\magnification=\magstep1

\parindent=0pt

\def \csi {\xi}
\def \l {\lambda}
\def \e {\varepsilon}
\def \Cup {\bigcup}
\def \Cap {\bigcap}
\def \Nabla {\nabla}
\def \Vs {\cal V}
\def \circle {\circ}
\def \Beta {\beta}
\def \Tau {\tau}
\def \hh {{\cal H}}
\def \MD {{\cal MD}}


\def\cer#1{\mathrel{\smash{\mathop{#1} \limits^{\circ} }}}
\def\finedim{\quad \vrule height .9ex width .8ex depth -.1ex}
\def\rr{{\ \cal R \ }}
\def\bar{\overline}
\def\nont{ \rlap {\ /} \Theta }
\def\real{{\bf R}}
\def\nat{{\bf N}}
\def\interi{{\bf Z}}
\def\raz{{\bf Q}}

%      macro    \refer
%      sintassi \refer{autori:}{titolo,}{rivista,}{vol}{(anno), pag.}
%
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\def\refer#1#2#3#4#5{\hangindent=20 pt\hangafter=1
{\global\advance\refno by 1}
$\hbox to 20 pt{[\the\refno]\hfill}${\bf {#1}:}{\sl\ {#2},}{\ #3}{\bf\
#4}{\ #5}\medskip}

\centerline{ \bf Congetture riguardanti alcuni problemi di
evoluzione.}
%\footnote{$^{(*)}$}{ Pisa, 4.III.95.}}

\bigskip

\centerline{ A Paper in Honor of John Nash }

\bigskip

\centerline{ Ennio De Giorgi }

\bigskip


{\bf Summary.} I have greatly appreciated the invitation to write a paper in
honor of John Nash, a scientist who has been a major source of new ideas for
mathematicians. His work has been a clear example of how the most original
mathematical ideas are often close to the fundamental problems of other
disciplines. I believe that this example is very important for any
student who is still motivated by the drive that the ancients called 
{\sl philosophy}, that is love for Wisdom.

\medskip
The character of my paper is exploratory.

Some conjectures concerning ``evolution problems'' are
presented.  They are related to the  ``steepest descent'', to 
the approximations of Newton's gravitation law, to hyperbolic non linear
equations and to ``descent movements" of manifolds.

The article identifies several questions, of which I do not know the solution, 
and points out a number of analogies between problems that are apparently far
from each other.  I believe that the study of these conjectures might provide an
opportunity for scientists that are expert in different fields within pure and
applied mathematics to get together and ponder on the connections that exist
among various mathematical concepts, such as linear vs. non-linear behavior,
stability vs. instability, or convergence of different approximation methods,
 and
certain ideas well developed in physics, such as deterministic vs.
non-deterministic behavior, predictability vs. non-predictability, order and
chaos, etc.


\bigskip

\beginsection Introduzione

In questo lavoro esporr\`o alcune congetture relative a ``problemi di
evoluzione'' legate all'idea di ``discesa secondo la massima pendenza'',
alla legge di gravitazione universale di Newton, alle equazioni
iperboliche e ai movimenti di variet\`a immerse in uno spazio euclideo.

\`E mia opinione che lo studio di queste congetture possa servire a una
migliore comprensione dei fenomeni che si possono presentare quando si
approssimano problemi ``pi\'u difficili e pi\'u instabili'' mediante
problemi ``meno difficili e pi\'u stabili''.  In particolare si dovrebbe
vedere quando un processo di approssimazione non converge in corrispondenza
a tutti i ``dati ammissibili'' ma si ha convergenza e una certa stabilit\`a
del limite solo in corrispondenza a un ``insieme denso'' di dati oppure a
``quasi tutti'' i dati.  Naturalmente le nozioni di ``stabilit\`a'', di
``insieme denso'' e di ``quasi tutti'' sono legate all'introduzione di
ragionevoli topologie, metriche o di qualche misura significativa nella
famiglia dei dati ammissibili.

Dato il carattere eterogeneo di queste congetture, che forse sono state in
parte trattate in lavori a me ignoti, posso dare solo indicazioni
bibliografiche molto frammentarie e incomplete che mi sono state segnalate da
vari  colleghi e amici e che io stesso non ho ancora avuto il tempo di
approfondire.
 Esse
devono essere considerate solo come una prima traccia utile per iniziare la
sistematica ricerca bibliografica necessaria per fare realmente  il ``punto
della situazione" al momento attuale.



Spero che una tale ricerca bibliografica e 
la stessa riflessione sulle congetture
esposte possa essere occasione per ritrovare e collegare fra loro vari lavori
finora ritenuti molto lontani e forse mettere in evidenza eventuali 
collegamenti che si possono stabilire tra idee  matematiche riguardanti
linearit\'a e non linearit\'a, stabilit\'a e instabilit\'a, convergenza di
differenti metodi di approssimazione e  concetti  della fisica come 
determinismo e indeterminismo, prevedibilit\'a e imprevedibilit\'a, ordine
e caos.

 
\bigskip

\beginsection Problema 1. (Problemi di discesa.)

Cominciamo col considerare alcuni problemi collegati al ``metodo della
discesa''.

