������D����������F�������������������������K�������������������������N�O�P�������������Q�����������������S�T�U�V�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������®�¯������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������,����������.�������������������������0�������������1�����������������2�����3����������������������������������D�D�D�D�D�D�������������������������������������������������������������h�h������������q@vx���H�����`H��·��9�²T�*�o�pro���ve(3.20)letusx�t�g�2�I�UXR�suc���hthat�f�u>t�g�isasetofnitepGerimeter, �(2.10)holdsand�9�(2.12),UU(2.13)holdforall�t��2�
8�¸n�N�´tV�,UUwhere�H���^�´N�,��1�۲(�N�´t�)�=0.q�LetUUusset����̵G�´tLn�=��G8�¸\�D�´"�n���`�1�µN�´t�6�[f�u���� ��t��u����+���g���`����:+i9�²Letv�usx�x��2�G�´tV�.փSincev�µx�2�G�,Nw���ehaveinparticularthat�x�isapGointofapproximatecontinuity���9�for   �u�andforallfunctions�u�´h.�.uMoreo���ver,6since     �x�w�62f�u�^�·
�x��t��u�^�±+���g�and�x�62�N�´tV�,6b���y(2.12)and���9�(2.13),ow���e7)havethateither�«e�u   �(�x�)?x�>t�or�«e�u   �(�x�)�<t�.DIntherstcase,osince�x�2�G�,ow���ehavethat����«e9�µu�´nd�²(�x�)硵>t�,m�forh�µn�largeenough,henceb���y(2.11)��^���b�
�u���n�l;t��(�x�)�¡=1h�andthus��^���b�
�u���n�l;t��(�x�)硸!��^���b�
�u;t{�(�x�).�WThe
A9�same9conclusionholdsalsowhen�«e�u�(�x�)B�<t�.�This9pro���vesthepGointwiseconvergenceof��^���b�
�u���n�l;t,�²to���9�µ�^���b�
�u;ta�²inUUtheset�G�´tV�.
9���9�T�*�oUUpro���vetheequalityontherighthandsideof(3.20),noticethat,bydenition����µG8�¸\�D�´"�n�G�´tLn�=��G�\�D�´"�\���`�1�µN�´t�6�[f\�«e�u�=��t�g���`����:���9�²F�*�rom�(2.10),�H���^�´N�,��1�۟���b�2�f�u�^�·�
�*      �t��u�^�±+���g`sn�@8�^�´M    n�f�u*        >t�g���b��`�=0andsince�H���^�´N�,��1�۲(�@8�^�´M        n�f�u>t�g�)�<�1�,w���eget���9�that�i�G�¸\�D�´"�!�n�G�´tL�²isasetofnite�H���^�´N�,��1�D�measure.�Therefore,���w���eobtainimmediatelythatithas���9�zeroe�¸L�^�´N
���measure.�±Moreo���ver,j!from(3.12)wehavealsothat�j�DG�^�´j}�µa�´k됲(��;�¨t�)�j���b�W�GC�¸\�D�´",�n�G�´tV���b�
���=���0.�±Onthe���9�other�ghand,��sincetheCan���torpartofthederiv�q�ativeofa�BqVK�functioniszeroonasetof�H���^�´N�,��1�B�nite���9�measure,UUw���ehavealsothat�j�DG�^�´cY�µa�´k됲(��;�¨t�)�j���b�W�G8�¸\�D�´"�n�G�´tV���b�
�Ų=�0,UUhence�j�DGa�´k�(��;�¨t�)�j���b�W�G8�¸\�D�´"�n�G�´tV���b�
�Ų=�0�®.���9�SinceBV�H�´m
_�¸��G�¸\�D�´"G4�,F"(3.19)follo���wsatoncefrom(3.20)andsince�L�^�´N�²(�H�´m�)+��(�H�´m�)BVisnite,F"from���9�(3.19)UUw���emayconcludethat���=lim9@�n�!1Nr���c�Z���iXr�±+�1@T�1g�dt�c�Z:      y�H�m>�µsg[�n�(�t�)�����፱
�u���n�l;t��(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�9�²(3.21)fr=��c�Z���i��+�1@UR1c�dt�c�Z:    y�H�m>�µsg[�n�(�t�)�����፱
�u;t{�(�x�)� �´m�(�x�)���d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b�?�µ:V9���Step
3*�Puttingtogether(3.14),���(3.15),(3.16),(3.17),(3.18)and(3.21),���andusingTheorem1.1���9�again,UUw���eobtainthatforall�kP;�¨r���;m��2�I�UXN+l�lim�¨inf�n�!1.�U�Fc�(�u�´nq~�;���
)����«X�7��jg�2�J8���\�(G�cZ�V        y�
��0&x�a�±0�;kH�(�x;u�(�x�))��´j�T;r
�(�x;u�(�x�))� �´m�dx8�¸�c�Z� y�
��0<�dx�UX�c�Z���iUY�u�(�x�)@�0Q�h�a�´k됲(�x;t�)��´j�T;r
�(�x;t�)�;�r� �´m�i�dt#ϱ�c2T�+����c�Z���i���+�1@8�1�εdt�UX�c�Z㒟       y�
��0"�µsg[�n�(�t�)�����፱
�u;t{�(�x�)� �´m�(�x�)�d���b�W�divUY�´x^=�(�a�´k됲(�x;�¨t�)��´j�T;r
�(�x;t�))���b��7�8�µc�(�N�;a�´k�;�´j�T;r
�)�<$133wfeǷ�       (֍�m.���\�)"#���=���«X�7��jg�2�J8���\�(G�cZ�V    y�
��0'� �a�±0�;kH�(�x;�¨u�)��´j�T;r
�(�x;u�)� �´m�dx8�²+�c�Z�       y�
��0<�h�a�´k됲(�x;�¨u�)��´j�T;r�(�x;u�)�;�r�u�i� �´m�dx8�¸�c�(�N�;�¨a�´k됵;�´j�T;r�)�<$133wfeǷ�  (֍�m.���\�)��: r΍�9�²Th���us,UUletting�m�tendto�1�,andrecallingthat�L�^�´N�²(
8�¸n�G�)�=0UUand�L�^�´N�(�K�´"�n8�µD�´"G4�)�=0UUw���ehave�?qlim�¨infB�A�n�!1\��Fc�(�u�´nq~�;���
