Petits espaces de Lebesgue et quelques applications.

A. Fiorenza ^{1}”*” Dipartimento di Costruzioni e Metodi Matematici in Architettura Universitá di Napoli ”Federico II” via Monteoliveto, 3 I-80134 Napoli, Italy

fiorenza@unina.it

J.M. Rakotoson Laboratoire d’Applications des Mathématiques Téléport 2 Département de Mathématiques Université de Poitiers B.P. 30179 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex France rako@mathlabo.univ-poitiers.fr

Résumé. On se propose d’établir quelques propriétés des petits espaces de Lebesgue introduits par Fiorenza [F], notamment la convergence monotone de Lévi et des propriétés d’équivalence de normes. En combinant ces propriétés avec les inégalités de Poincaré-Sobolev pour le réarrangement relatif [R1], nous donnons quelques estimations précises concernant les espaces de Sobolev associés à ces espaces et les régularités des solutions d’équations quasilinéaires lorsque les données sont dans ces espaces.

\underline{Title} : On small Lebesgue spaces and their applications.

Abstract

We prove some new properties of the small Lebesgue spaces introduced by Fiorenza [F]. Combining these properties with the Poincaré-Sobolev inequalities for the relative rearrangement (see [R1]), we derive some new and precises estimates either for small Lebesgue-Sobolev spaces or for quasilinear equations with data in the small Lebesgue spaces.

1 Introduction

Il est maintenant bien connu que si Au = −div(â(x, u, ∇u)) est un opérateur vérifiant

les conditions classiques de Leray-Lions sur W_{0}^{1,p}(Ω)(ici, Ω est un ouvert borné de R^{N} et 1 < p < N) et f une fonction de L^{r}(Ω), r > \frac{N}{p}, alors les solutions de Au = f sont bornées. On sait que le résultat n’est pas vrai si r = \frac{N}{p}. Depuis l’introduction des petits espaces

1”*” This work has been partially performed as a part of a National Research Project supported by M.U.R.S.T. and supported by the PROGRAMMA DI SCAMBI INTERNAZIONALI PER LA BREVE MOBILITAI instituted by UNIVERSITAI DI NAPOLI ”FEDERICO II”