Consideriamo funzionali del tipo

$$F(w,A)=\int_A g(w,\nabla w,\,\ldots\, ,\nabla^k w)
\leqno(1)$$

ove $A$ \`e un aperto limitato di $\real^n$, $w$ \`e una funzione di classe
$C^\infty(\real^n)$, $g$ \`e una funzione di classe $C^\infty$ nello spazio
dei polinomi di $n$ variabili reali e grado minore o uguale a $k$.

In queste ipotesi diremo che una funzione $\psi\in C^\infty(\real^n)$ \`e
la funzione di Eulero associata a $F$ e a $w$ e scriveremo

$$\psi={ \cal E }(F,w)$$

se per ogni aperto limitato $A\subset\real^n$ e per ogni funzione test
$\tau\in C_0^\infty(A)$ vale la condizione

$$\lim_{\lambda\to0}
{1\over\lambda}\left(F(w+\lambda\tau,A)-F(w,A)\right)=\int_A\tau\,\psi.
\leqno(2)$$

In alcuni casi in cui la funzione $g$ non \`e convessa (o non soddisfa
altre condizioni vicine alla convessit\'a, vedi [4])
lo studio
dell'equazione differenziale

$${\partial u\over\partial t}=-{ \cal E }(F,u(\cdot,t))\leqno(3)$$

con le condizioni iniziali

$$u(x,0)=\varphi(x)\leqno(4)$$

nell'insieme $\real^n\times[0,+\infty)$ pu\`o presentare notevoli
difficolt\`a e sembra opportuno seguire metodi tipo viscosit\'a artificiale
(cfr. per es. [5]) e  
associare al funzionale $F$ funzionali $F_\e$ definiti, per $\e\not=0$, dalla
formula

$$
F_\e(w,A)=F(w,A)+\e^2\int_A{\vert\nabla^{k+1}w\vert}^2
$$

ove al solito

$$
|\nabla^s w|^2=\sum_{j_1=1}^n \dots \sum_{j_s=1}^n \Bigl({{\partial^s
u}\over{\partial x_{j_1}\dots \partial x_{j_s}}}\Bigr)^2
$$

e quindi tentare di approssimare l'equazione
differenziale $(3)$ con l'equazione

$${\partial u\over\partial t}=-{ \cal E }(F_\e,u(\cdot,t)) .
\leqno(5)$$

Un esempio semplice ma non banale di questa situazione si ha considerando
il caso $k=1$, $n=1$ (cfr. [9,10]),

$$g\left(w,{\partial w\over\partial
x}\right)={1\over 2}\log\left(1+\left\vert{\partial w\over\partial
x}\right\vert^2\right).$$

In tal caso l'equazione $(3)$ diventa

$${\partial u\over\partial t}={\partial\ \over\partial x}\left({\partial u
\over\partial x}\left(1+\left({\partial u\over\partial
x}\right)^2\right)^{-1}\right)={{\partial^2 u}\over{\partial x^2}} \left(1
-\Bigl|{{\partial u}\over{\partial x}}\Bigr|^2\right)
\left(1 +\Bigl|{{\partial u}\over{\partial x}}\Bigr|^2\right)^{-2}
.$$

Lo studio di questa equazione pu\`o presentare notevoli difficolt\`a quando il
dato iniziale verifica in una parte di $\real$ la condizione
$\left\vert{\partial\varphi\over\partial x}\right\vert>1$; si pu\`o allora
considerare il funzionale $F_\e$ che conduce all'equazione
``stabilizzata''

$${\partial u\over\partial t}=-{\partial\ \over\partial x}\left({\partial u
\over\partial x}\left(1+\left({\partial u\over\partial
x}\right)^2\right)^{-1}\right)-\e^2{\partial^4u\over\partial x^4}
\leqno (6) $$

ed enunciare una prima congettura.

\bigskip

{\bf Congettura 1.} Se $\varphi\in C_0^\infty(\real)$, se, per ogni
$\e\not=0$, $u_\e$ \`e una soluzione dell'equazione $(6)$
con la condizione iniziale $(4)$ ed \`e limitata in $\real\times
[0,+\infty[$, allora per quasi ogni $(x,t )\in \real\times [0,+\infty)$
esiste il limite di $u_\e(x,t)$ per $\e$ che tende a
zero.

\bigskip

{\bf Osservazione 1.} Se la Congettura 1 risultasse vera si potrebbe
rafforzarla imponendo la convergenza {\it per ogni} $(x,t)$ ed
eventualmente anche convergenze pi\'u forti che comportano una maggiore
regolarit\`a del limite.  Si potrebbe anche richiedere una certa
uniformit\`a di convergenza al variare del dato iniziale $\varphi$ e quindi
una dipendenza continua del limite dal dato stesso.  Se invece si trovasse
qualche controesempio alla Congettura 1 essa potrebbe essere indebolita in
vario modo, accontentandosi per esempio della convergenza soltanto per i
dati appartenenti ad insiemi densi di qualche spazio metrico o topologico
significativo.  Per esempio, si potrebbero considerare spazi di funzioni
analitiche, polinomi trigonometrici, funzioni legate alla curva degli
errori di Gauss, e si potrebbe anche prendere in considerazione qualche
misura ragionevole $\mu$ che pu\`o essere introdotta in tali spazi e sia
tale che per $\mu$ quasi tutti i dati vi sia convergenza di $u_\e$.