)����«X�7��jg�2�J㉟�c�Zqß      y�K�"!�۟���`�h&�µa�±0�;kH�(�x;u�)��´j�T;r
�(�x;u�)8�+�h�a�´k됲(�x;u�)��´j�T;r
�(�x;u�)�;�r�u�i���b��T�dx;�9�²hence,UUlettingalso�"�gotozero,w���enallygetG܍�@llim�¨infD<�n�!1^�µFc�(�u�´nq~�;���
)����«X�7��jg�2�J㉟�c�Zqß      y�
��0�����`�h$i�µa�±0�;kH�(�x;u�)��´j�T;r
�(�x;u�)8�+�h�a�´k됲(�x;u�)��´j�T;r
�(�x;u�)�;�r�u�i���b��T�dx:ޟ=�15{�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������F�����������������G�����������������I�J�K�������������L�����M�����O�Z�Z�Z�Z�[�����]�^�_�����a�b�����e�f����������i����������������������l�������������q�����������������q����������������������t�u�v�������������w�����y�z�{�|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �¡�¢�������������������¥�¸�¸�¸�¸�������»�¼�½�¾�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������    �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������������������#����������������������#�����#�������������������������$�����%�������������������������'�������������(�����������������)�����*�,�����������������.�/�0�����������������2�3�����5�6�7�������������������������������������������������<�������������������������>�������������������������?����������������������@����������������������D����������F�������������������������K�������������������������T�������������������������������������Z����������������������������������[�������������������������]�������������������������a�����c�����d�������������������������f�������������������������j����������l����������p����������r�������������������������t�������������������������v����������������������������������|���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������®�������������������³�������¶�·�¸�¹�º�»�¼�½�¾�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������    �
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�"����������������������%����������������������)�,�����.�����/�������������������������1�������������������������5����������7����������;����������=�������������������������?�������������������������A����������D�E�F����������I����������M�P����������R�������������������������T�������������������������V�����������������Y�������������Z�����\�o�o�o�o�p�����r�s�t�����������������������������v�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������·����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�#�$�%�&�����(�)�*�+�,�-�.�����0�1�2�3�4�����6�������������7�����9�L�L�L�L�M����������S�����������������������������V�����������������������������_�������������������������b����������������������d����������������������e�f����������������������������������i�����j�����k�����������������l�����m�����������������p�q�r�����t�u�����v�w����������}���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������«�¬�����������������������������������������������²�������������������¶�·�������������������������������������������º�»�¼�������������������¿��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������
�������������������������������������������������������������!�����������������������������*�������������������������-����������������������/����������������������0�1����������������������������������6�7����������������������������������=�����������������������������@�����������������������������I�������������������������L�M�N����������������������������������S�T�����������������V�W�X�����Z�[�\����������_�������������������������a�������������������������c�����������������������������������������s�����������������t�����������������v�w�x�������������y�����z�����|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������� �������£�®�®�®�®�¯�������²�³�´�µ�¶�������¹�º�»�¼����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������$����������������������������������������������*�����������������+�,�-�����������������/�B�B�B�B�C