\bigskip

{\bf Osservazione 2.} Altri indebolimenti della Congettura 1 si potrebbero
avere non richieden\-do la convergenza in quasi tutti i punti di
$\real\times[0,+\infty)$ ma richiedendo l'esistenza di un numero positivo
$T$ tale che $u_\e$ converga in quasi tutto $\real\times[0,T)$. Un
primo passo verso la conferma della Congettura 1 o la ricerca di eventuali
controesempi potrebbe essere lo studio di successioni di numeri positivi
$(\e_i)$ tali che $\lim_{i\to+\infty}\e_i=0$ e si abbia
una convergenza pi\'u o meno forte della successione
$(u_{\e_i})$.

\bigskip

{\bf Osservazione 3.} Si possono immaginare molte varianti della Congettura
1, per esempio si pu\`o passare dalle funzioni definite in $\real$ al caso
di funzioni definite in un intervallo di $\real$ introducendo ragionevoli
condizioni al contorno.  Si possono pure considerare, invece che dati
iniziali a supporto compatto e soluzioni limitate, dati e soluzioni
periodiche nella variabile spaziale $x$, oppure imporre, in luogo della
limitatezza, altre condizioni all'infinito.  Pi\'u in generale si pu\`o
passare allo spazio $\real^n$ e porre

$$F(w,A)={1\over2}\int_A\log(1+\vert\nabla w\vert^2)\ ,$$
oppure nel caso $n=1$ porre

$$F(w,A)=\int_A\left(1-\left\vert{\partial w\over\partial
x}\right\vert^2\right)^2 \ , $$

e considerare successivamente il funzionale analogo in $\real^n$,

$$F(w,A)=\int_A\left(1-\left\vert\nabla w\right\vert^2\right)^2 .$$

Risultati interessanti si potrebbero avere considerando altri casi, per
esempio ponendo 


$$F_\e(w,A)=\int_A
\e^2w^2+\left(1-\left\vert{\nabla w}\right\vert^2\right)^2+\e^2
{|\nabla^2|^2 } . $$
% funzionali di questo tipo sono considerati per esempio in [***S.Muller].
%(chiedere a Bellettini)


Infine si possono considerare casi in cui la funzione $g$ che compare nella
(1) dipende, oltre che da $w$ e dalle sue derivate, dalle variabili
spaziali $(x_1,\ldots,x_n)$ ed eventualmente da un parametro $t$ che
ritroveremmo come variabile temporale nelle (3), (5).

\bigskip

\beginsection Problema 2.  (Problema gravitazionale approssimato.)

Passiamo ora alla formulazione di un problema legato a una ragionevole
approssimazione della legge di gravitazione universale di Newton (cfr
[3,6]); tale problema sar\`a chiamato ``Problema gravitazionale
approssimato'' e pu\`o essere formulato nel modo seguente:

\bigskip

{\bf Problema 2.1.} Sia $\mu$ una misura positiva definita sugli insiemi di
Borel di $\real^6$ e sia $\mu(\real^6)<+\infty$.  Chiameremo soluzione del
Problema gravitazionale approssimato associato a $\mu$ una terna di
funzioni $(s,v,u)$ che soddisfa le condizioni qualitative (A) e le
condizioni integro-differenziali (B) che ora enunciamo.

{\bf (A)}

$$s=s(\e,\csi,\eta,t)\in \bigl[C^1( (\real\setminus\{0\})\times
\real^7)\bigr]^3,$$

$$v=v(\e,\csi,\eta,t)\in \bigl[C^1((\real\setminus\{0\})\times
\real^7)\bigr]^3,$$

$$u=u(\e,x,t) \in C^0((\real \setminus \{0\}) \times \real^4 ).$$

La funzione scalare $u$ \`e derivabile rispetto alle variabili
$x_1,x_2,x_3$ e il suo gradiente, relativo a tali variabili, $\nabla_x u$
appartiene a $C^0(\real\setminus\{0\}\times\real^4)^3$.

\bigskip

{\bf (B)}

Le funzioni vettoriali $s,v$ verificano le equazioni differenziali

$${\partial s \over \partial t } = v, \quad {\partial v \over \partial t }=
\alpha(\e,s,t ), \quad \alpha(\e,x,t )=\nabla_x
u(\e,x,t)\qquad \leqno (1) $$

con le condizioni iniziali

$$s(\e,\csi,\eta,0)=\csi,
\qquad v(\e,\csi,\eta,0)=\eta  \leqno (2)$$

mentre $u$ soddisfa la condizione integrale

$$
u(\e,x,t) =
\int_{\real^6} (|x-s(\e,\csi,\eta,t)|^2 +\e ^2 )^{-1/2}
d\mu (\csi,\eta).\leqno (3)
$$

{\bf Osservazione 1.} Intuitivamente $s(\e,\csi,\eta,t)$ rappresenta la
posizione al tempo $t$ di una particella che all'istante $t=0$ si trovava
nel punto $\csi$ ed aveva velocit\`a $\eta$; $v(\e,\csi,\eta,t)$
rappresenta la velocit\`a al tempo $t$ della stessa particella, $\alpha(
\e,x,t)$ rappresenta l'accelerazione di una particella che
nell'istante $t$ si trovi nel punto $x$, infine $u$ dovrebbe fornire, per
$\e$ molto piccolo, una ragionevole approssimazione del potenziale
newtoniano.  La misura $\mu$ rappresenta una distribuzione di masse
(eventualmente animate da una certa velocit\`a) all'istante $t=0$.

Per comprendere meglio il significato delle formule (1), (2), (3), conviene
considerare il caso in cui $\mu$ \`e somma di $n$ misure concentrate in
punti, cio\`e per ogni insieme di Borel $B\subset \real^6$ risulta $\mu(B)=
\sum_{h=1}^n m_h \delta(\csi_h,\eta_h)(B)$ ove $\delta$ indica la usuale
delta di Dirac, cio\`e

$$\cases { \delta(\csi_h,\eta_h)(B) = 1 & per $(\csi_h,\eta_h)\in B$ \cr\cr
\delta(\csi_h,\eta_h)(B) = 0 & per $(\csi_h,\eta_h) \notin B .$ \cr }$$

In tal caso il potenziale $u$ che compare nella la formula $(3)$ diventa

$$u(\e,x,t)= \sum_{h=1}^n m_h (|x-s(\e
,\csi_h,\eta_h,t)|^2+ \e^2 ) ^{-1/2} $$

e quindi il sistema costituito da $(1),(2),(3)$ appare una ragionevole
approssimazione per il classico problema degli $n$ corpi.

\bigskip

{\bf Osservazione 2.} Il caso in cui $\mu$ non \`e concentrata in un numero
finito di punti \`e suggerito dall'osservazione dell'universo in cui
interagiscono stelle, pianeti, satelliti, nubi di gas, polveri
interstellari e altre forme di ``massa diffusa''. In questo caso la (3)
pu\`o essere anche scritta nella forma

$$
u(\e,x,t) = \int_{\real^6} (|x-\csi|^2 +\e ^2 )^{-1/2}
d\mu^*_t (\csi,\eta),\leqno (3^*)
$$

ove, per ogni $t\in\real$,   la misura $\mu^*_t$ \`e
 data dalla
formula

$$
\mu^*_t(B)=\mu\left(\bigl\{(\xi,\eta)\in\real^6:\
\bigl(\sigma(\e,\xi,\eta,t),
v(\e,\xi,\eta,t)\bigr)\in B \bigr\}\right) ;
$$

intuitivamente, per ogni $t\in\real$, $\mu^*_t$ descrive la distribuzione e
le velocit\`a all'istante $t$ della massa presente nell'universo;
l'evoluzione di $\mu_t^*$ al variare di $t$ sostanzialmente descrive quella
che sarebbe l'evoluzione dell'universo se esso fosse governato da una
``forza gravitazionale approssimata'' calcolabile a partire da un
``potenziale elementare'' del tipo

$$
(|x-\xi|^2+\e^2)^{-1/2} \ ,
\leqno(4)$$

che per $\e$ piccolo sembra una ragionevole approssimazione del
potenziale newtoniano classico proporzionale a

$$
|x-\xi|^{-1}.
$$

Non mi risulta che vi sia nella letteratura una risposta esauriente alle
domande circa l'esistenza di ben determinati limiti per $\e\to 0$
delle funzioni considerate nel Problema gravitazionale approssimato e in
particolare vi sia la verifica o la confutazione della seguente

\bigskip

{\bf Congettura 1.} Se $(s,v,u)$ \`e soluzione del Problema
gravitazionale approssimato associato alla misura $\mu$ allora, per quasi
ogni punto $(x,t)\in{\real}^4$, esiste determinato e finito il limite

$$\lim_{\e\to0} u(\e,x,t),$$

inoltre, per quasi ogni $(\csi,\eta,t)\in{\real}^7$, esistono i due limiti

$$\lim_{\e\to0} s(\e,\csi,\eta,t),$$

$$\lim_{\e\to0} v(\e,\csi,\eta,t).$$

\bigskip

{\bf Osservazione 3.} \`E probabile che la Congettura 1, pur valendo per
classi assai larghe di misure $\mu$, non valga per ogni scelta della misura
$\mu$ soddisfacente le condizioni del Problema 1.  Finora non ho trovato
nella letteratura alcun controesempio; penso che la sua eventuale
costruzione dovrebbe risultare pi\'u facile nel caso di misure $\mu$
verificanti le condizioni 

$$\mu=\sum\limits_{h=1}^{+\infty}m_h\delta(\csi_h,\eta_h),\qquad
\sum\limits_{h=1}^{+\infty} m_h<+\infty,\qquad
\sum\limits_{h=1}^{+\infty} \vert\eta_h\vert=+\infty.$$

Pi\'u difficile ma pi\'u interessante dovrebbe essere il caso 

$$\mu=\sum\limits_{h=1}^{+\infty}m_h\delta(\csi_h,\eta_h),\qquad
\sum\limits_{h=1}^{+\infty} m_h<+\infty,\qquad
\sup_h\,\left(\vert\csi_h\vert+\vert\eta_h\vert\right)\,<+\infty$$
intuitivamente ci\'o corrisponde al caso in cui nell'istante iniziale tutte le
particelle sono racchiuse in una zona limitata dello spazio ed \'e limitato
l'insieme delle loro velocit\'a iniziali.