�D����������������������I�������������������������������������I����������������������I�����I�����������������������������������������������������O����������������������������������Q�����R�������������������������T�������������������������X����������������������Z����������^����������`�������������������������b�������������������������d�����������������m����������u�����������������������������������������w�������������������������}�����}�����������������}�����}�����}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������¦����¦����¦����¦����¦����§��������¨��������®����°����������������²�������������³�����µ�¶·�����������������������������¹�º�»¼��������������������¿��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
������������������������� �����"�#�����%�&�'�����������������������������)�*�+�,����������������������2�������������������������2�������������������������5�6�7�8�9�:�;�<�����������������>�?�@�A�B�������������C�����D�E�F�����������������H�I�J�K�����M�W�W�W�W�X�����Z�����[�����]�^�����_�����`�����b�c�d�e�����g�h�i�j����������m�����n�������������������������������������p�������������������������q�������������������������s�������������������������t�����y�����z�����������������{�����|�����}���������������������������������Ã��������������������������������Ä��������������������È��������Ê�������������������������Ï�������������������������Ø��������Ú�������������������������Ü����������������������������������������������������â��������������������������������ã�����������������¤æ�����������������¨é�����«�¬í�����������������������������¯�°�±�²ó�����������������µ�¶�·�¸ù�����������������»�¼�½�¾ÿ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������
����������������������
�����
���������������������������������������������������������������������������������� �������������!�����#�$�����%�����&�����(�)�*�+�����-�.�/�0����������3�����4�������������������������������������6�������������������������7�������������������������9�������������������������:�����?�����@�����������������A�����B�����C����������������������������������I����������������������������������J����������������������N����������P�������������������������U�������������������������^����������`�������������������������b�����������������������������������������������������h����������������������������������i�����������������j�l�����������������n�o�p�q�r����������u�����v�������������w�������������������������y�������������z���������Ā����������������ā����Ă����ă��������������������������������ĉ��������������������������������Ċ��������������������Ď��������Đ�������������������������ĕ�������������������������Ğ��������Ġ�������������������������Ģ����������������������������������������������������Ĩ��������������������������������ĩ����������������Ī����������������Į�����������������������������¾�¿�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
�
���������������������������������������������������������������������������������� �������������������������"�������������������������#�����$����������'�����(�����)�������������������������+�������������,�����������������/�0�����3�4�5�6�7�8�����������������:�;�<�=�����������������������������?�J�J�J�J�K�����������������M�������������N�����P�Q�����R�����T�U�V�W�X�Y�Z�[�����]�^�_�`���������������������������������������������������������ŉŉŉ��������������������������������������������Ō����ŏŕ����������������������������������������������������������������ŵ��������������������������������������������������������������������������������������������������¸ž�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������"�������������������������#�����$�%�����&�����'�����+�������������������������.�������������/�0�������������������������2�����3�4�����5�����6�7����������������������������������=�����������������������������������������������������B�B�B�B�B�B�����������������������������������������������������������������W�����������������������������������������[�������������������������������������������������h�����n�����������������������������������������^�d�����������������������������r�s�������������������������z����������������������������������������������}�����������������������������������������������������ƃƄ�������������ƅ����Ɔ����Ƈ����ƈ����ƌ����������������������������Ə����������������������������Ƙ�������������������������ƛƜƝ��������������������������������Ơ����ơ����Ƣ����Ƨ�������������������������Ƨ�������������������������Ƭ����ƭ����Ʈ��������������������Ʊ��������������������������������Ʒ��������������������������������������½�¾ƿ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������� �+�+�+�+�,�-�����������������/�:�:�:�:�;�<�����>�I�I�I�I�J�K�����M�X�X�X�X�Y�Z�����\�g�g�g�g�h�����������������j�k�l�����n�y�y�y�y�z�{�����������������}�~�����ǁǂǃǄǅ����ǇǈǉǊǋǌǍ����ǛǛǛ����������������������������ǝǞǟ� �¡Ǣ����������������Ǥ�������������ǥ�����§�¨�©�ª�«Ǭ�����®�¯�°Ǳ�����³�´ǵ�����·�¸ǹ��������Ǽ�������������ǽ����������������Ǿ�������������ǿ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������������������������������&�����������������)�����+����������������������������������������������������������4�������������������������������������������������9����������������������������������������������A�������������������������H�����������������������������N�������������������������Q�����R�S�������������������������U�����V�W�����X�����Y�����Z�����[�\�����`�������������������������c�������������d�e�������������������������g�����h�i�����j�����k�����l�����m�n�����r�������������������������r�������������������������w�x����������������������y�����������������������������~���������������������������������������������Ȇ�������������������������ȍ����������������������������ȓȔ����������������������������������������Ȝ�������������������������������������������������ȡ����Ȣ����ȣ����Ȥ����������������������������������������Ȟ����������������������������ȱ����ȳ�������������������������ȵ�������������������������ȶ�����·ȸ����ȹ����Ⱥ����Ⱦ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%����������������������������������������������-�������������������������4�����������������������������:�;�������������<�����=�����>�����?�����C�����������������������������F�����������������������������O�������������������������R�S�T����������������������������������W�����X�����Y�����^�������������������������^�������������������������c�����d�����e�����f����������������������������������l�������������������������������������r�s�t����������������������������������������������w�������������������������x�����y�������������������������{�������������������������|�����}�~���������������������ɀ����Ʉ�������������������������ɇ�������������Ɉɉ�������������������������ɋ����Ɍɍ����Ɏ����ɏɐ��������������������������������ɖ��������������������������������ɗ��������������������ə����ɚ����ɛ����������������ɜ����ɝ�������������������������ɟ�������������ɠ����ɤ�������������������������ɧ��������������¨ɩ�������������������������ɫ�������������������������������������������������ɶ�������������������������������������������������������������������������������������������������ɶ����������������������������������������������������������������ɾ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"����������������������������������������������*�������������������������1�����������������������������;�����=�������������������������?