\bigskip

Possiamo considerare anche una congettura pi\'u debole.

\bigskip

{\bf Congettura 2.} Detto ${\cal M}(\real^6)$ lo spazio delle misure di
Borel $\mu$ che sono positive in $\real^6$ e verificano la condizione
$\mu(\real^6)<+\infty$, dotato della distanza $\delta$ definita dalla
relazione

$$\delta(\mu,\nu)=\sup_B\left(\mu(B)-\nu(B)\right)+\sup_B\left(\nu(B)-
\mu(B)\right),$$

\`e denso in ${\cal M}({\real}^6)$ l'insieme delle misure $\mu$ per cui
vale la tesi della Congettura 1.

\bigskip

Sarebbe pure desiderabile valutare il grado di stabilit\`a al variare di
$\mu$ dei limiti di soluzioni dei problemi gravitazionali che soddisfano la
tesi della Congettura 1.  Probabilmente tale grado di stabilit\`a non \`e
sempre molto elevato e quindi sembra opportuno introdurre una nozione
abbastanza debole di stabilit\`a, detta $\alpha\,$--$\,$stabilit\`a,
mediante la seguente definizione.

\bigskip

{\bf Definizione 1.} Data una misura $\mu$, una terna di funzioni $(s,v,u)$
soluzioni del Problema gravitazionale approssimato associato a $\mu$ ed un
numero reale $\alpha\geq0$, diremo che la $(s,v,u)$ \`e soluzione
$\alpha\,$--$\,$stabile del Problema gravitazionale associato a $\mu$ se
esistono per quasi ogni $(x,t)\in\real^4$ e quasi ogni
$(\csi,\eta,t)\in\real^7$ i limiti

$$\lim_{\e\to0}u(\e,x,t),$$
$$\lim_{\e\to0}s(\e,\csi,\eta,t),$$
$$\lim_{\e\to0}v(\e,\csi,\eta,t),$$

ed inoltre, scelta comunque una successione di numeri positivi
$(\e_i)$, verificante la condizione
$\lim_{i\to+\infty}\e_i =0$, e una successione di misure positive
$(\mu_i)$ verificanti la condizione

$$\lim_{i\to+\infty}{\e_i}^{-\alpha}\delta(\mu_i,\mu)=0,$$

e detta $(s_i,v_i,u_i)$ la soluzione del Problema gravitazionale
approssimato associata a $\mu_i$, risulta per quasi tutti gli
$(x,t)\in\real^4$

$$\lim_{i\to+\infty}
u_i(\e_i,x,t)=\lim_{\e\to0}u(\e,x,t),$$

mentre per quasi ogni $(\csi,\eta,t)\in\real^7$ risulta

$$\lim_{i \to + \infty }
s_i(\e_i,\csi,\eta,t)=\lim_{\e\to0}
s(\e,\csi,\eta,t),$$

$$\lim_{i \to + \infty }
v_i(\e_i,\csi,\eta,t)=\lim_{\e\to0}
v(\e,\csi,\eta,t).$$

Possiamo ora dare un rafforzamento significativo della Congettura 2
enunciando la se\-guen\-te

\bigskip

{\bf Congettura 3.} Esistono numeri positivi $\alpha$ per i quali
\`e denso nello spazio ${\cal M}(\real^6)$ l'insieme delle $\mu$ tali che
le soluzioni del Problema gravitazionale approssimato associato a $\mu$
sono soluzioni $\alpha\,$--$\,$stabili.

\bigskip

{\bf Osservazione 4.} Se fosse verificata la Congettura 3 sarebbe
interessante trovare l'estremo inferiore dei numeri $\alpha$ ivi
considerati; \`e assai probabile che tale estremo sia strettamente maggiore
di zero; tenendo conto del fatto che l'$\alpha\,$--$\,$stabilit\`a \`e
tanto pi\'u debole quanto pi\'u $\alpha$ \`e grande, questo estremo
inferiore ci darebbe un'indicazione sul grado globale di stabilit\`a del
Problema gravitazionale approssimato.

\bigskip

\beginsection 3. Varianti del Problema gravitazionale approssimato.

Si possono immaginare molte varianti del problema gravitazionale esposto
nel \S 2.  Si potrebbe pensare che la forza che agisce tra 2
particelle sia  somma di una forza attrattiva e una forza repulsiva e
porre per esempio in luogo della (3) del \S 1

$$u(\e,x,t) =\int_{\real^6} (|x-s|^2 + \e ^2 )^{-1/2} -
c^2 ( |x-s|^2 +\e^2)^{-1} d\mu(\csi,\eta)$$

con $c$ costante positiva.

Si potrebbero anche considerare, dopo i limiti per $\e \to 0$, i
limiti di tali limiti per $c\to 0$; ci\`o corrisponderebbe all'idea che le
forze repulsive agiscono solo a distanze piccolissime.  Infine si
potrebbero immaginare espressioni pi\'u complesse corrispondenti a forze
che dipendono non solo dalla posizione ma anche dalla velocit\`a delle
particelle, per esempio prendendo in considerazione integrali del tipo:

$$ \alpha(\e,x,y,t)=\int_{\real^6}
\phi(\e,x,y,s(\e,\csi,\eta,t) ,v(\e,\csi,\eta,t) )
d\mu(\csi,\eta)$$

e quindi equazioni differenziali del tipo

$${\partial v \over \partial t} = \alpha(\e,s,v,t) .$$

Naturalmente ulteriori complicazioni potrebbero essere introdotte
ispirandosi a teorie fisi\-che pi\'u complesse che non interessano per il
momento dato che lo scopo di questa nota \`e solo di richiamare
l'attenzione su alcuni ``tipi'' di problemi matematici di cui
successivamente si potrebbero immaginare molte varianti ricche di
significato fisico.

\bigskip

Ritornando al Problema gravitazionale approssimato e in particolare
all'Osservazione 2 del \S 2, potremmo considerare il caso in cui la massa
$\mu^*$ \`e distribuita con regolarit\`a, cio\`e esista una funzione
$\varphi=\varphi(\e,x,y,t) \in C^\infty\bigl(\real\setminus\{0\}
\times\real^7\bigr)$ tale che

$$
\mu^*_t(B)=\int_B \varphi(\e,x,y,t) dxdy;
\leqno(1)$$

in tal caso la funzione $u(\e,x,t)$ sar\`a data dalla formula

$$u(\e,x,t)=\int_{\real^6} \left(\vert
x-\csi\vert^2+\e^2\right)^{-1/2}\,\varphi(\e,\csi,\eta,
t)\,d\csi\,d\eta,$$

e inoltre $\varphi$ soddisfer\`a l'equazione differenziale lineare del
primo ordine

$${\partial \varphi\over\partial t}=-\sum_{h=1}^3\left({\partial
\varphi\over \partial x_h}y_h+{\partial\varphi\over\partial y_h}{\partial
u\over\partial x_h} \right)$$

di cui le equazioni (1), (2) del Problema 2.1 individuano le linee
caratteristiche. Si pu\`o porre allora il problema dell'esistenza del
limite per $\e\to 0$ della funzione $\varphi(\e, x, y,t)$
e studiare i possibili collegamenti con i limiti considerati nelle
Congetture 1, 2, 3 del \S 2.  Probabilmente in tale studio potrebbero
emergere fenomeni interessanti riguardanti le soluzioni pi\'u o meno
generalizzate delle equazioni differenziali alle derivate parziali del
primo ordine.

\bigskip

\beginsection 4. Limiti di problemi variazionali collegabili ad equazioni
iperboliche.

Nella ricerca di eventuali approssimazioni di problemi difficili ed
instabili con problemi pi\'u facili e pi\'u stabili si pu\`o far rientrare
l'idea di ottenere soluzioni di problemi di evoluzione come limite delle
soluzioni di problemi di minimo. Un esempio interessante in cui quest'idea
\`e stata applicata con successo si trova nel lavoro [7]. Una
possibile variante del risultato di Ilmanen \`e data dalla seguente
congettura.

\bigskip

{\bf Congettura 1.} Siano $\varphi,\psi\in C_0^\infty(\real^n)$, $k> 1$
intero; per ogni numero reale positivo $\lambda$,
$w_\l=w_\l(x_1,\ldots,x_n,t)$ fornisca il minimo del funzionale

$$
F_\l(u)=\int_{\real^n\times [0,+\infty[} e^{-\l t}\left[ \Bigl|
{{\partial^2 u}\over{\partial t^2}}\Bigr|^2 + \l^2 |\nabla_x u|^2 +\l^2
u^{2k} \right] dx\,dt
\leqno(1)$$

nella classe delle $u$ soddisfacenti le condizioni iniziali

$$
u(x,0)=\varphi(x),\qquad\qquad {{\partial u}\over{\partial
t}}(x,0)=\psi(x). $$

Allora esiste il $\displaystyle\lim_{\l\to +\infty} w_\l (x,t)= w_0(x,t)$,
soddisfacente l'equazione

$$
{{\partial^2 w_0}\over{\partial t^2}}=\Delta_xw_0-kw_0^{2k-1}.
\leqno(2)$$

\bigskip

{\bf Osservazione 1.} Se questa congettura risultasse falsa si potrebbe
pensare a opportune varianti, per esempio richiedere che essa sia vera per
un insieme denso di dati iniziali, sostituire a $C^\infty$ dati analitici
a decrescenza rapida, prendere in considerazione funzioni periodiche e in
particolare polinomi trigonometrici, o addirittura pensare a un
funzionale $F_\l$ di forma diversa da quella indicata nella (1) le cui
minimizzanti convergono verso soluzioni della (2).  Se viceversa la
congettura fosse verificata, si potrebbe pensare a un gran numero di
generalizzazioni, partendo da un funzionale $F$ del calcolo delle
variazioni e associando ad esso il funzionale

$$
F_\l(u)=\int_{\real^n\times [0,+\infty[} e^{-\l t} \Bigl|
{{\partial^2 u}\over{\partial t^2}}\Bigr|^2\, dxdt + \l^2 \int_0^{+\infty}
e^{-\l t} F\bigl(u(\cdot,t)\bigr)\,dt.
$$

\bigskip

\beginsection 5. Movimenti di variet\`a secondo funzioni euleriane.