�������������������������@�����A�B�����������������C�����D�����H�������������������������K�������������L�M�������������O�����P�Q�����R�����S�����T����������Z�����\�����c�����g�������������������������g�������������������������l�m����������������������n����������o�����p�����q�����������������r�����������������s�������������������������u�������������������������v�����z�������������������������}�������������~�������������ʁ�������������������������������������������������ʌ�������������������������������������������������������������������������������������������������ʌ����������������������������������������������������������������ʔ��������������������������������ʗ�����������������������������������������������������©ʪ��������������«�¬ʭ�����������������¯�°�±�²�³�´ʵ��������ʸ���������»�¼�½ʾ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������"�����$�%�����&�����'�������������������������������������������������2�2�2�����������������2�2�2����������������������������������������������5�����8�>�����������������������������@����������������������A�����B�������������������������D�������������������������E����������������������K�L����������������������P�������������������������������������T�������������������������������������������������W�����������������Z�����\�������������������������������������������������b����������������������������������������������e�������������������������j����������������������������������������������������������s����������������������������������t�������������������������w�����x�y�������������������������{�����|�}�����~���������˃�������������������������ˆ�������������ˇˈ�������������������������ˊ����ˋˌ����ˍ����ˎ����������������ˏ��������˗����˙�������������������������˛�������������������������˜����˝˞����˟����ˠ����ˤ�������������������������˧��������������¨˩�������������������������˫�����¬˭����ˮ����˯����˰��������˶����˸����˿������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������"�������������������������#����������������������)�*����������������������.�������������������������������������2�������������������������������������������������5�����������������8�����:�������������������������������������������������@����������������������������������������������H�������������������������O����������������������������������������������������������X����������������������������������Y�������������������������\�����]�^�������������������������`�����a�b�����c�����d�����h�������������������������k�������������l�m�������������������������o�����p�q�����r�����s�����������������t����������|�����~������������������������̀�������������������������́����̂̃����̄����̅����̉�������������������������̌�������������̍̎�������������������������̐����̑̒����̓����̔����̕��������̛����̝����̤��������������������������������̪���������������������������������­̮����̱�����������������������������������������������������
�
������������{Gd� H�����`H��·��9�²Recallthatin�Step�1�w���edened��´j�T;r
�(�x;�¨t�)�5=�'�´j�T;r�(�x�)�[�²(�t�).���F�*�orall�jN�¸2�5�J�9�,�,letusno���wchoGosea9�sequenceUU�'�´j�T;r
�(�x�)pGoin���twiseUUconvergingtothecharacteristicfunctionoftheset�A����+���j���,where�w5��A����+���j j�²:=��f�x�2�A�´j�Ĳ:q�µa�±0�;kH�(�x;�¨u�(�x�))8�+�h�a�´k됲(�x;u�(�x�))�;�r�u�(�x�)�i��=�g�´k됲(�x;u�(�x�)�;�r�u�(�x�))��0�g�:9�²Th���us,@YZ5lim�¨inf\��n�!1v�ĵFc�(�u�´nq~�;���
)����«X�7��jg�2�J㉟�c�Zqß      y�A�j"���[�²(�u�(�x�))maxG�f�g�´k됲(�x;u�(�x�)�;�r�u�(�x�))�;�0�g�dxAo9�²and,UUb���yapplyingLemma2.3,weobtain@�Blim�¨inf;�n�!1�3�µFc�(�u�´nq~�;���
)���c�ZUR   y�
��0�ĵf�(�x;u;�r�u�)�[�²(�u�)�dx:�    9�²Hence,UUtheresultfollo���wslettingrst�[�²(�t�)��"�1UUforany�t��2�I�UXRj�andUUthenletting
�^�·0Q�"��
.84��ff���͞33ff���ff33ff'č�9���References�9�²[1]"�/Am���brosio�uL.andG.DalMaso,�  �A�´gener�}'al���chainrulefordistributionalderivatives,�ProGc.�uAmer.�"�/Math.UUSoGc.,�108�,(1990),691{702.�9�[2]"�/Am���brosioltL.,r<F�*�uscoN.andD.Pallara,r<�F�;�unctions�-ofb�}'ounded�-variationandfr�}'ee�-discontinuity���"�/pr�}'oblems,UU�OxfordUniv���ersityUUPress,(2000).���9�[3]"�/Chen(G.-Q.andH.F�*�rid,1�Diver�}'gence-measure5�eldsandhyp�}'erbolic5�conservationlaws,1�Arc���h.���"�/RationalUUMec���h.Anal.,�147�,(1999),89{118.���9�[4]"�/Dal�,MasoG.,���Inte�}'gral�£representationon�BqV8�²(
)�of��{limitsofvariationalintegrals�,���Man.���"�/Math.,UU�30�(1980),387{416.���9�[5]"�/De���CiccoV.,���L�}'ower#�semicontinuityforcertainintegralfunctionalson�BqV8�²(
),�Boll.���U.M.I.,���"�/�5-BUU�(1991),291{313.���9�[6]"�/DexvCiccoV.andG.Leoni,?�A�1chain�9rulein�L�^�±1|s�(�div[�²;�¨
)�anditsapplic�}'ationstolowersemicon-���"�/tinuity,UU�Calc.V�*�ar.P���artialDierentialEquations,�19�,n.1,(2004),23{51.���9�[7]"�/De9
CiccoV.,>�F�*�uscoN.andA.Verde,>���Ony�µL�^�±1|s�-lowersemic�}'ontinuityinBV,9
�J.ofCon���vex9
Anal.,���"�/toUUappGear.���9�[8]"�/De{GiorgiE.,�'�Su��unate�}'oriageneraledel�lamisura�(�rD(���1)�-dimensionaleinunospazioa�r���"�/�dimensioni,UU�Ann.Mat.PuraAppl.,(4)�36�(1954),191{213.���9�[9]"�/De�GGiorgiE.,��T�;�e�}'oremi-disemic�}'ontinuit��anelcalcolodel�levariazioni,��Istituto�GNazionalediAlta���"�/Matematica,UU(1968-1969).���9�[10]"�/H.UUF�*�ederer,�Ge�}'ometric�measuretheory,UU�Springer,Berlin,(1969).���9�[11]"�/F�*�onsecaouI.andG.Leoni,u���On���lowersemic�}'ontinuityandrelaxation,u�²ProGc.ouR.Soc.Edim.,u�Sect.���"�/A,UUMath.�131�,(2001),519{565.���9�[12]"�/F�*�uscoN.,��GiannettiF.andA.Verde,���A�3r�}'emark�Aonthe�L�^�±1|s��lowersemicontinuityforintegral���"�/functionals�in�<�BqV8���,UU�Man���uscriptaMath.�112�(2003),313{323.ޟ=16����S�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������¶�·�¸�¹�º̻�����������������½�¾�¿�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������   �����������������
������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����"�#�������������$�����&�����'�(�������������)�*�+�����-�����������������������������������������/�0�1�2�3�4�5�6����������������������?�������������������������B�������������C�D�������������������������F�����G�����H�����K�������������L�M�N�������������O�����P�Q�R�S�����������������U�V�W�����X�����Y�Z�[�\�]�^�����`�a�����c�d�e�����g�����h�i�j�k�l�m�n�o�p�q�r�s�t�����v�w�x�y�z�{�|�}�����̀����͂̓̈́����͇͈͆��������͋����������������������������͏����������������������������͍����������������������������͑����͓͔͕͖͗��������������������������������������������͜����������������������������͠����������������������������͞�����������������������������¡͢��������������������ͤ����ͥ��������ͨ��������ͪ�������������������������ͬ�������������������������ͭ��������������������Ͱ�������������������������ͳ�����´͵�������������������������ͷ�����¸͹����������������ͺ����ͻ����ͼ�����½;����������������Ϳ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�'�����������������������������)����������������������*�����+�������������������������-�������������������������.����������������������4�5����������������������9�������������������������������������=�������������������������������������������������@�����������������C�����E�������������������������������������������������K����������������������������������������������N�������������������������P�����������������������������W�����������������X�����Y�����Z�����[�����\�]�������������a�a�a�����������������������������c�����d�������������������������f�������������������������g�����h�i�����j�����k�����l�����m�����n����������t�����v�����w�����x�����y�z�����{����������|�����~���������΁΂��������������������������������������������·ΈΉΊ����������������Ό�������������΍����ΏΐΑΒΓΔΕΖ����ΘΙΚΛΜ�����©�©�©Ϊ����ά����έ�����¯�°�±�²�³δ�����������������������������������������������������¿�¿ο�����������������¿�¿ο����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������ �!