Per introdurre movimenti di variet\`a immerse in uno spazio euclideo
$\real^n$ di ogni dimensione e codimensione cominciamo con lo stabilire
alcune notazioni. Per ogni aperto $A\subset\real^n$ continueremo a indicare
con $C^\infty (A)$ lo spazio delle funzioni reali continue in $A$ insieme
con tutte le loro derivate di ogni ordine, mentre nel caso in cui l'insieme
$E$ non \`e un aperto, scriveremo $f\in C^\infty(E)$ se e soltanto se
esistono un aperto $A\supset E$ ed una funzione $f^*\in C^\infty(A)$ tali
che, per ogni $x\in E$, $f(x)=f^*(x)$. Dati due aperti $A,\Omega$,
scriveremo $A\subset\subset\Omega$ se e solo se la chiusura di $A$ \`e un
compatto contenuto in $\Omega$.  Infine, per ogni $E\subset\real^n$ possiamo
definire la funzione $\eta_E$ nel modo seguente:

$$
\eta_E(x)={1\over 2} [{\rm dist}(x,E)]^2=
\inf\left\{{{|x-\xi|^2}\over{2}};\ \xi\in E\right\} .
\leqno(1)$$

Possiamo ora dare la seguente definizione di variet\`a $h$-dimensionale di
classe $C^\infty$ in un aperto $\Omega$.

\bigskip

{\bf Definizione 1.} Sia $\Omega$ un aperto di $\real^n$, sia $h$ intero,
$0\le h\le n$. Diremo che un insieme $E$ \`e una variet\`a $h$-dimensionale
di classe $C^\infty$ in $\Omega$ e scriveremo $E\in V_hC^\infty(\Omega)$,
se sono soddisfatte le tre condizioni seguenti:

$$\Omega\cap E=\left\{ x\in\Omega :\eta_E(x)=0\right\}
\leqno(a)$$

$${\rm esiste\ un\ aperto}\ A\supset\Omega\cap E\ {\rm tale\ che\ }
\eta_E\in C^\infty(A)
\leqno(b)$$

$$
{\rm per\ ogni\ }x\in E\cap\Omega\ {\rm la\ matrice\ hessiana\ }
\nabla^2\eta_E(x)\ {\rm ha\ caratteristica\ }n-h.
\leqno(c)$$

\bigskip

Se $g$ \`e una funzione di classe $C^\infty$ definita nell'insieme dei
polinomi reali di grado minore o uguale di $k$ in $n$ variabili reali ed
$E\in V_hC^\infty(\Omega)$, allora per ogni aperto $A\subset\subset\Omega$
possiamo considerare il funzionale

$$
F(E,A)=\int_{A\cap E}g\bigl(\eta_E(x),\nabla\eta_E(x),\ldots,
\nabla^k\eta_E(x)\bigr)\,d\hh^h(x),
\leqno(2)$$

ove $\hh^h$ \`e la misura $h$-dimensionale di Hausdorff; poich\'e nei punti
di $E$ si annullano $\eta_E$ e $\nabla\eta_E$, questo funzionale dipende in
modo non banale da $g$ per $k\ge 2$.

Diamo ora la definizione di funzione euleriana associata ad $E$ ed $F$.

\bigskip

{\bf Definizione 2.} Sia $E$ un sottoinsieme di $\real^n$, $\Omega$ un
aperto di $\real^n$, sia $E=E\cap\Omega\in V_hC^\infty (\Omega)$. Sia
$\psi\in (C^\infty(E))^n$ e sia $F$ definito dalla (2). Diremo allora che
la funzione vettoriale 
$\psi$ \`e la $\underline{\rm \ funzione\  euleriana\ }$
 di $F$ su $E$, e
scriveremo

$$
\psi\in {\cal E}(F,E)
$$

se per ogni aperto $A\subset\subset\Omega$ e per ogni $\tau\in
[C^\infty_0(A)]^n$ risulta

$$
\lim_{\l\to 0}{1\over\l}\bigl(F(E_\l,A-F(E,A)\bigr)=
\int_{E\cap A}\sum_{j=1}^n\tau_j(x)\psi_j(x)\,d\hh^h(x),
$$

ove $E_\l=\left\{x+\l\tau(x);\ x\in A\cap E\right\}$.

\bigskip

Possiamo dare ora una nozione di movimento di discesa secondo la funzione
euleriana.