�"�����$�%�&�'�(�������������)�*�����,�-�.�/�0�1�2�����5�6�7�8����������>�����������������?�����@�����A����������������������I����������J�����������������M�N�O�����Q�R�����S����������V����������������������Y�������������^�����������������^����������������������a�b�c�����������������e�f�g�h�����j�k�l�m�n�o�p�����x�������������������������������������������������χ��������������������ύϏ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������� �!�����#�$�%�&�(����������������������/�����������������1�2�3�4�5�����������������6�7�����������������9�:�;�<�=�����?�@�A�B�����D�E�F�����H�I�J�K�L�M�N�O�P�Q�R�S�T�U�����W�X�Y�Z�[�\�]�^�_�`�a�b����������e�f�g�������������h�i�����������������k�l�m�n�o�����������������������������������������q�r�s�t�u�����������������w�x�������������y�z�{���������туф����ц����шщъыьэю����ѐёђєѕіїј��������������������������������������������������§�§ѧ��������������������������ªѫ��������������¬�­�®�¯�°ѱ�����������������³�´ѵ����������������ѷ�����������������¸�¹�ºѻ�����½Ѿ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������
��������������������������������������������������������� �!�������������"�#�$�%�&�����'�����������������)�*�+�,�-�.�����0�1�2�3�4�5�6��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������� �!�����"�����������������%�&�'�(�)�����+�,�-�����/�0�1�����������������2�3�4�����5�6�7�8�����������������:�����;�<�=�>�?�@�A�B�C�D�E�����G�H�I�J�K����������������������N�O�P�������������Q�R�����������������������������T�U�V�W�X�Y�Z�[�����������������]�^�_�������������`�a�����c�d�e�f�g�h����������o�p�q�����s�����u�v�w�x�y�z�{�����}�~ԀԁԂԃԄ�������������������������������������ԓԓԓ�������������������������ԕԖԗ����������������ԙԚԛԜ����Ԟԟԡ���������������������¨�©�ªԫ�����������������¬ԭ�����®ԯ����������������Ա�����²�³Դ�����µ�¶�·�¸�¹�º�»�¼�½Ծ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������   ����������������������������������������������� �!�"�#�$������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �
���������������������������������������������������������������������������� �&�'�*�����������������,�-�.�/�0�����������������2�3�4�5�6�7�8����������������������������������?�@�A����������������������D�E�F�G�H�I�J�����L�M�N�P�Q�R�S�T�������������������������������������c�c�c�������������������������e�f�����������������h�i�j�k�l�����n�o�����q�r�s�����u�v�����x�y�z�{�|�~���������������������օ����������������ևֈ։֊֋����������������֍֎֏֐����֒֓��������֖�������������������������֘�������������������������֙����֛֚֜����������������֝�����������������£֤���������§�¨֩�����«�¬֭�����°�±�²�³�´ֵ�����������������¶�·�¸�¹�ºֻ�����½־������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��������������������������������������������������������������������������
������
��������������������������� �������������������������������������0�0�0�������������������������2�3�����������������5�6�7�8�9�����;�<�=�����������������@�����������������A�B�C�D�����F�G�����J�K�L�����N�O�����Q�����R�S�T�U�W����������������������^�_����������������������b�������������������������b�������������������������h�i�j�k�l�m�����o�p�q�r�s�����������������t�u�v�w�x�y�z�{�|�����~�����ׁׂ׃��������������������׆ׇ����׉׊����׌׍׎�������������׏����אב����������������דהוזחט����������������������������ךכ����������������םמן�������������� �¡�¢ף��������������������������������������³�³׳��������������������������µ׶�����������������¸�¹�º�»�¼׽�����¿������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������
������������������������������������������������������������ ����������������������#�$�%�&�����)�*�+�,�����/�0�1�2�����4�5�6�7�8�9�����;�<�=����������D�E����������H�I�J�K�L�M�N�����P�Q�R�T�U�V�W�X�������������������������������������g�g�g�������������������������i�j�����������������l�m�n�o�p�q�����s�t�v����������������������}�����������������~�����������������؀����؁؂؃����������������؅؆����؈؉؊؋،����������������؍؎؏ؐؑؒؓؔؗ����������������ؗ����ؙؚ؛����؝����؞؟ؠ�����¡�¢أ�����¥�¦ا�����������������¨ة�����«�¬�­�®�¯�°�±�²�³�´ص���������������������¸�¹�º�»�¼�½�¾ؿ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������
������������������������������������������������������¸�¸�¸ڸ�������������������������ڻ�����������������¼�½�¾�¿�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������
������������������������������������������������������������������������������������!�"�#�$�%����������,�-�.�����0�����2�3�4�5�6�7�8�����:�;�<�>�?�@�A�B�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
�����������������������������������!����������������������(�����������������*�����������������+�,�-�.�/�����������������1�2�����4�5�6����������:�������������������������:�������������������������?�����F�G�H�I�J�����L�M�N�O�P�����Q�R�S�T�U�V�W�X�Y�����[�\�]�����_�`�a�b�����c�d�����e�f�����������������������������h�i�j�k�l�m�n�o�p�q�r�����������������t�u����������������������z�����������������{���������������������܂��������������������܅܆܇�������������܈܉܊܋܌܍܎܏����ܑܒܓܔܕ��������ܛܜܝ��������� �¡�¢�£�¤�¥ܦ�����¨�©�ª�¬�­�®�¯ܰ��������������������������������������������������'�'�������������SX$t�H�����`H��·��9�²[13]"�/F�*�uscoUUN.,GoriM.andF.Maggi,�A�r�}'emarkonSerrin���P'sTheorem,UU�NoDEA,toappGear.�9�[14]"�/Gori���M.andP�*�.Marcellini,�L�A��n�extensionoftheSerrin���P'slowersemic�}'ontinuitytheorem,�L�J.���of�"�/Con���vexUUAnal.�9�(2002),475{202.���9�[15]"�/GoriM.,�F.MaggiandP�*�.Marcellini,�Somesharpc�}'onditionsforlowersemicontinuityin�L�^�±1|s�,���"�/�Di.UUIn���t.Eq.�16�(2003),51{76.���9�[16]"�/Serrin�oJ.,���On\thedenitionandpr�}'operties\ofc�}'ertainvariationalintegrals�,���T�*�rans.�oAmer.Math.���"�/SoGc.,UU�161�(1961),139{167.ޟ=171������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����"�#�$�����&�'�(�)�*�+�����������������,�-�����/�0�1�2�3�����5�6�7�8�9�����������������:�;�<�=�>�?�@�A�B�����D�E�F�����G�H�����I�J�K����������������������O�P�����������������R�S�����������������������������������������U�V�W�������������X�����Y�Z�����������������\�]�^�_�`����������g����������j�k�l�m�n�o�p�����r�s�t�v�w�x�y�z������������������������������������މމމމ�������������������������ތލގޏ����������������ޑޒޓ����������������ޕޖ����ޘޙޚޛޜ����ޞޟޠ����ޢ����������������ޣ�����¥�¦�§�¨�©�ª�«�¬�­�®ް���������·�¸�¹޺�����������������¼�½�¾�¿�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������'�'�'�'�������������������������*�+�,�-�.�/�����������������1�2�4����������������������;�<�����������������>�?�@�����B�C�E�F�G�H�I�J�K�����M�N�O�����Q�R�����������������S�T�����U�V�W�X�Y�Z�����������������\�]�����_�����������������`�a�b�c�d�e�����g�h�i�j�k�l�m�n�o�p�q�����s�t�u�v�����w�x�����y�z�{�����}���������������������������������߀߁߂߃߄����������������߆߇߈߉ߊ����ߌߍߎߏߐ����������������������������ߒߓ�������������ߔߕߖ��������������������ߝߞߟ���������¢�£�¤�¥�¦�§ߨ�����ª�«�¬�®�¯�°�±߲��������������������������������������������������T�T������������1�2��;�H���±u

cmex10�Zcmr5�ٓ�Rcmr7�K�`y

cmr10�O
�\cmmi5�0ercmmi7�
�b>

cmmi10����0ncmsy5�O!�cmsy7�
!",

cmsy10�D���tG�G�cmr17�X�Qcmr12����g�G�cmmi12����N�ffcmbx12��"V

cmbx10��':

cmti10�-�

cmcsc10�5�����������¢
dfv2.5.tex"alh���@j��H("�@j�6Rp���j�Hj�°w�\j�@��nj����To{�T�
t��0�Ф����!������j�@B
,lh���@j�@���
���������j���#�#�h���@j�Z
�B�!�����!�j�v�Dxj�Zw�����article.clsvo����   leqno.clolsvo����
size10.closvo����¢
dfv2.5.auxsvo..Zh   �B�ZrTEX**FMT6PRECBDVI2N*PM 2���h    ����Zh     ����dh��� �h���� h��� Jhx��� �¾hp��� �hh��� ^�h`��� �hX��� %&hP��� zhH  ��� ���h@
��� Ah8��� ���h0��� �h(
��� YFh ��� �Vh��� @�h��� �Bh��� �ªh���� h����h