\bigskip

{\bf Definizione 3.} Sia $E\subset\real^n$, $F$ definito dalla (2), $0<T
\le +\infty$, $u=u(x_1,\ldots,x_n,t)\in C^\infty(E\times [0,T[)$.  Diremo
che $u$
\`e un $\underline {\rm\  movimento\  di\  discesa\  }$ del funzionale $F$ di
origine $E$, e scriveremo $u\in \MD(F,E,T)$ se soddisfa le condizioni seguenti:

$$
u(x,0)=x\ , \qquad {\rm per\ ogni\ }x\in E .  \leqno \bf (A)
$$

{\bf (B)} \quad Esiste una funzione $A$ definita in $E\times[0,T[$ e a
valori negli aperti di $\real^n$ tale che per ogni $(x,t)\in E\times [0,T[$,
sia  

$$x\in A(x,t)$$

 e inoltre, posto $L(x,t)=\{u(x,t);\ x\in E\cap A(x,t)\}$, per ogni $(x,t)\in E
\times [0,T[ $ sia

$$
{{\partial u}\over{\partial t}}(x,t)={\cal E}\bigl(F,L(x,t)\bigr)(u(x,t)) .
$$

\bigskip


{\bf Osservazione 1.} Nel caso in cui $g$ si riduca a una costante
positiva, e quindi $F(E,A)$ \`e proporzionale alla misura
$\hh^h(E\cap A)$, ritroviamo in sostanza la definizione classica di
movimento secondo la curvatura media (cfr. per es. [1]);
in generale non
\`e detto che esistano per tutti i funzionali $F$ definiti dalla (2) e per tutti
i dati iniziali $E$ dei movimenti di discesa, ma si pu\`o pensare di approssimare
gli stessi funzionali con un procedimento simile a quello seguito nel \S 1.
Precisamente, se $F$ \`e definito dalla (2), possiamo porre, per ogni
$\e>0$,

$$
F_\e (E,A)=F(E,A)+\e^2\int_{E\cap A}|\nabla^{k+1}\eta_E|^2\,d\hh^h
\leqno(3)$$

e formulare la seguente

\bigskip

{\bf Congettura 1.} Se $E$ \`e un compatto appartenente a
$V_hC^\infty(\real^n)$, ed $F$ \`e definito dalla (2), allora,
 per ogni
$\e\not=0$ esistono $T_\e>0$ ed $u_\e\in [C^\infty(E\times [0,T_\e[)]^n$ tali
che $u_\e\in \MD(F_\e,E,T_\e)$.

\bigskip

Nel caso in cui $g$ si riduca a una costante positiva, si pu\`o ipotizzare
l'indipendenza di $T$ da $\e$ come nella seguente

\bigskip

{\bf Congettura 2.} Se alle ipotesi della Congettura 1 aggiungiamo
l'ipotesi $k>h$ e l'ipotesi che $g$ abbia un valore costante positivo
allora si pu\`o assumere $T_\e\equiv +\infty$ e quindi $u_\e\in
\bigl[ C^\infty(E\times [0,+\infty[)\bigr]^n$.

\bigskip

{\bf Osservazione 2.} In sostanza, la Congettura 2 ci fornirebbe un metodo
canonico per approssimare i movimenti secondo la curvatura media. Per
quanto riguarda i limiti per $\e\to 0$ di questi movimenti approssimati si
porranno dei problemi pi\'u o meno simili a quelli indicati nei
paragrafi precedenti.
Per cominciare si
 potrebbe discutere la seguente  congettura che in sostanza
equivale ad una specie di  risultato
 di unicit\'a per il movimento secondo la
curvatura media definito con un ``metodo di viscosit\'a".


\bigskip
{\bf Congettura 3.} Nelle ipotesi della Congettura 2, esiste per 
${\cal H}^{h+1}$ quasi tutti i punti di $E\times [0,+\infty)$ il limite

$$\lim_{\varepsilon \to 0} u_\varepsilon (x,t)$$



\bigskip

{\bf Osservazione 3. } Se la Congettura 3 risultasse falsa si potrebbe
indebolirla in vario modo, chiedendo per esempio che  essa valga
 nel caso in cui $E$ oltre ad appartenere a $V_hC^\infty (\real^n)$ appartenga a
$V_h^\omega (\real^n)$, cio\'e che la funzione $\eta_E$ che compare nella
Definizione 1 sia analitica nell'aperto $A$. Si potrebbe anche chiedere
che la tesi della Congettura 3 sia verificata al variare di $E$ in un
sottoinsieme denso dello spazio formato dai compatti che appartengono a
$V_hC^\omega(\real^n) $ dotato di qualche opportuna topologia.

Se invece la Congettura 3 fosse verificata, si potrebbero esaminare alcuni casi
in cui la funzione  $g$  che compare nella (2) non si riduca ad una costante.
Da un punto di vista fisico, potrebbero anche avere un certo interesse
per opportune scelte del funzionale $F$ equazioni del tipo

$${\partial^2 u \over \partial t^2} = {\cal E}\bigl(F,L(x,t)\bigr)(u(x,t)) .$$

\bigskip

{\bf Ringraziamenti.} Questa nota \'e il risultato di molte conversazioni avute
con vari colleghi e amici, in particolare desidero ringraziare Luigi Ambrosio,
Giovanni Bellettini, Giuseppe Bertin, Ivar Ekeland,
Antonio Leaci, Carlo Mantegazza, Antonio Marino, Stefano Mortola, Diego Pallara,
Sergio Spagnolo e Piero Villaggio.
 
\bigskip
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 \bye


